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Theorem irrapxlem4 29163
Description: Lemma for irrapx1 29166. Eliminate ranges, use positivity of the input to force positivity of the output by increasing  B as needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem irrapxlem4
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR+ )
21rpreccld 11035 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
1  /  A )  e.  RR+ )
32rprege0d 11032 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
( 1  /  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  A ) ) )
4 flge0nn0 11664 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  A ) )  -> 
( |_ `  (
1  /  A ) )  e.  NN0 )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e. 
NN0 )
6 nn0p1nn 10617 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
8 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
9 ifcl 3829 . . . 4  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
107, 8, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
11 irrapxlem3 29162 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )  ->  E. a  e.  (
1 ... if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) ) )
121, 10, 11syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e. 
NN0  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )
13 elfznn 11476 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ...
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  -> 
a  e.  NN )
1413ad3antlr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  e.  NN )
15 nn0z 10667 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
1615ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
171ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
1817rpred 11025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  RR )
1914nnred 10335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  e.  RR )
2018, 19remulcld 9412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  a )  e.  RR )
21 nn0re 10586 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  RR )
2320, 22resubcld 9774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  e.  RR )
2423recnd 9410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  e.  CC )
2524abscld 12920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  e.  RR )
267ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
278ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  e.  NN )
2826, 27, 9syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
2928nnrecred 10365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  e.  RR )
30 0re 9384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  e.  RR )
3220, 31resubcld 9774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  0 )  e.  RR )
33 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )
3426nnrecred 10365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  e.  RR )
3527nnred 10335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  e.  RR )
3617rprecred 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  e.  RR )
3736flcld 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  ZZ )
3837zred 10745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
39 peano2re 9540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR )
41 max2 11157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) )
4235, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
4326nngt0d 10363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )
4428nnred 10335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR )
4528nngt0d 10363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
46 lerec 10212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  /\  ( if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR  /\  0  < 
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  <->  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) )  <_  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) ) )
4740, 43, 44, 45, 46syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ) ) )
4842, 47mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ) )
49 fllep1 11649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  A )  e.  RR  ->  (
1  /  A )  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5036, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5126nncnd 10336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  CC )
5226nnne0d 10364 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  =/=  0 )
5351, 52recrecd 10102 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5450, 53breqtrrd 4316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  <_  ( 1  / 
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) ) )
5540, 43recgt0d 10265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  ( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) )
5617rpgt0d 11028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  A )
57 lerec 10212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) ) ) )
5834, 55, 18, 56, 57syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) )  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_ 
( 1  /  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) ) ) )
5954, 58mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  <_  A )
6029, 34, 18, 48, 59letrd 9526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  A )
6118recnd 9410 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  CC )
6261mulid1d 9401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
6314nnge1d 10362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  1  <_  a )
64 1re 9383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  1  e.  RR )
6665, 19, 17lemul2d 11065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  <_  a  <->  ( A  x.  1 )  <_  ( A  x.  a )
) )
6763, 66mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  1 )  <_  ( A  x.  a ) )
6862, 67eqbrtrrd 4312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  <_  ( A  x.  a
) )
6920recnd 9410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  a )  e.  CC )
7069subid1d 9706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  0 )  =  ( A  x.  a ) )
7168, 70breqtrrd 4316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  <_  ( ( A  x.  a )  -  0 ) )
7229, 18, 32, 60, 71letrd 9526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) )
7325, 29, 32, 33, 72ltletrd 9529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( ( A  x.  a )  -  0 ) )
7423, 32absltd 12914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( ( A  x.  a )  -  0 )  <->  ( -u (
( A  x.  a
)  -  0 )  <  ( ( A  x.  a )  -  b )  /\  (
( A  x.  a
)  -  b )  <  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) ) ) )
7573, 74mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( -u ( ( A  x.  a )  -  0 )  <  ( ( A  x.  a )  -  b )  /\  ( ( A  x.  a )  -  b
)  <  ( ( A  x.  a )  -  0 ) ) )
7675simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  <  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) )
7731, 22, 20ltsub2d 9947 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
0  <  b  <->  ( ( A  x.  a )  -  b )  < 
( ( A  x.  a )  -  0 ) ) )
7876, 77mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  b )
79 elnnz 10654 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  <->  ( b  e.  ZZ  /\  0  < 
b ) )
8016, 78, 79sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  NN )
81 ifcl 3829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  a  e.  NN )  ->  if ( a  <_  B ,  B , 
a )  e.  NN )
8227, 14, 81syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  NN )
8382nnrecred 10365 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a )
)  e.  RR )
84 elfzle2 11453 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 1 ...
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  -> 
a  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
8584ad3antlr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
86 max1 11155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) )
8735, 40, 86syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
88 maxle 11160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR )  -> 
( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  <->  ( a  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  /\  B  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) ) ) )
8919, 35, 44, 88syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( a  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  /\  B  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) ) )
9085, 87, 89mpbir2and 913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
91 ifcl 3829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_  B ,  B , 
a )  e.  RR )
9235, 19, 91syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  RR )
9327nngt0d 10363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  B )
94 max2 11157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  if (
a  <_  B ,  B ,  a )
)
9519, 35, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  <_  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
9631, 35, 92, 93, 95ltletrd 9529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
97 lerec 10212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  RR  /\  0  < 
if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )  /\  ( if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR  /\  0  <  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
9892, 96, 44, 45, 97syl22anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
9990, 98mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
10025, 29, 83, 33, 99ltletrd 9529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
101 oveq2 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  a ) )
102101oveq1d 6104 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
( A  x.  x
)  -  y )  =  ( ( A  x.  a )  -  y ) )
103102fveq2d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  y ) ) )
104 breq1 4293 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
x  <_  B  <->  a  <_  B ) )
105 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
106104, 105ifbieq2d 3812 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  if ( x  <_  B ,  B ,  x )  =  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
107106oveq2d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
)  =  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
108103, 107breq12d 4303 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) )  <->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  y
) )  <  (
1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a )
) ) )
109 oveq2 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
( A  x.  a
)  -  y )  =  ( ( A  x.  a )  -  b ) )
110109fveq2d 5693 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  y ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) ) )
111110breq1d 4300 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) )  <-> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
112108, 111rspc2ev 3079 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
11314, 80, 100, 112syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
114113ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e. 
NN0 )  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  < 
( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
) ) )
115114rexlimdva 2839 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b
) )  <  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  < 
( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
) ) )
116115rexlimdva 2839 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. a  e.  (
1 ... if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) ) )
11712, 116mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   E.wrex 2714   ifcif 3789   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   RRcr 9279   0cc0 9280   1c1 9281    + caddc 9283    x. cmul 9285    < clt 9416    <_ cle 9417    - cmin 9593   -ucneg 9594    / cdiv 9991   NNcn 10320   NN0cn0 10577   ZZcz 10644   RR+crp 10989   ...cfz 11435   |_cfl 11638   abscabs 12721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-ico 11304  df-fz 11436  df-fl 11640  df-mod 11707  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723
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