MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval2lem3 Structured version   Unicode version

Theorem ipval2lem3 25732
Description: Lemma for ipval3 25736. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dipfval.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
dipfval.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
dipfval.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
dipfval.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
ipval2lem3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  RR )

Proof of Theorem ipval2lem3
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 dipfval.4 . . . . . . 7  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
31, 2nvsid 25639 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
1 S B )  =  B )
43oveq2d 6212 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( 1 S B ) )  =  ( A G B ) )
54fveq2d 5778 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) )  =  ( N `  ( A G B ) ) )
65oveq1d 6211 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
763adant2 1013 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
8 ax-1cn 9461 . . 3  |-  1  e.  CC
9 dipfval.2 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
10 dipfval.6 . . . 4  |-  N  =  ( normCV `  U )
11 dipfval.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
121, 9, 2, 10, 11ipval2lem2 25731 . . 3  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( 1 S B ) ) ) ^
2 )  e.  RR )
138, 12mpan2 669 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  e.  RR )
147, 13eqeltrrd 2471 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   RRcr 9402   1c1 9404   2c2 10502   ^cexp 12069   NrmCVeccnv 25594   +vcpv 25595   BaseSetcba 25596   .sOLDcns 25597   normCVcnmcv 25600   .iOLDcdip 25727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-seq 12011  df-exp 12070  df-grpo 25310  df-ablo 25401  df-vc 25556  df-nv 25602  df-va 25605  df-ba 25606  df-sm 25607  df-0v 25608  df-nmcv 25610
This theorem is referenced by:  ipval2  25734  4ipval3  25739  dipcj  25744  dip0r  25747
  Copyright terms: Public domain W3C validator