Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapxlem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem irrapxlem2 35667
Description: Lemma for irrapx1 35672. Two multiples in the same bucket means they are very close mod 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( 0 ... B
) E. y  e.  ( 0 ... B
) ( x  < 
y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  <  (
1  /  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem irrapxlem2
StepHypRef Expression
1 irrapxlem1 35666 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( 0 ... B
) E. y  e.  ( 0 ... B
) ( x  < 
y  /\  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) ) )
2 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
32ad3antlr 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  e.  RR )
4 rpre 11308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
54ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  A  e.  RR )
6 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0 ... B )  ->  x  e.  ZZ )
76zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0 ... B )  ->  x  e.  RR )
87ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  x  e.  RR )
95, 8remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( A  x.  x )  e.  RR )
10 1rp 11306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR+
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  1  e.  RR+ )
129, 11modcld 12102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  x
)  mod  1 )  e.  RR )
133, 12remulcld 9671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  e.  RR )
14 intfrac 12112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  e.  RR  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
16 elfzelz 11800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 0 ... B )  ->  y  e.  ZZ )
1716zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 0 ... B )  ->  y  e.  RR )
1817adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  y  e.  RR )
195, 18remulcld 9671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( A  x.  y )  e.  RR )
2019, 11modcld 12102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  y
)  mod  1 )  e.  RR )
213, 20remulcld 9671 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  RR )
22 intfrac 12112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  RR  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
2415, 23oveq12d 6308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )
2524fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  -  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) ) )
2625adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) ) )
27 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )
2827oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
2928oveq1d 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )
3029fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) ) )
3121flcld 12034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  e.  ZZ )
3231zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  e.  CC )
3313, 11modcld 12102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  RR )
3433recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  CC )
3521, 11modcld 12102 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  RR )
3635recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  CC )
3732, 34, 36pnpcand 10023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )  =  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )
3837fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
)  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )
39 0red 9644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  0  e.  RR )
40 1red 9658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  1  e.  RR )
41 modelico 35665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  -> 
( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
)  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4213, 10, 41sylancl 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
43 modelico 35665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  -> 
( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
)  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4421, 10, 43sylancl 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
45 icodiamlt 13497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1
)  /\  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )  < 
( 1  -  0 ) )
4639, 40, 42, 44, 45syl22anc 1269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )  < 
( 1  -  0 ) )
47 1m0e1 10720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  -  0 )  =  1
4846, 47syl6breq 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )  <  1 )
4938, 48eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5049adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5130, 50eqbrtrd 4423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5226, 51eqbrtrd 4423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5352ex 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  -  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  <  1 ) )
5412, 20resubcld 10047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  RR )
5554recnd 9669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  CC )
5655abscld 13498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  e.  RR )
57 nngt0 10638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
5857ad3antlr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  0  <  B )
5958gt0ne0d 10178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  =/=  0 )
603, 59rereccld 10434 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
1  /  B )  e.  RR )
61 ltmul2 10456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  B
)  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  < 
( 1  /  B
)  <->  ( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  ( B  x.  ( 1  /  B ) ) ) )
6256, 60, 3, 58, 61syl112anc 1272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B )  <->  ( B  x.  ( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  ( B  x.  ( 1  /  B ) ) ) )
63 nnnn0 10876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
6463nn0ge0d 10928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <_  B )
6564ad3antlr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  0  <_  B )
663, 65absidd 13484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  B )  =  B )
6766eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  =  ( abs `  B
) )
6867oveq1d 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) ) )
693recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  e.  CC )
7069, 55absmuld 13516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( B  x.  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) ) )
7112recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  x
)  mod  1 )  e.  CC )
7220recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  y
)  mod  1 )  e.  CC )
7369, 71, 72subdid 10074 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( (
( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  =  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  -  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )
7473fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( B  x.  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) ) )
7568, 70, 743eqtr2d 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) ) )
7669, 59recidd 10378 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( 1  /  B ) )  =  1 )
7775, 76breq12d 4415 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) ) )  <  ( B  x.  ( 1  /  B
) )  <->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  1 ) )
7862, 77bitrd 257 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B )  <->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  1 ) )
7953, 78sylibrd 238 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  < 
( 1  /  B
) ) )
8079anim2d 569 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( x  <  y  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  -> 
( x  <  y  /\  ( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B ) ) ) )
8180reximdva 2862 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  ->  ( E. y  e.  ( 0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  (
0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B ) ) ) )
8281reximdva 2862 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  (
0 ... B ) E. y  e.  ( 0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  ->  E. x  e.  (
0 ... B ) E. y  e.  ( 0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B ) ) ) )
831, 82mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( 0 ... B
) E. y  e.  ( 0 ... B
) ( x  < 
y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  <  (
1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   E.wrex 2738   class class class wbr 4402   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   NNcn 10609   RR+crp 11302   [,)cico 11637   ...cfz 11784   |_cfl 12026    mod cmo 12096   abscabs 13297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fz 11785  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299
This theorem is referenced by:  irrapxlem3  35668
  Copyright terms: Public domain W3C validator