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Theorem irrapxlem5 35741
Description: Lemma for irrapx1 35743. Switching to real intervals and fraction syntax. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem irrapxlem5
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
21rpreccld 11374 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
1  /  B )  e.  RR+ )
32rprege0d 11371 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( 1  /  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  B ) ) )
4 flge0nn0 12087 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  B ) )  -> 
( |_ `  (
1  /  B ) )  e.  NN0 )
5 nn0p1nn 10933 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 )  e.  NN )
63, 4, 53syl 18 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 )  e.  NN )
7 irrapxlem4 35740 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 )  e.  NN )  ->  E. a  e.  NN  E. b  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )
86, 7syldan 478 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  NN  E. b  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )
9 simplrr 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  NN )
10 nnq 11300 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  QQ )
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  QQ )
12 simplrl 778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  NN )
13 nnq 11300 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  QQ )
1412, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  QQ )
1512nnne0d 10676 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  =/=  0 )
16 qdivcl 11308 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  QQ  /\  a  e.  QQ  /\  a  =/=  0 )  ->  (
b  /  a )  e.  QQ )
1711, 14, 15, 16syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  QQ )
189nnrpd 11362 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  RR+ )
1912nnrpd 11362 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  RR+ )
2018, 19rpdivcld 11381 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  RR+ )
2120rpgt0d 11367 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  ( b  /  a ) )
2212nnred 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  RR )
2312nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  NN0 )
2423nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <_  a )
2522, 24absidd 13561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  a
)  =  a )
2625eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  =  ( abs `  a ) )
2726oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) ) )
2812nncnd 10647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  CC )
29 qre 11292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  /  a )  e.  QQ  ->  (
b  /  a )  e.  RR )
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  RR )
31 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
3231ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  A  e.  RR )
3330, 32resubcld 10068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( b  / 
a )  -  A
)  e.  RR )
3433recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( b  / 
a )  -  A
)  e.  CC )
3528, 34absmuld 13593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
a  x.  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) ) )
3627, 35eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( abs `  (
a  x.  ( ( b  /  a )  -  A ) ) ) )
37 qcn 11301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  /  a )  e.  QQ  ->  (
b  /  a )  e.  CC )
3817, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  CC )
39 rpcn 11333 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
4039ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  A  e.  CC )
4128, 38, 40subdid 10095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
( b  /  a
)  -  A ) )  =  ( ( a  x.  ( b  /  a ) )  -  ( a  x.  A ) ) )
429nncnd 10647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  CC )
4342, 28, 15divcan2d 10407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
b  /  a ) )  =  b )
4428, 40mulcomd 9682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  A
)  =  ( A  x.  a ) )
4543, 44oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( a  x.  ( b  /  a
) )  -  (
a  x.  A ) )  =  ( b  -  ( A  x.  a ) ) )
4641, 45eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
( b  /  a
)  -  A ) )  =  ( b  -  ( A  x.  a ) ) )
4746fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
a  x.  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( abs `  ( b  -  ( A  x.  a )
) ) )
4832, 22remulcld 9689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( A  x.  a
)  e.  RR )
4948recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( A  x.  a
)  e.  CC )
5042, 49abssubd 13592 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
b  -  ( A  x.  a ) ) )  =  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b
) ) )
5136, 47, 503eqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) ) )
529nnred 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  RR )
5348, 52resubcld 10068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( A  x.  a )  -  b
)  e.  RR )
5453recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( A  x.  a )  -  b
)  e.  CC )
5554abscld 13575 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  e.  RR )
56 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
5756rprecred 11375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  e.  RR )
5856rpreccld 11374 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  e.  RR+ )
5958rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  B ) )
6057, 59, 4syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( |_ `  (
1  /  B ) )  e.  NN0 )
6160, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  NN )
6261nnrpd 11362 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR+ )
6362, 19ifcld 3915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  e.  RR+ )
6463rprecred 11375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  e.  RR )
6556rpred 11364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  e.  RR )
6622, 65remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  B
)  e.  RR )
67 simpr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )
6858rprecred 11375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  e.  RR )
6961nnred 10646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR )
7069, 22ifcld 3915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  e.  RR )
71 fllep1 12070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  B )  e.  RR  ->  (
1  /  B )  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) )
7257, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) )
73 max2 11505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 )  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
7422, 69, 73syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  <_  if (
a  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
7557, 69, 70, 72, 74letrd 9809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  <_  if (
a  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
7658, 63lerecd 11383 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( 1  /  B )  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  <->  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  ( 1  /  B ) ) ) )
7775, 76mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  ( 1  /  B ) ) )
7865recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  e.  CC )
7956rpne0d 11369 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  =/=  0 )
8078, 79recrecd 10402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  =  B )
8178mulid2d 9679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  x.  B
)  =  B )
8280, 81eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  =  ( 1  x.  B ) )
8312nnge1d 10674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
1  <_  a )
84 1red 9676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
1  e.  RR )
8584, 22, 56lemul1d 11404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  <_  a  <->  ( 1  x.  B )  <_  ( a  x.  B ) ) )
8683, 85mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  x.  B
)  <_  ( a  x.  B ) )
8782, 86eqbrtrd 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  <_  ( a  x.  B ) )
8864, 68, 66, 77, 87letrd 9809 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
a  x.  B ) )
8955, 64, 66, 67, 88ltletrd 9812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( a  x.  B ) )
9051, 89eqbrtrd 4416 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  <  ( a  x.  B ) )
9134abscld 13575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  e.  RR )
9212nngt0d 10675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  a )
93 ltmul2 10478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  ( ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) )  <  B  <->  ( a  x.  ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) ) )  < 
( a  x.  B
) ) )
9491, 65, 22, 92, 93syl112anc 1296 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  B  <->  ( a  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )  <  (
a  x.  B ) ) )
9590, 94mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  B )
9622, 22remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  a
)  e.  RR )
9722, 15msqgt0d 10202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  ( a  x.  a ) )
9897gt0ne0d 10199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  a
)  =/=  0 )
9996, 98rereccld 10456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
a  x.  a ) )  e.  RR )
100 qdencl 14769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  /  a )  e.  QQ  ->  (denom `  ( b  /  a
) )  e.  NN )
10117, 100syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  NN )
102101nnred 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  RR )
103102, 102remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  e.  RR )
104101nnne0d 10676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  =/=  0 )
105102, 104msqgt0d 10202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) )
106105gt0ne0d 10199 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  =/=  0 )
107103, 106rereccld 10456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
(denom `  ( b  /  a ) )  x.  (denom `  (
b  /  a ) ) ) )  e.  RR )
10822, 15rereccld 10456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  a
)  e.  RR )
109 max1 11503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  a  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
11022, 69, 109syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  <_  if (
a  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
11119, 63lerecd 11383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  <->  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  a ) ) )
112110, 111mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  a ) )
11355, 64, 108, 67, 112ltletrd 9812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  a ) )
11428, 28, 28, 15, 15divdiv1d 10436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( a  / 
a )  /  a
)  =  ( a  /  ( a  x.  a ) ) )
11528, 15dividd 10403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  /  a
)  =  1 )
116115oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( a  / 
a )  /  a
)  =  ( 1  /  a ) )
11796recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  a
)  e.  CC )
11828, 117, 98divrecd 10408 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  /  (
a  x.  a ) )  =  ( a  x.  ( 1  / 
( a  x.  a
) ) ) )
119114, 116, 1183eqtr3rd 2514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
1  /  ( a  x.  a ) ) )  =  ( 1  /  a ) )
120113, 51, 1193brtr4d 4426 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  <  ( a  x.  ( 1  /  (
a  x.  a ) ) ) )
121 ltmul2 10478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  (
a  x.  a ) )  e.  RR  /\  ( a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  ( ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) )  < 
( 1  /  (
a  x.  a ) )  <->  ( a  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )  <  (
a  x.  ( 1  /  ( a  x.  a ) ) ) ) )
12291, 99, 22, 92, 121syl112anc 1296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( 1  /  ( a  x.  a ) )  <->  ( a  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )  <  (
a  x.  ( 1  /  ( a  x.  a ) ) ) ) )
123120, 122mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( 1  /  ( a  x.  a ) ) )
1249nnzd 11062 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  ZZ )
125 divdenle 14777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  NN )  ->  (denom `  ( b  /  a ) )  <_  a )
126124, 12, 125syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  <_  a )
127101nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  NN0 )
128127nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <_  (denom `  (
b  /  a ) ) )
129 le2msq 10528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (denom `  (
b  /  a ) )  e.  RR  /\  0  <_  (denom `  (
b  /  a ) ) )  /\  (
a  e.  RR  /\  0  <_  a ) )  ->  ( (denom `  ( b  /  a
) )  <_  a  <->  ( (denom `  ( b  /  a ) )  x.  (denom `  (
b  /  a ) ) )  <_  (
a  x.  a ) ) )
130102, 128, 22, 24, 129syl22anc 1293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  <_  a  <->  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
) ) )
131126, 130mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
) )
132 lerec 10511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  e.  RR  /\  0  < 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) )  /\  ( ( a  x.  a )  e.  RR  /\  0  < 
( a  x.  a
) ) )  -> 
( ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
)  <->  ( 1  / 
( a  x.  a
) )  <_  (
1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) ) )
133103, 105, 96, 97, 132syl22anc 1293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
)  <->  ( 1  / 
( a  x.  a
) )  <_  (
1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) ) )
134131, 133mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
a  x.  a ) )  <_  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
13591, 99, 107, 123, 134ltletrd 9812 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
136101nncnd 10647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  CC )
137 2nn0 10910 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
138 expneg 12318 . . . . . . . 8  |-  ( ( (denom `  ( b  /  a ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
(denom `  ( b  /  a ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ 2 ) ) )
139136, 137, 138sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ 2 ) ) )
140136sqvald 12451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ 2 )  =  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) )
141140oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
(denom `  ( b  /  a ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
142139, 141eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
143135, 142breqtrrd 4422 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ -u 2
) )
144 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
0  <  x  <->  0  <  ( b  /  a ) ) )
145 oveq1 6315 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
x  -  A )  =  ( ( b  /  a )  -  A ) )
146145fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  ( abs `  ( x  -  A ) )  =  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )
147146breq1d 4405 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  <->  ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) )  <  B
) )
148 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (denom `  x )  =  (denom `  ( b  /  a
) ) )
149148oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
(denom `  x ) ^ -u 2 )  =  ( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ -u 2
) )
150146, 149breq12d 4408 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
)  <->  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ -u 2
) ) )
151144, 147, 1503anbi123d 1365 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
( 0  <  x  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) )  <->  ( 0  <  ( b  / 
a )  /\  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) )  < 
B  /\  ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) )  <  (
(denom `  ( b  /  a ) ) ^ -u 2 ) ) ) )
152151rspcev 3136 . . . . 5  |-  ( ( ( b  /  a
)  e.  QQ  /\  ( 0  <  (
b  /  a )  /\  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) )  <  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ -u 2
) ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
15317, 21, 95, 143, 152syl13anc 1294 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
154153ex 441 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  ->  ( ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) ) )
155154rexlimdvva 2878 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( E. a  e.  NN  E. b  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) ) )
1568, 155mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   ifcif 3872   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   QQcq 11287   RR+crp 11325   |_cfl 12059   ^cexp 12310   abscabs 13374  denomcdenom 14762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-numer 14763  df-denom 14764
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