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Theorem irrapxlem4 30393
Description: Lemma for irrapx1 30396. Eliminate ranges, use positivity of the input to force positivity of the output by increasing  B as needed. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem irrapxlem4
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  A  e.  RR+ )
21rpreccld 11266 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
1  /  A )  e.  RR+ )
32rprege0d 11263 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
( 1  /  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  A ) ) )
4 flge0nn0 11922 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  A ) )  -> 
( |_ `  (
1  /  A ) )  e.  NN0 )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e. 
NN0 )
6 nn0p1nn 10835 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
8 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  NN )
9 ifcl 3981 . . . 4  |-  ( ( ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
107, 8, 9syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
11 irrapxlem3 30392 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )  ->  E. a  e.  (
1 ... if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) ) )
121, 10, 11syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e. 
NN0  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )
13 elfznn 11714 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( 1 ...
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  -> 
a  e.  NN )
1413ad3antlr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  e.  NN )
15 nn0z 10887 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
1615ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
171ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  RR+ )
1817rpred 11256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  RR )
1914nnred 10551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  e.  RR )
2018, 19remulcld 9624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  a )  e.  RR )
21 nn0re 10804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  RR )
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  RR )
2320, 22resubcld 9987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  e.  RR )
2423recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  e.  CC )
2524abscld 13230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  e.  RR )
267ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  NN )
278ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  e.  NN )
2826, 27, 9syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  NN )
2928nnrecred 10581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  e.  RR )
30 0re 9596 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  e.  RR )
3220, 31resubcld 9987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  0 )  e.  RR )
33 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )
3426nnrecred 10581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  e.  RR )
3527nnred 10551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  e.  RR )
3617rprecred 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  e.  RR )
3736flcld 11903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  ZZ )
3837zred 10966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  RR )
39 peano2re 9752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR )
41 max2 11388 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) )
4235, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
4326nngt0d 10579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )
4428nnred 10551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR )
4528nngt0d 10579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
46 lerec 10427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 )  e.  RR  /\  0  <  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  /\  ( if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR  /\  0  < 
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  <->  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) )  <_  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) ) )
4740, 43, 44, 45, 46syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ) ) )
4842, 47mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ) )
49 fllep1 11906 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  A )  e.  RR  ->  (
1  /  A )  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5036, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5126nncnd 10552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  e.  CC )
5226nnne0d 10580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 )  =/=  0 )
5351, 52recrecd 10317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) )  =  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )
5450, 53breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  A )  <_  ( 1  / 
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) ) )
5540, 43recgt0d 10480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  ( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) )
5617rpgt0d 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  A )
57 lerec 10427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( 1  /  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
( ( 1  / 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) )  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_  ( 1  / 
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ) ) ) )
5834, 55, 18, 56, 57syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( 1  /  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) )  <_  A  <->  ( 1  /  A )  <_ 
( 1  /  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ) ) ) )
5954, 58mpbird 232 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) )  <_  A )
6029, 34, 18, 48, 59letrd 9738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  A )
6118recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  e.  CC )
6261mulid1d 9613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
6314nnge1d 10578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  1  <_  a )
64 1re 9595 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  RR
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  1  e.  RR )
6665, 19, 17lemul2d 11296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  <_  a  <->  ( A  x.  1 )  <_  ( A  x.  a )
) )
6763, 66mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  1 )  <_  ( A  x.  a ) )
6862, 67eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  <_  ( A  x.  a
) )
6920recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( A  x.  a )  e.  CC )
7069subid1d 9919 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  0 )  =  ( A  x.  a ) )
7168, 70breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  A  <_  ( ( A  x.  a )  -  0 ) )
7229, 18, 32, 60, 71letrd 9738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) )
7325, 29, 32, 33, 72ltletrd 9741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( ( A  x.  a )  -  0 ) )
7423, 32absltd 13224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( ( A  x.  a )  -  0 )  <->  ( -u (
( A  x.  a
)  -  0 )  <  ( ( A  x.  a )  -  b )  /\  (
( A  x.  a
)  -  b )  <  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) ) ) )
7573, 74mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( -u ( ( A  x.  a )  -  0 )  <  ( ( A  x.  a )  -  b )  /\  ( ( A  x.  a )  -  b
)  <  ( ( A  x.  a )  -  0 ) ) )
7675simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
( A  x.  a
)  -  b )  <  ( ( A  x.  a )  - 
0 ) )
7731, 22, 20ltsub2d 10162 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
0  <  b  <->  ( ( A  x.  a )  -  b )  < 
( ( A  x.  a )  -  0 ) ) )
7876, 77mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  b )
79 elnnz 10874 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN  <->  ( b  e.  ZZ  /\  0  < 
b ) )
8016, 78, 79sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  b  e.  NN )
81 ifcl 3981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  NN  /\  a  e.  NN )  ->  if ( a  <_  B ,  B , 
a )  e.  NN )
8227, 14, 81syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  NN )
8382nnrecred 10581 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a )
)  e.  RR )
84 elfzle2 11690 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ( 1 ...
if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  -> 
a  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
8584ad3antlr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  a  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
86 max1 11386 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 )  e.  RR )  ->  B  <_  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) )
8735, 40, 86syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
88 maxle 11391 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR )  -> 
( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  <->  ( a  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
)  /\  B  <_  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) ) ) )
8919, 35, 44, 88syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( a  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  /\  B  <_  if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) ) )
9085, 87, 89mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )
91 ifcl 3981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  a  e.  RR )  ->  if ( a  <_  B ,  B , 
a )  e.  RR )
9235, 19, 91syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  RR )
9327nngt0d 10579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  B )
94 max2 11388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  if (
a  <_  B ,  B ,  a )
)
9519, 35, 94syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  B  <_  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
9631, 35, 92, 93, 95ltletrd 9741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  0  <  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
97 lerec 10427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  e.  RR  /\  0  < 
if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )  /\  ( if ( B  <_ 
( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  e.  RR  /\  0  <  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
9892, 96, 44, 45, 97syl22anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( if ( a  <_  B ,  B ,  a )  <_  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B )  <->  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
9990, 98mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  <_  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
10025, 29, 83, 33, 99ltletrd 9741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
101 oveq2 6292 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  a ) )
102101oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  (
( A  x.  x
)  -  y )  =  ( ( A  x.  a )  -  y ) )
103102fveq2d 5870 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  y ) ) )
104 breq1 4450 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  (
x  <_  B  <->  a  <_  B ) )
105 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  a  ->  x  =  a )
106104, 105ifbieq2d 3964 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  a  ->  if ( x  <_  B ,  B ,  x )  =  if ( a  <_  B ,  B , 
a ) )
107106oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  a  ->  (
1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
)  =  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )
108103, 107breq12d 4460 . . . . . . 7  |-  ( x  =  a  ->  (
( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) )  <->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  y
) )  <  (
1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a )
) ) )
109 oveq2 6292 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  b  ->  (
( A  x.  a
)  -  y )  =  ( ( A  x.  a )  -  b ) )
110109fveq2d 5870 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  b  ->  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  y ) )  =  ( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) ) )
111110breq1d 4457 . . . . . . 7  |-  ( y  =  b  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) )  <-> 
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) ) )
112108, 111rspc2ev 3225 . . . . . 6  |-  ( ( a  e.  NN  /\  b  e.  NN  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( a  <_  B ,  B ,  a ) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
11314, 80, 100, 112syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e.  NN0 )  /\  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  < 
( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  ( 1  /  A
) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
114113ex 434 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  /\  b  e. 
NN0 )  ->  (
( abs `  (
( A  x.  a
)  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  < 
( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
) ) )
115114rexlimdva 2955 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  a  e.  ( 1 ... if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) )  ->  ( E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b
) )  <  (
1  /  if ( B  <_  ( ( |_ `  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  ( ( A  x.  x )  -  y ) )  < 
( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x )
) ) )
116115rexlimdva 2955 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. a  e.  (
1 ... if ( B  <_  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  B ) ) E. b  e.  NN0  ( abs `  ( ( A  x.  a )  -  b ) )  <  ( 1  /  if ( B  <_  (
( |_ `  (
1  /  A ) )  +  1 ) ,  ( ( |_
`  ( 1  /  A ) )  +  1 ) ,  B
) )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) ) )
11712, 116mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  NN  E. y  e.  NN  ( abs `  (
( A  x.  x
)  -  y ) )  <  ( 1  /  if ( x  <_  B ,  B ,  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   E.wrex 2815   ifcif 3939   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   -ucneg 9806    / cdiv 10206   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   RR+crp 11220   ...cfz 11672   |_cfl 11895   abscabs 13030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-ico 11535  df-fz 11673  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032
This theorem is referenced by:  irrapxlem5  30394
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