MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipz Structured version   Unicode version

Theorem ipz 26046
Description: The inner product of a vector with itself is zero iff the vector is zero. Part of Definition 3.1-1 of [Kreyszig] p. 129. (Contributed by NM, 24-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dip0r.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dip0r.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
dip0r.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
ipz  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( A P A )  =  0  <->  A  =  Z ) )

Proof of Theorem ipz
StepHypRef Expression
1 dip0r.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 eqid 2402 . . . 4  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
3 dip0r.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
41, 2, 3ipidsq 26037 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  A
) ^ 2 ) )
54eqeq1d 2404 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( A P A )  =  0  <->  (
( ( normCV `  U
) `  A ) ^ 2 )  =  0 ) )
61, 2nvcl 25976 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  A )  e.  RR )
76recnd 9652 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  A )  e.  CC )
8 sqeq0 12277 . . 3  |-  ( ( ( normCV `  U ) `  A )  e.  CC  ->  ( ( ( (
normCV
`  U ) `  A ) ^ 2 )  =  0  <->  (
( normCV `  U ) `  A )  =  0 ) )
97, 8syl 17 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( ( normCV `  U ) `  A
) ^ 2 )  =  0  <->  ( ( normCV `  U ) `  A
)  =  0 ) )
10 dip0r.5 . . 3  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
111, 10, 2nvz 25986 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( normCV `  U
) `  A )  =  0  <->  A  =  Z ) )
125, 9, 113bitrd 279 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( A P A )  =  0  <->  A  =  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   0cc0 9522   2c2 10626   ^cexp 12210   NrmCVeccnv 25891   BaseSetcba 25893   0veccn0v 25895   normCVcnmcv 25897   .iOLDcdip 26024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-grpo 25607  df-gid 25608  df-ginv 25609  df-ablo 25698  df-vc 25853  df-nv 25899  df-va 25902  df-ba 25903  df-sm 25904  df-0v 25905  df-nmcv 25907  df-dip 26025
This theorem is referenced by:  ip2eqi  26186
  Copyright terms: Public domain W3C validator