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Theorem ipval2 25489
Description: Expansion of the inner product value ipval 25485. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dipfval.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
dipfval.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
dipfval.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
dipfval.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
ipval2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )

Proof of Theorem ipval2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 dipfval.2 . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 dipfval.4 . . 3  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
4 dipfval.6 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
5 dipfval.7 . . 3  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
61, 2, 3, 4, 5ipval 25485 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
7 ax-icn 9554 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
81, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
97, 8mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
10 mulcl 9579 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
12 neg1cn 10645 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  CC
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1511, 14subcld 9936 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
16 negicn 9826 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1816, 17mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
19 mulcl 9579 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
207, 18, 19sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
2115, 20negsubd 9942 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
2214mulm1d 10014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
2322oveq2d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2411, 14negsubd 9942 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2523, 24eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
26 mulneg1 9999 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( -u _i  x.  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
277, 18, 26sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2825, 27oveq12d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
29 subdi 9996 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
307, 29mp3an1 1312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
319, 18, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3231oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
3311, 20, 14sub32d 9968 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3432, 33eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3521, 28, 343eqtr4d 2494 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
361, 3nvsid 25394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
1 S B )  =  B )
3736oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( 1 S B ) )  =  ( A G B ) )
3837fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) )  =  ( N `  ( A G B ) ) )
3938oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
40393adant2 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
4140oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) ) )
421, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 25487 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
4342recnd 9625 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  CC )
4443mulid2d 9617 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )
4541, 44eqtrd 2484 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )
4635, 45oveq12d 6299 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) ) )
47 nnuz 11125 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
48 df-4 10602 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
49 oveq2 6289 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  4  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
4 ) )
50 i4 12249 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 4 )  =  1
5149, 50syl6eq 2500 . . . . . . 7  |-  ( k  =  4  ->  (
_i ^ k )  =  1 )
5251oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  4  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( 1 S B ) )
5352oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  4  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G ( 1 S B ) ) )
5453fveq2d 5860 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  4  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) )
5554oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( k  =  4  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
5651, 55oveq12d 6299 . . . . . 6  |-  ( k  =  4  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
57 nnnn0 10808 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
58 expcl 12163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
597, 57, 58sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
6059adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( _i ^
k )  e.  CC )
611, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( _i ^ k
)  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( ( _i ^
k ) S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
6259, 61sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( N `
 ( A G ( ( _i ^
k ) S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
6360, 62mulcld 9619 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
64 df-3 10601 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
65 oveq2 6289 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
3 ) )
66 i3 12248 . . . . . . . . 9  |-  ( _i
^ 3 )  = 
-u _i
6765, 66syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  -u _i )
6867oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  3  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( -u _i S B ) )
6968oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  3  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G (
-u _i S B ) ) )
7069fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  3  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) )
7170oveq1d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  3  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )
7267, 71oveq12d 6299 . . . . . . 7  |-  ( k  =  3  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
73 df-2 10600 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
74 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
2 ) )
75 i2 12247 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
7674, 75syl6eq 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  -u 1 )
7776oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( -u 1 S B ) )
7877oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G (
-u 1 S B ) ) )
7978fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) )
8079oveq1d 6296 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
8176, 80oveq12d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  2  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
82 1z 10900 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
83 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
1 ) )
84 exp1 12151 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 1 )  =  _i )
857, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i
^ 1 )  =  _i
8683, 85syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  _i )
8786oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  1  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( _i S B ) )
8887oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G ( _i S B ) ) )
8988fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) )
9089oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )
9186, 90oveq12d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
9291fsum1 13543 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
9382, 11, 92sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 1
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) ) )
94 1nn 10553 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
9593, 94jctil 537 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
96 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
9747, 73, 81, 63, 95, 96fsump1i 13563 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
2  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
98 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
9947, 64, 72, 63, 97, 98fsump1i 13563 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
3  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
100 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `
 ( A G ( 1 S B ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10147, 48, 56, 63, 99, 100fsump1i 13563 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
4  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
102101simprd 463 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `
 ( A G ( 1 S B ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10343, 14subcld 9936 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
1049, 18subcld 9936 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
105 mulcl 9579 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
1067, 104, 105sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
107103, 106addcomd 9785 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
108106, 14, 43subadd23d 9958 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
109107, 108eqtr4d 2487 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) ) )
11046, 102, 1093eqtr4d 2494 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
111110oveq1d 6296 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
1126, 111eqtrd 2484 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   1c1 9496   _ici 9497    + caddc 9498    x. cmul 9500    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10212   NNcn 10542   2c2 10591   3c3 10592   4c4 10593   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ...cfz 11681   ^cexp 12145   sum_csu 13487   NrmCVeccnv 25349   +vcpv 25350   BaseSetcba 25351   .sOLDcns 25352   normCVcnmcv 25355   .iOLDcdip 25482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-grpo 25065  df-ablo 25156  df-vc 25311  df-nv 25357  df-va 25360  df-ba 25361  df-sm 25362  df-0v 25363  df-nmcv 25365  df-dip 25483
This theorem is referenced by:  4ipval2  25490  ipval3  25491  ipidsq  25495  dipcj  25499  dip0r  25502
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