Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irrapx1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem irrapx1 35666
 Description: Dirichlet's approximation theorem. Every positive irrational number has infinitely many rational approximations which are closer than the inverse squares of their reduced denominators. Lemma 61 in [vandenDries] p. 42. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
irrapx1 denom
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem irrapx1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qnnen 14259 . . . 4
2 nnenom 12190 . . . 4
31, 2entri 7620 . . 3
43, 2pm3.2i 457 . 2
5 ssrab2 3513 . . . . . 6 denom
6 qssre 11271 . . . . . 6
75, 6sstri 3440 . . . . 5 denom
87a1i 11 . . . 4 denom
9 eldifi 3554 . . . . 5
109rpred 11338 . . . 4
11 eldifn 3555 . . . . 5
12 elrabi 3192 . . . . 5 denom
1311, 12nsyl 125 . . . 4 denom
14 irrapxlem6 35665 . . . . . 6 denom
159, 14sylan 474 . . . . 5 denom
1615ralrimiva 2801 . . . 4 denom
17 rencldnfi 35658 . . . 4 denom denom denom denom
188, 10, 13, 16, 17syl31anc 1270 . . 3 denom
1918, 5jctil 540 . 2 denom denom
20 ctbnfien 35655 . 2 denom denom denom
214, 19, 20sylancr 668 1 denom
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 371   wcel 1886  wral 2736  wrex 2737  crab 2740   cdif 3400   wss 3403   class class class wbr 4401  cfv 5581  (class class class)co 6288  com 6689   cen 7563  cfn 7566  cr 9535  cc0 9536   clt 9672   cmin 9857  cneg 9858  cn 10606  c2 10656  cq 11261  crp 11299  cexp 12269  cabs 13290  denomcdenom 14676 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-ico 11638  df-fz 11782  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-numer 14677  df-denom 14678 This theorem is referenced by:  pellexlem4  35670
 Copyright terms: Public domain W3C validator