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Theorem irrapxlem2 30391
Description: Lemma for irrapx1 30396. Two multiples in the same bucket means they are very close mod 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( 0 ... B
) E. y  e.  ( 0 ... B
) ( x  < 
y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  <  (
1  /  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y

Proof of Theorem irrapxlem2
StepHypRef Expression
1 irrapxlem1 30390 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( 0 ... B
) E. y  e.  ( 0 ... B
) ( x  < 
y  /\  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) ) )
2 nnre 10543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR )
32ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  e.  RR )
4 rpre 11226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR+  ->  A  e.  RR )
54ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  A  e.  RR )
6 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0 ... B )  ->  x  e.  ZZ )
76zred 10966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0 ... B )  ->  x  e.  RR )
87ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  x  e.  RR )
95, 8remulcld 9624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( A  x.  x )  e.  RR )
10 1rp 11224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  RR+
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  1  e.  RR+ )
129, 11modcld 11970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  x
)  mod  1 )  e.  RR )
133, 12remulcld 9624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  e.  RR )
14 intfrac 11979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  e.  RR  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
16 elfzelz 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ( 0 ... B )  ->  y  e.  ZZ )
1716zred 10966 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( 0 ... B )  ->  y  e.  RR )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  y  e.  RR )
195, 18remulcld 9624 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( A  x.  y )  e.  RR )
2019, 11modcld 11970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  y
)  mod  1 )  e.  RR )
213, 20remulcld 9624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  RR )
22 intfrac 11979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  RR  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
2415, 23oveq12d 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )
2524fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  -  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) ) )
2625adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) ) )
27 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )
2827oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  =  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )
2928oveq1d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )  =  ( ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )
3029fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) ) )
3121flcld 11903 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  e.  ZZ )
3231zcnd 10967 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  e.  CC )
3313, 11modcld 11970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  RR )
3433recnd 9622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  CC )
3521, 11modcld 11970 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  RR )
3635recnd 9622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  CC )
3732, 34, 36pnpcand 9967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) )  =  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )
3837fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
)  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )
39 0re 9596 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  0  e.  RR )
41 1re 9595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  RR
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  1  e.  RR )
43 modelico 30389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  -> 
( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
)  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4413, 10, 43sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
45 modelico 30389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR+ )  -> 
( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
)  e.  ( 0 [,) 1 ) )
4621, 10, 45sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1 ) )
47 icodiamlt 30388 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1
)  /\  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 )  e.  ( 0 [,) 1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )  < 
( 1  -  0 ) )
4840, 42, 44, 46, 47syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )  < 
( 1  -  0 ) )
49 1m0e1 10646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  -  0 )  =  1
5048, 49syl6breq 4486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 )  -  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) )  mod  1
) ) )  <  1 )
5138, 50eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  mod  1 ) )  -  ( ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5251adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5330, 52eqbrtrd 4467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( |_
`  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  mod  1
) )  -  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  +  ( ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5426, 53eqbrtrd 4467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B
) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  1 )
5554ex 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  -  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  <  1 ) )
5612, 20resubcld 9987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  RR )
5756recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) )  e.  CC )
5857abscld 13230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  e.  RR )
59 nngt0 10565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <  B )
6059ad3antlr 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  0  <  B )
6160gt0ne0d 10117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  =/=  0 )
623, 61rereccld 10371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
1  /  B )  e.  RR )
63 ltmul2 10393 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  B
)  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  ->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  < 
( 1  /  B
)  <->  ( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  ( B  x.  ( 1  /  B ) ) ) )
6458, 62, 3, 60, 63syl112anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B )  <->  ( B  x.  ( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  ( B  x.  ( 1  /  B ) ) ) )
65 nnnn0 10802 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  NN0 )
6665nn0ge0d 10855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  0  <_  B )
6766ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  0  <_  B )
683, 67absidd 13217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  B )  =  B )
6968eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  =  ( abs `  B
) )
7069oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) ) )
713recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  B  e.  CC )
7271, 57absmuld 13248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( B  x.  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) ) )
7312recnd 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  x
)  mod  1 )  e.  CC )
7420recnd 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( A  x.  y
)  mod  1 )  e.  CC )
7571, 73, 74subdid 10012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( (
( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  =  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) )  -  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )
7675fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( abs `  ( B  x.  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) ) )
7770, 72, 763eqtr2d 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  =  ( abs `  (
( B  x.  (
( A  x.  x
)  mod  1 ) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) ) )
7871, 61recidd 10315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  ( B  x.  ( 1  /  B ) )  =  1 )
7977, 78breq12d 4460 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( B  x.  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) ) )  <  ( B  x.  ( 1  /  B
) )  <->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  1 ) )
8064, 79bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B )  <->  ( abs `  ( ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1
) )  -  ( B  x.  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) ) )  <  1 ) )
8155, 80sylibrd 234 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1
) ) )  < 
( 1  /  B
) ) )
8281anim2d 565 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  /\  y  e.  ( 0 ... B
) )  ->  (
( x  <  y  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  -> 
( x  <  y  /\  ( abs `  (
( ( A  x.  x )  mod  1
)  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B ) ) ) )
8382reximdva 2938 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  /\  x  e.  ( 0 ... B ) )  ->  ( E. y  e.  ( 0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  ->  E. y  e.  (
0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B ) ) ) )
8483reximdva 2938 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  (
0 ... B ) E. y  e.  ( 0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( |_ `  ( B  x.  ( ( A  x.  x )  mod  1 ) ) )  =  ( |_ `  ( B  x.  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) ) )  ->  E. x  e.  (
0 ... B ) E. y  e.  ( 0 ... B ) ( x  <  y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x
)  mod  1 )  -  ( ( A  x.  y )  mod  1 ) ) )  <  ( 1  /  B ) ) ) )
851, 84mpd 15 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  NN )  ->  E. x  e.  ( 0 ... B
) E. y  e.  ( 0 ... B
) ( x  < 
y  /\  ( abs `  ( ( ( A  x.  x )  mod  1 )  -  (
( A  x.  y
)  mod  1 ) ) )  <  (
1  /  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   RR+crp 11220   [,)cico 11531   ...cfz 11672   |_cfl 11895    mod cmo 11964   abscabs 13030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-ico 11535  df-fz 11673  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032
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