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Theorem irrapxlem5 26779
Description: Lemma for irrapx1 26781. Switching to real intervals and fraction syntax. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem irrapxlem5
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
21rpreccld 10614 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
1  /  B )  e.  RR+ )
32rprege0d 10611 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( 1  /  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  B ) ) )
4 flge0nn0 11180 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  B ) )  -> 
( |_ `  (
1  /  B ) )  e.  NN0 )
5 nn0p1nn 10215 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 )  e.  NN )
63, 4, 53syl 19 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 )  e.  NN )
7 irrapxlem4 26778 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 )  e.  NN )  ->  E. a  e.  NN  E. b  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )
86, 7syldan 457 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  NN  E. b  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )
9 simplrr 738 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  NN )
10 nnq 10543 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  QQ )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  QQ )
12 simplrl 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  NN )
13 nnq 10543 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  QQ )
1412, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  QQ )
1512nnne0d 10000 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  =/=  0 )
16 qdivcl 10551 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  QQ  /\  a  e.  QQ  /\  a  =/=  0 )  ->  (
b  /  a )  e.  QQ )
1711, 14, 15, 16syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  QQ )
189nnrpd 10603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  RR+ )
1912nnrpd 10603 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  RR+ )
2018, 19rpdivcld 10621 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  RR+ )
2120rpgt0d 10607 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  ( b  /  a ) )
2212nnred 9971 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  RR )
2312nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  NN0 )
2423nn0ge0d 10233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <_  a )
2522, 24absidd 12180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  a
)  =  a )
2625eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  =  ( abs `  a ) )
2726oveq1d 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) ) )
2812nncnd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  CC )
29 qre 10535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  /  a )  e.  QQ  ->  (
b  /  a )  e.  RR )
3017, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  RR )
31 rpre 10574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
3231ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  A  e.  RR )
3330, 32resubcld 9421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( b  / 
a )  -  A
)  e.  RR )
3433recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( b  / 
a )  -  A
)  e.  CC )
3528, 34absmuld 12211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
a  x.  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) ) )
3627, 35eqtr4d 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( abs `  (
a  x.  ( ( b  /  a )  -  A ) ) ) )
37 qcn 10544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  /  a )  e.  QQ  ->  (
b  /  a )  e.  CC )
3817, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  CC )
39 rpcn 10576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
4039ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  A  e.  CC )
4128, 38, 40subdid 9445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
( b  /  a
)  -  A ) )  =  ( ( a  x.  ( b  /  a ) )  -  ( a  x.  A ) ) )
429nncnd 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  CC )
4342, 28, 15divcan2d 9748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
b  /  a ) )  =  b )
4428, 40mulcomd 9065 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  A
)  =  ( A  x.  a ) )
4543, 44oveq12d 6058 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( a  x.  ( b  /  a
) )  -  (
a  x.  A ) )  =  ( b  -  ( A  x.  a ) ) )
4641, 45eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
( b  /  a
)  -  A ) )  =  ( b  -  ( A  x.  a ) ) )
4746fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
a  x.  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( abs `  ( b  -  ( A  x.  a )
) ) )
4832, 22remulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( A  x.  a
)  e.  RR )
4948recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( A  x.  a
)  e.  CC )
5042, 49abssubd 12210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
b  -  ( A  x.  a ) ) )  =  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b
) ) )
5136, 47, 503eqtrd 2440 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) ) )
529nnred 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  RR )
5348, 52resubcld 9421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( A  x.  a )  -  b
)  e.  RR )
5453recnd 9070 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( A  x.  a )  -  b
)  e.  CC )
5554abscld 12193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  e.  RR )
56 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
5756rprecred 10615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  e.  RR )
5856rpreccld 10614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  e.  RR+ )
5958rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  B ) )
6057, 59, 4syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( |_ `  (
1  /  B ) )  e.  NN0 )
6160, 5syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  NN )
6261nnrpd 10603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR+ )
63 ifcl 3735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR+  /\  a  e.  RR+ )  ->  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  e.  RR+ )
6462, 19, 63syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  e.  RR+ )
6564rprecred 10615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  e.  RR )
6656rpred 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  e.  RR )
6722, 66remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  B
)  e.  RR )
68 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )
6958rprecred 10615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  e.  RR )
7061nnred 9971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR )
71 ifcl 3735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  e.  RR )
7270, 22, 71syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  e.  RR )
73 fllep1 11165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  B )  e.  RR  ->  (
1  /  B )  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) )
7457, 73syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) )
75 max2 10731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 )  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
7622, 70, 75syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  <_  if (
a  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
7757, 70, 72, 74, 76letrd 9183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  <_  if (
a  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
7858, 64lerecd 10623 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( 1  /  B )  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  <->  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  ( 1  /  B ) ) ) )
7977, 78mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  ( 1  /  B ) ) )
8066recnd 9070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  e.  CC )
8156rpne0d 10609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  =/=  0 )
8280, 81recrecd 9743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  =  B )
8380mulid2d 9062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  x.  B
)  =  B )
8482, 83eqtr4d 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  =  ( 1  x.  B ) )
8512nnge1d 9998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
1  <_  a )
86 1re 9046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
8786a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
1  e.  RR )
8887, 22, 56lemul1d 10643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  <_  a  <->  ( 1  x.  B )  <_  ( a  x.  B ) ) )
8985, 88mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  x.  B
)  <_  ( a  x.  B ) )
9084, 89eqbrtrd 4192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  <_  ( a  x.  B ) )
9165, 69, 67, 79, 90letrd 9183 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
a  x.  B ) )
9255, 65, 67, 68, 91ltletrd 9186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( a  x.  B ) )
9351, 92eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  <  ( a  x.  B ) )
9434abscld 12193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  e.  RR )
9512nngt0d 9999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  a )
96 ltmul2 9817 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  ( ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) )  <  B  <->  ( a  x.  ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) ) )  < 
( a  x.  B
) ) )
9794, 66, 22, 95, 96syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  B  <->  ( a  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )  <  (
a  x.  B ) ) )
9893, 97mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  B )
9922, 22remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  a
)  e.  RR )
10022, 15msqgt0d 9550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  ( a  x.  a ) )
101100gt0ne0d 9547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  a
)  =/=  0 )
10299, 101rereccld 9797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
a  x.  a ) )  e.  RR )
103 qdencl 13088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  /  a )  e.  QQ  ->  (denom `  ( b  /  a
) )  e.  NN )
10417, 103syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  NN )
105104nnred 9971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  RR )
106105, 105remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  e.  RR )
107104nnne0d 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  =/=  0 )
108105, 107msqgt0d 9550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) )
109108gt0ne0d 9547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  =/=  0 )
110106, 109rereccld 9797 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
(denom `  ( b  /  a ) )  x.  (denom `  (
b  /  a ) ) ) )  e.  RR )
11122, 15rereccld 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  a
)  e.  RR )
112 max1 10729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  a  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
11322, 70, 112syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  <_  if (
a  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
11419, 64lerecd 10623 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  <->  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  a ) ) )
115113, 114mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  a ) )
11655, 65, 111, 68, 115ltletrd 9186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  a ) )
11728, 28, 28, 15, 15divdiv1d 9777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( a  / 
a )  /  a
)  =  ( a  /  ( a  x.  a ) ) )
11828, 15dividd 9744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  /  a
)  =  1 )
119118oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( a  / 
a )  /  a
)  =  ( 1  /  a ) )
12099recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  a
)  e.  CC )
12128, 120, 101divrecd 9749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  /  (
a  x.  a ) )  =  ( a  x.  ( 1  / 
( a  x.  a
) ) ) )
122117, 119, 1213eqtr3rd 2445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
1  /  ( a  x.  a ) ) )  =  ( 1  /  a ) )
123116, 51, 1223brtr4d 4202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  <  ( a  x.  ( 1  /  (
a  x.  a ) ) ) )
124 ltmul2 9817 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  (
a  x.  a ) )  e.  RR  /\  ( a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  ( ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) )  < 
( 1  /  (
a  x.  a ) )  <->  ( a  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )  <  (
a  x.  ( 1  /  ( a  x.  a ) ) ) ) )
12594, 102, 22, 95, 124syl112anc 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( 1  /  ( a  x.  a ) )  <->  ( a  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )  <  (
a  x.  ( 1  /  ( a  x.  a ) ) ) ) )
126123, 125mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( 1  /  ( a  x.  a ) ) )
1279nnzd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  ZZ )
128 divdenle 13096 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  NN )  ->  (denom `  ( b  /  a ) )  <_  a )
129127, 12, 128syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  <_  a )
130104nnnn0d 10230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  NN0 )
131130nn0ge0d 10233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <_  (denom `  (
b  /  a ) ) )
132 le2msq 9866 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (denom `  (
b  /  a ) )  e.  RR  /\  0  <_  (denom `  (
b  /  a ) ) )  /\  (
a  e.  RR  /\  0  <_  a ) )  ->  ( (denom `  ( b  /  a
) )  <_  a  <->  ( (denom `  ( b  /  a ) )  x.  (denom `  (
b  /  a ) ) )  <_  (
a  x.  a ) ) )
133105, 131, 22, 24, 132syl22anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  <_  a  <->  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
) ) )
134129, 133mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
) )
135 lerec 9848 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  e.  RR  /\  0  < 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) )  /\  ( ( a  x.  a )  e.  RR  /\  0  < 
( a  x.  a
) ) )  -> 
( ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
)  <->  ( 1  / 
( a  x.  a
) )  <_  (
1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) ) )
136106, 108, 99, 100, 135syl22anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
)  <->  ( 1  / 
( a  x.  a
) )  <_  (
1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) ) )
137134, 136mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
a  x.  a ) )  <_  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
13894, 102, 110, 126, 137ltletrd 9186 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
139104nncnd 9972 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  CC )
140 2nn0 10194 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
141140a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
2  e.  NN0 )
142 expneg 11344 . . . . . . . 8  |-  ( ( (denom `  ( b  /  a ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
(denom `  ( b  /  a ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ 2 ) ) )
143139, 141, 142syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ 2 ) ) )
144139sqvald 11475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ 2 )  =  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) )
145144oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
(denom `  ( b  /  a ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
146143, 145eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
147138, 146breqtrrd 4198 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ -u 2
) )
148 breq2 4176 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
0  <  x  <->  0  <  ( b  /  a ) ) )
149 oveq1 6047 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
x  -  A )  =  ( ( b  /  a )  -  A ) )
150149fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  ( abs `  ( x  -  A ) )  =  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )
151150breq1d 4182 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  <->  ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) )  <  B
) )
152 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (denom `  x )  =  (denom `  ( b  /  a
) ) )
153152oveq1d 6055 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
(denom `  x ) ^ -u 2 )  =  ( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ -u 2
) )
154150, 153breq12d 4185 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
)  <->  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ -u 2
) ) )
155148, 151, 1543anbi123d 1254 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
( 0  <  x  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) )  <->  ( 0  <  ( b  / 
a )  /\  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) )  < 
B  /\  ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) )  <  (
(denom `  ( b  /  a ) ) ^ -u 2 ) ) ) )
156155rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( b  /  a
)  e.  QQ  /\  ( 0  <  (
b  /  a )  /\  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) )  <  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ -u 2
) ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
15717, 21, 98, 147, 156syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
158157ex 424 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  ->  ( ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) ) )
159158rexlimdvva 2797 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( E. a  e.  NN  E. b  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) ) )
1608, 159mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   ifcif 3699   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   QQcq 10530   RR+crp 10568   |_cfl 11156   ^cexp 11337   abscabs 11994  denomcdenom 13081
This theorem is referenced by:  irrapxlem6  26780
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-numer 13082  df-denom 13083
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