MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval2lem3 Structured version   Unicode version

Theorem ipval2lem3 24221
Description: Lemma for ipval3 24225. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dipfval.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
dipfval.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
dipfval.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
dipfval.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
ipval2lem3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  RR )

Proof of Theorem ipval2lem3
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 dipfval.4 . . . . . . 7  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
31, 2nvsid 24128 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
1 S B )  =  B )
43oveq2d 6192 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( 1 S B ) )  =  ( A G B ) )
54fveq2d 5779 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) )  =  ( N `  ( A G B ) ) )
65oveq1d 6191 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
763adant2 1007 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
8 ax-1cn 9427 . . 3  |-  1  e.  CC
9 dipfval.2 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
10 dipfval.6 . . . 4  |-  N  =  ( normCV `  U )
11 dipfval.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
121, 9, 2, 10, 11ipval2lem2 24220 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( 1 S B ) ) ) ^
2 )  e.  RR )
138, 12mpan2 671 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
147, 13eqeltrrd 2537 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   CCcc 9367   RRcr 9368   1c1 9370   2c2 10458   ^cexp 11952   NrmCVeccnv 24083   +vcpv 24084   BaseSetcba 24085   .sOLDcns 24086   normCVcnmcv 24089   .iOLDcdip 24216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-2 10467  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-seq 11894  df-exp 11953  df-grpo 23799  df-ablo 23890  df-vc 24045  df-nv 24091  df-va 24094  df-ba 24095  df-sm 24096  df-0v 24097  df-nmcv 24099
This theorem is referenced by:  ipval2  24223  4ipval3  24228  dipcj  24233  dip0r  24236
  Copyright terms: Public domain W3C validator