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Theorem irrapxlem2 35738
Description: Lemma for irrapx1 35743. Two multiples in the same bucket means they are very close mod 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( 0 ... B
) E. y  e.  ( 0 ... B
) ( x  < 
y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  <  (
1  /  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem irrapxlem2
StepHypRef Expression
1 irrapxlem1 35737 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( 0 ... B
) E. y  e.  ( 0 ... B
) ( x  < 
y  /\  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) ) )
2 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
32ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  e.  RR )
4 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
54ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  A  e.  RR )
6 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0 ... B )  ->  x  e.  ZZ )
76zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0 ... B )  ->  x  e.  RR )
87ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  x  e.  RR )
95, 8remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( A  x.  x )  e.  RR )
10 1rp 11329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR+
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  1  e.  RR+ )
129, 11modcld 12135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  x
)  mod  1 )  e.  RR )
133, 12remulcld 9689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  e.  RR )
14 intfrac 12145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  e.  RR  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
16 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 0 ... B )  ->  y  e.  ZZ )
1716zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 0 ... B )  ->  y  e.  RR )
1817adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  y  e.  RR )
195, 18remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( A  x.  y )  e.  RR )
2019, 11modcld 12135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  y
)  mod  1 )  e.  RR )
213, 20remulcld 9689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  RR )
22 intfrac 12145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  RR  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
2415, 23oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )
2524fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  -  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) ) )
2625adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) ) )
27 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )
2827oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
2928oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )
3029fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) ) )
3121flcld 12067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  e.  ZZ )
3231zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  e.  CC )
3313, 11modcld 12135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  RR )
3433recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  CC )
3521, 11modcld 12135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  RR )
3635recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  CC )
3732, 34, 36pnpcand 10042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )  =  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )
3837fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
)  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )
39 0red 9662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  0  e.  RR )
40 1red 9676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  1  e.  RR )
41 modelico 35736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  -> 
( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
)  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4213, 10, 41sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
43 modelico 35736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  -> 
( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
)  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4421, 10, 43sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
45 icodiamlt 13574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1
)  /\  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )  < 
( 1  -  0 ) )
4639, 40, 42, 44, 45syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )  < 
( 1  -  0 ) )
47 1m0e1 10742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  -  0 )  =  1
4846, 47syl6breq 4435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )  <  1 )
4938, 48eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5049adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5130, 50eqbrtrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5226, 51eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5352ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  -  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  <  1 ) )
5412, 20resubcld 10068 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  RR )
5554recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  CC )
5655abscld 13575 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  e.  RR )
57 nngt0 10660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
5857ad3antlr 745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  0  <  B )
5958gt0ne0d 10199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  =/=  0 )
603, 59rereccld 10456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
1  /  B )  e.  RR )
61 ltmul2 10478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  B
)  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  < 
( 1  /  B
)  <->  ( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  ( B  x.  ( 1  /  B ) ) ) )
6256, 60, 3, 58, 61syl112anc 1296 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B )  <->  ( B  x.  ( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  ( B  x.  ( 1  /  B ) ) ) )
63 nnnn0 10900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
6463nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <_  B )
6564ad3antlr 745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  0  <_  B )
663, 65absidd 13561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  B )  =  B )
6766eqcomd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  =  ( abs `  B
) )
6867oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) ) )
693recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  e.  CC )
7069, 55absmuld 13593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( B  x.  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) ) )
7112recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  x
)  mod  1 )  e.  CC )
7220recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  y
)  mod  1 )  e.  CC )
7369, 71, 72subdid 10095 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( (
( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  =  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  -  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )
7473fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( B  x.  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) ) )
7568, 70, 743eqtr2d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) ) )
7669, 59recidd 10400 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( 1  /  B ) )  =  1 )
7775, 76breq12d 4408 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) ) )  <  ( B  x.  ( 1  /  B
) )  <->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  1 ) )
7862, 77bitrd 261 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B )  <->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  1 ) )
7953, 78sylibrd 242 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  < 
( 1  /  B
) ) )
8079anim2d 575 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( x  <  y  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  -> 
( x  <  y  /\  ( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B ) ) ) )
8180reximdva 2858 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  ->  ( E. y  e.  ( 0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  (
0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B ) ) ) )
8281reximdva 2858 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  (
0 ... B ) E. y  e.  ( 0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  ->  E. x  e.  (
0 ... B ) E. y  e.  ( 0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B ) ) ) )
831, 82mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( 0 ... B
) E. y  e.  ( 0 ... B
) ( x  < 
y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  <  (
1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   E.wrex 2757   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   RR+crp 11325   [,)cico 11662   ...cfz 11810   |_cfl 12059    mod cmo 12129   abscabs 13374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376
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