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Theorem irrapxlem5 35589
Description: Lemma for irrapx1 35591. Switching to real intervals and fraction syntax. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem irrapxlem5
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR+ )
21rpreccld 11351 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
1  /  B )  e.  RR+ )
32rprege0d 11348 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( 1  /  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  B ) ) )
4 flge0nn0 12053 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  B ) )  -> 
( |_ `  (
1  /  B ) )  e.  NN0 )
5 nn0p1nn 10909 . . . 4  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 )  e.  NN )
63, 4, 53syl 18 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 )  e.  NN )
7 irrapxlem4 35588 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 )  e.  NN )  ->  E. a  e.  NN  E. b  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )
86, 7syldan 472 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. a  e.  NN  E. b  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )
9 simplrr 769 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  NN )
10 nnq 11277 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  ->  b  e.  QQ )
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  QQ )
12 simplrl 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  NN )
13 nnq 11277 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  NN  ->  a  e.  QQ )
1412, 13syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  QQ )
1512nnne0d 10654 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  =/=  0 )
16 qdivcl 11285 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  QQ  /\  a  e.  QQ  /\  a  =/=  0 )  ->  (
b  /  a )  e.  QQ )
1711, 14, 15, 16syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  QQ )
189nnrpd 11339 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  RR+ )
1912nnrpd 11339 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  RR+ )
2018, 19rpdivcld 11358 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  RR+ )
2120rpgt0d 11344 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  ( b  /  a ) )
2212nnred 10624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  RR )
2312nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  NN0 )
2423nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <_  a )
2522, 24absidd 13472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  a
)  =  a )
2625eqcomd 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  =  ( abs `  a ) )
2726oveq1d 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) ) )
2812nncnd 10625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  e.  CC )
29 qre 11269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  /  a )  e.  QQ  ->  (
b  /  a )  e.  RR )
3017, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  RR )
31 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
3231ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  A  e.  RR )
3330, 32resubcld 10047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( b  / 
a )  -  A
)  e.  RR )
3433recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( b  / 
a )  -  A
)  e.  CC )
3528, 34absmuld 13503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
a  x.  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  a )  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) ) )
3627, 35eqtr4d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( abs `  (
a  x.  ( ( b  /  a )  -  A ) ) ) )
37 qcn 11278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  /  a )  e.  QQ  ->  (
b  /  a )  e.  CC )
3817, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( b  /  a
)  e.  CC )
39 rpcn 11310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  CC )
4039ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  A  e.  CC )
4128, 38, 40subdid 10074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
( b  /  a
)  -  A ) )  =  ( ( a  x.  ( b  /  a ) )  -  ( a  x.  A ) ) )
429nncnd 10625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  CC )
4342, 28, 15divcan2d 10385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
b  /  a ) )  =  b )
4428, 40mulcomd 9664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  A
)  =  ( A  x.  a ) )
4543, 44oveq12d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( a  x.  ( b  /  a
) )  -  (
a  x.  A ) )  =  ( b  -  ( A  x.  a ) ) )
4641, 45eqtrd 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
( b  /  a
)  -  A ) )  =  ( b  -  ( A  x.  a ) ) )
4746fveq2d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
a  x.  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( abs `  ( b  -  ( A  x.  a )
) ) )
4832, 22remulcld 9671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( A  x.  a
)  e.  RR )
4948recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( A  x.  a
)  e.  CC )
5042, 49abssubd 13502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
b  -  ( A  x.  a ) ) )  =  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b
) ) )
5136, 47, 503eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) ) )
529nnred 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  RR )
5348, 52resubcld 10047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( A  x.  a )  -  b
)  e.  RR )
5453recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( A  x.  a )  -  b
)  e.  CC )
5554abscld 13485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  e.  RR )
56 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
5756rprecred 11352 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  e.  RR )
5856rpreccld 11351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  e.  RR+ )
5958rpge0d 11345 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <_  ( 1  /  B ) )
6057, 59, 4syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( |_ `  (
1  /  B ) )  e.  NN0 )
6160, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  NN )
6261nnrpd 11339 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR+ )
6362, 19ifcld 3952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  e.  RR+ )
6463rprecred 11352 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  e.  RR )
6556rpred 11341 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  e.  RR )
6622, 65remulcld 9671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  B
)  e.  RR )
67 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )
6858rprecred 11352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  e.  RR )
6961nnred 10624 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR )
7069, 22ifcld 3952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  e.  RR )
71 fllep1 12036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  /  B )  e.  RR  ->  (
1  /  B )  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) )
7257, 71syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) )
73 max2 11482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 )  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
7422, 69, 73syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  <_  if (
a  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
7557, 69, 70, 72, 74letrd 9792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  B
)  <_  if (
a  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
7658, 63lerecd 11360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( 1  /  B )  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  <->  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  ( 1  /  B ) ) ) )
7775, 76mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  ( 1  /  B ) ) )
7865recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  e.  CC )
7956rpne0d 11346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  B  =/=  0 )
8078, 79recrecd 10380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  =  B )
8178mulid2d 9661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  x.  B
)  =  B )
8280, 81eqtr4d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  =  ( 1  x.  B ) )
8312nnge1d 10652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
1  <_  a )
84 1red 9658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
1  e.  RR )
8584, 22, 56lemul1d 11381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  <_  a  <->  ( 1  x.  B )  <_  ( a  x.  B ) ) )
8683, 85mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  x.  B
)  <_  ( a  x.  B ) )
8782, 86eqbrtrd 4441 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
1  /  B ) )  <_  ( a  x.  B ) )
8864, 68, 66, 77, 87letrd 9792 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
a  x.  B ) )
8955, 64, 66, 67, 88ltletrd 9795 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( a  x.  B ) )
9051, 89eqbrtrd 4441 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  <  ( a  x.  B ) )
9134abscld 13485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  e.  RR )
9212nngt0d 10653 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  a )
93 ltmul2 10456 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  (
a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  ( ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) )  <  B  <->  ( a  x.  ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) ) )  < 
( a  x.  B
) ) )
9491, 65, 22, 92, 93syl112anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  B  <->  ( a  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )  <  (
a  x.  B ) ) )
9590, 94mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  B )
9622, 22remulcld 9671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  a
)  e.  RR )
9722, 15msqgt0d 10181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  ( a  x.  a ) )
9897gt0ne0d 10178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  a
)  =/=  0 )
9996, 98rereccld 10434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
a  x.  a ) )  e.  RR )
100 qdencl 14677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  /  a )  e.  QQ  ->  (denom `  ( b  /  a
) )  e.  NN )
10117, 100syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  NN )
102101nnred 10624 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  RR )
103102, 102remulcld 9671 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  e.  RR )
104101nnne0d 10654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  =/=  0 )
105102, 104msqgt0d 10181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) )
106105gt0ne0d 10178 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  =/=  0 )
107103, 106rereccld 10434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
(denom `  ( b  /  a ) )  x.  (denom `  (
b  /  a ) ) ) )  e.  RR )
10822, 15rereccld 10434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  a
)  e.  RR )
109 max1 11480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  B
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  a  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
11022, 69, 109syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
a  <_  if (
a  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )
11119, 63lerecd 11360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  <_  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a )  <->  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  a ) ) )
112110, 111mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  <_  (
1  /  a ) )
11355, 64, 108, 67, 112ltletrd 9795 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  a ) )
11428, 28, 28, 15, 15divdiv1d 10414 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( a  / 
a )  /  a
)  =  ( a  /  ( a  x.  a ) ) )
11528, 15dividd 10381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  /  a
)  =  1 )
116115oveq1d 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( a  / 
a )  /  a
)  =  ( 1  /  a ) )
11796recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  a
)  e.  CC )
11828, 117, 98divrecd 10386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  /  (
a  x.  a ) )  =  ( a  x.  ( 1  / 
( a  x.  a
) ) ) )
119114, 116, 1183eqtr3rd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  (
1  /  ( a  x.  a ) ) )  =  ( 1  /  a ) )
120113, 51, 1193brtr4d 4451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( a  x.  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) ) )  <  ( a  x.  ( 1  /  (
a  x.  a ) ) ) )
121 ltmul2 10456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  (
a  x.  a ) )  e.  RR  /\  ( a  e.  RR  /\  0  <  a ) )  ->  ( ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) )  < 
( 1  /  (
a  x.  a ) )  <->  ( a  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )  <  (
a  x.  ( 1  /  ( a  x.  a ) ) ) ) )
12291, 99, 22, 92, 121syl112anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( 1  /  ( a  x.  a ) )  <->  ( a  x.  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )  <  (
a  x.  ( 1  /  ( a  x.  a ) ) ) ) )
123120, 122mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( 1  /  ( a  x.  a ) ) )
1249nnzd 11039 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
b  e.  ZZ )
125 divdenle 14685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  ZZ  /\  a  e.  NN )  ->  (denom `  ( b  /  a ) )  <_  a )
126124, 12, 125syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  <_  a )
127101nnnn0d 10925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  NN0 )
128127nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
0  <_  (denom `  (
b  /  a ) ) )
129 le2msq 10506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( (denom `  (
b  /  a ) )  e.  RR  /\  0  <_  (denom `  (
b  /  a ) ) )  /\  (
a  e.  RR  /\  0  <_  a ) )  ->  ( (denom `  ( b  /  a
) )  <_  a  <->  ( (denom `  ( b  /  a ) )  x.  (denom `  (
b  /  a ) ) )  <_  (
a  x.  a ) ) )
130102, 128, 22, 24, 129syl22anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  <_  a  <->  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
) ) )
131126, 130mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
) )
132 lerec 10489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  e.  RR  /\  0  < 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) )  /\  ( ( a  x.  a )  e.  RR  /\  0  < 
( a  x.  a
) ) )  -> 
( ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
)  <->  ( 1  / 
( a  x.  a
) )  <_  (
1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) ) )
133103, 105, 96, 97, 132syl22anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) )  <_ 
( a  x.  a
)  <->  ( 1  / 
( a  x.  a
) )  <_  (
1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) ) )
134131, 133mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
a  x.  a ) )  <_  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
13591, 99, 107, 123, 134ltletrd 9795 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
136101nncnd 10625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
(denom `  ( b  /  a ) )  e.  CC )
137 2nn0 10886 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
138 expneg 12279 . . . . . . . 8  |-  ( ( (denom `  ( b  /  a ) )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
(denom `  ( b  /  a ) ) ^ -u 2 )  =  ( 1  / 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ 2 ) ) )
139136, 137, 138sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ 2 ) ) )
140136sqvald 12412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ 2 )  =  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) )
141140oveq2d 6317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( 1  /  (
(denom `  ( b  /  a ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  / 
( (denom `  (
b  /  a ) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
142139, 141eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( (denom `  ( b  /  a
) )  x.  (denom `  ( b  /  a
) ) ) ) )
143135, 142breqtrrd 4447 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  -> 
( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ -u 2
) )
144 breq2 4424 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
0  <  x  <->  0  <  ( b  /  a ) ) )
145 oveq1 6308 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
x  -  A )  =  ( ( b  /  a )  -  A ) )
146145fveq2d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  ( abs `  ( x  -  A ) )  =  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) ) )
147146breq1d 4430 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  <->  ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) )  <  B
) )
148 fveq2 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (denom `  x )  =  (denom `  ( b  /  a
) ) )
149148oveq1d 6316 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
(denom `  x ) ^ -u 2 )  =  ( (denom `  (
b  /  a ) ) ^ -u 2
) )
150146, 149breq12d 4433 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
)  <->  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ -u 2
) ) )
151144, 147, 1503anbi123d 1335 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( b  / 
a )  ->  (
( 0  <  x  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) )  <->  ( 0  <  ( b  / 
a )  /\  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) )  < 
B  /\  ( abs `  ( ( b  / 
a )  -  A
) )  <  (
(denom `  ( b  /  a ) ) ^ -u 2 ) ) ) )
152151rspcev 3182 . . . . 5  |-  ( ( ( b  /  a
)  e.  QQ  /\  ( 0  <  (
b  /  a )  /\  ( abs `  (
( b  /  a
)  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( ( b  /  a )  -  A ) )  <  ( (denom `  ( b  /  a
) ) ^ -u 2
) ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
15317, 21, 95, 143, 152syl13anc 1266 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  <  x  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  B  /\  ( abs `  ( x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
154153ex 435 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN ) )  ->  ( ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) ) )
155154rexlimdvva 2924 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( E. a  e.  NN  E. b  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  (
( |_ `  (
1  /  B ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  B ) )  +  1 ) ,  a ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) ) )
1568, 155mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  E. x  e.  QQ  ( 0  < 
x  /\  ( abs `  ( x  -  A
) )  <  B  /\  ( abs `  (
x  -  A ) )  <  ( (denom `  x ) ^ -u 2
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   E.wrex 2776   ifcif 3909   class class class wbr 4420   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861    / cdiv 10269   NNcn 10609   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   QQcq 11264   RR+crp 11302   |_cfl 12025   ^cexp 12271   abscabs 13285  denomcdenom 14670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-sup 7958  df-inf 7959  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fz 11785  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-dvds 14293  df-gcd 14456  df-numer 14671  df-denom 14672
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