Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipval2 Structured version   Unicode version

Theorem ipval2 25489
 Description: Expansion of the inner product value ipval 25485. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1
dipfval.2
dipfval.4
dipfval.6 CV
dipfval.7
Assertion
Ref Expression
ipval2

Proof of Theorem ipval2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . 3
2 dipfval.2 . . 3
3 dipfval.4 . . 3
4 dipfval.6 . . 3 CV
5 dipfval.7 . . 3
61, 2, 3, 4, 5ipval 25485 . 2
7 ax-icn 9554 . . . . . . . . 9
81, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25488 . . . . . . . . . 10
97, 8mpan2 671 . . . . . . . . 9
10 mulcl 9579 . . . . . . . . 9
117, 9, 10sylancr 663 . . . . . . . 8
12 neg1cn 10645 . . . . . . . . 9
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25488 . . . . . . . . 9
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . 8
1511, 14subcld 9936 . . . . . . 7
16 negicn 9826 . . . . . . . . 9
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25488 . . . . . . . . 9
1816, 17mpan2 671 . . . . . . . 8
19 mulcl 9579 . . . . . . . 8
207, 18, 19sylancr 663 . . . . . . 7
2115, 20negsubd 9942 . . . . . 6
2214mulm1d 10014 . . . . . . . . 9
2322oveq2d 6297 . . . . . . . 8
2411, 14negsubd 9942 . . . . . . . 8
2523, 24eqtrd 2484 . . . . . . 7
26 mulneg1 9999 . . . . . . . 8
277, 18, 26sylancr 663 . . . . . . 7
2825, 27oveq12d 6299 . . . . . 6
29 subdi 9996 . . . . . . . . . 10
307, 29mp3an1 1312 . . . . . . . . 9
319, 18, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8
3231oveq1d 6296 . . . . . . 7
3311, 20, 14sub32d 9968 . . . . . . 7
3432, 33eqtrd 2484 . . . . . 6
3521, 28, 343eqtr4d 2494 . . . . 5
361, 3nvsid 25394 . . . . . . . . . . 11
3736oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10
3837fveq2d 5860 . . . . . . . . 9
3938oveq1d 6296 . . . . . . . 8
40393adant2 1016 . . . . . . 7
4140oveq2d 6297 . . . . . 6
421, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 25487 . . . . . . . 8
4342recnd 9625 . . . . . . 7
4443mulid2d 9617 . . . . . 6
4541, 44eqtrd 2484 . . . . 5
4635, 45oveq12d 6299 . . . 4
47 nnuz 11125 . . . . . 6
48 df-4 10602 . . . . . 6
49 oveq2 6289 . . . . . . . 8
50 i4 12249 . . . . . . . 8
5149, 50syl6eq 2500 . . . . . . 7
5251oveq1d 6296 . . . . . . . . . 10
5352oveq2d 6297 . . . . . . . . 9
5453fveq2d 5860 . . . . . . . 8
5554oveq1d 6296 . . . . . . 7
5651, 55oveq12d 6299 . . . . . 6
57 nnnn0 10808 . . . . . . . . 9
58 expcl 12163 . . . . . . . . 9
597, 57, 58sylancr 663 . . . . . . . 8
6059adantl 466 . . . . . . 7
611, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25488 . . . . . . . 8
6259, 61sylan2 474 . . . . . . 7
6360, 62mulcld 9619 . . . . . 6
64 df-3 10601 . . . . . . 7
65 oveq2 6289 . . . . . . . . 9
66 i3 12248 . . . . . . . . 9
6765, 66syl6eq 2500 . . . . . . . 8
6867oveq1d 6296 . . . . . . . . . . 11
6968oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10
7069fveq2d 5860 . . . . . . . . 9
7170oveq1d 6296 . . . . . . . 8
7267, 71oveq12d 6299 . . . . . . 7
73 df-2 10600 . . . . . . . 8
74 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10
75 i2 12247 . . . . . . . . . 10
7674, 75syl6eq 2500 . . . . . . . . 9
7776oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12
7877oveq2d 6297 . . . . . . . . . . 11
7978fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10
8079oveq1d 6296 . . . . . . . . 9
8176, 80oveq12d 6299 . . . . . . . 8
82 1z 10900 . . . . . . . . . 10
83 oveq2 6289 . . . . . . . . . . . . 13
84 exp1 12151 . . . . . . . . . . . . . 14
857, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13
8683, 85syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . 12
8786oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . . 14
8988fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . 13
9089oveq1d 6296 . . . . . . . . . . . 12
9186, 90oveq12d 6299 . . . . . . . . . . 11
9291fsum1 13543 . . . . . . . . . 10
9382, 11, 92sylancr 663 . . . . . . . . 9
94 1nn 10553 . . . . . . . . 9
9593, 94jctil 537 . . . . . . . 8
96 eqidd 2444 . . . . . . . 8
9747, 73, 81, 63, 95, 96fsump1i 13563 . . . . . . 7
98 eqidd 2444 . . . . . . 7
9947, 64, 72, 63, 97, 98fsump1i 13563 . . . . . 6
100 eqidd 2444 . . . . . 6
10147, 48, 56, 63, 99, 100fsump1i 13563 . . . . 5
102101simprd 463 . . . 4
10343, 14subcld 9936 . . . . . 6
1049, 18subcld 9936 . . . . . . 7
105 mulcl 9579 . . . . . . 7
1067, 104, 105sylancr 663 . . . . . 6
107103, 106addcomd 9785 . . . . 5
108106, 14, 43subadd23d 9958 . . . . 5
109107, 108eqtr4d 2487 . . . 4
11046, 102, 1093eqtr4d 2494 . . 3
111110oveq1d 6296 . 2
1126, 111eqtrd 2484 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc 9493  c1 9496  ci 9497   caddc 9498   cmul 9500   cmin 9810  cneg 9811   cdiv 10212  cn 10542  c2 10591  c3 10592  c4 10593  cn0 10801  cz 10870  cfz 11681  cexp 12145  csu 13487  cnv 25349  cpv 25350  cba 25351  cns 25352  CVcnmcv 25355  cdip 25482 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10213  df-nn 10543  df-2 10600  df-3 10601  df-4 10602  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-rp 11230  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-exp 12146  df-hash 12385  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-grpo 25065  df-ablo 25156  df-vc 25311  df-nv 25357  df-va 25360  df-ba 25361  df-sm 25362  df-0v 25363  df-nmcv 25365  df-dip 25483 This theorem is referenced by:  4ipval2  25490  ipval3  25491  ipidsq  25495  dipcj  25499  dip0r  25502
 Copyright terms: Public domain W3C validator