Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapxlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem irrapxlem1 35737
 Description: Lemma for irrapx1 35743. Divides the unit interval into half-open sections and using the pigeonhole principle fphpdo 35731 finds two multiples of in the same section mod 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapxlem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem irrapxlem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzssuz 11865 . . . 4
2 uzssz 11202 . . . . 5
3 zssre 10968 . . . . 5
42, 3sstri 3427 . . . 4
51, 4sstri 3427 . . 3
65a1i 11 . 2
7 ovex 6336 . . 3
87a1i 11 . 2
9 nnm1nn0 10935 . . . . 5
109adantl 473 . . . 4
11 nn0uz 11217 . . . 4
1210, 11syl6eleq 2559 . . 3
13 nnz 10983 . . . 4
15 nnre 10638 . . . . 5
1615adantl 473 . . . 4
1716ltm1d 10561 . . 3
18 fzsdom2 12641 . . 3
1912, 14, 17, 18syl21anc 1291 . 2
2015ad2antlr 741 . . . . . 6
21 rpre 11331 . . . . . . . . 9
2221ad2antrr 740 . . . . . . . 8
23 elfzelz 11826 . . . . . . . . . 10
2423zred 11063 . . . . . . . . 9
2524adantl 473 . . . . . . . 8
2622, 25remulcld 9689 . . . . . . 7
27 1rp 11329 . . . . . . 7
28 modcl 12133 . . . . . . 7
2926, 27, 28sylancl 675 . . . . . 6
3020, 29remulcld 9689 . . . . 5
3130flcld 12067 . . . 4
3220recnd 9687 . . . . . . . . 9
3332mul01d 9850 . . . . . . . 8
34 modge0 12139 . . . . . . . . . 10
3526, 27, 34sylancl 675 . . . . . . . . 9
36 0red 9662 . . . . . . . . . 10
37 nngt0 10660 . . . . . . . . . . 11
3837ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10
39 lemul2 10480 . . . . . . . . . 10
4036, 29, 20, 38, 39syl112anc 1296 . . . . . . . . 9
4135, 40mpbid 215 . . . . . . . 8
4233, 41eqbrtrrd 4418 . . . . . . 7
4336, 30lenltd 9798 . . . . . . 7
4442, 43mpbid 215 . . . . . 6
45 0z 10972 . . . . . . 7
46 fllt 12075 . . . . . . 7
4730, 45, 46sylancl 675 . . . . . 6
4844, 47mtbid 307 . . . . 5
4931zred 11063 . . . . . 6
5036, 49lenltd 9798 . . . . 5
5148, 50mpbird 240 . . . 4
52 elnn0z 10974 . . . 4
5331, 51, 52sylanbrc 677 . . 3
55 flle 12068 . . . . . . 7
5630, 55syl 17 . . . . . 6
57 modlt 12140 . . . . . . . . 9
5826, 27, 57sylancl 675 . . . . . . . 8
59 1red 9676 . . . . . . . . 9
60 ltmul2 10478 . . . . . . . . 9
6129, 59, 20, 38, 60syl112anc 1296 . . . . . . . 8
6258, 61mpbid 215 . . . . . . 7
6332mulid1d 9678 . . . . . . 7
6462, 63breqtrd 4420 . . . . . 6
6549, 30, 20, 56, 64lelttrd 9810 . . . . 5
66 nncn 10639 . . . . . . 7
67 ax-1cn 9615 . . . . . . 7
68 npcan 9904 . . . . . . 7
6966, 67, 68sylancl 675 . . . . . 6
7069ad2antlr 741 . . . . 5
7165, 70breqtrrd 4422 . . . 4
7213ad2antlr 741 . . . . . 6
73 1z 10991 . . . . . 6
74 zsubcl 11003 . . . . . 6
7572, 73, 74sylancl 675 . . . . 5
76 zleltp1 11011 . . . . 5
7731, 75, 76syl2anc 673 . . . 4
7871, 77mpbird 240 . . 3
79 elfz2nn0 11911 . . 3
8053, 54, 78, 79syl3anbrc 1214 . 2
81 oveq2 6316 . . . . 5
8281oveq1d 6323 . . . 4
8382oveq2d 6324 . . 3
8483fveq2d 5883 . 2
85 oveq2 6316 . . . . 5
8685oveq1d 6323 . . . 4
8786oveq2d 6324 . . 3
8887fveq2d 5883 . 2
896, 8, 19, 80, 84, 88fphpdo 35731 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wrex 2757  cvv 3031   wss 3390   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308   csdm 7586  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cfz 11810  cfl 12059   cmo 12129 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fl 12061  df-mod 12130  df-hash 12554 This theorem is referenced by:  irrapxlem2  35738
 Copyright terms: Public domain W3C validator