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Theorem ipval2 25293
Description: Expansion of the inner product value ipval 25289. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dipfval.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
dipfval.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
dipfval.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
dipfval.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
ipval2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )

Proof of Theorem ipval2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 dipfval.2 . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 dipfval.4 . . 3  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
4 dipfval.6 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
5 dipfval.7 . . 3  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
61, 2, 3, 4, 5ipval 25289 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
7 ax-icn 9547 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
81, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
97, 8mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
10 mulcl 9572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
12 neg1cn 10635 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  CC
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1511, 14subcld 9926 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
16 negicn 9817 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1816, 17mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
19 mulcl 9572 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
207, 18, 19sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
2115, 20negsubd 9932 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
2214mulm1d 10004 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
2322oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2411, 14negsubd 9932 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2523, 24eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
26 mulneg1 9989 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( -u _i  x.  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
277, 18, 26sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2825, 27oveq12d 6300 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
29 subdi 9986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
307, 29mp3an1 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
319, 18, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3231oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
3311, 20, 14sub32d 9958 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3432, 33eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3521, 28, 343eqtr4d 2518 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
361, 3nvsid 25198 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
1 S B )  =  B )
3736oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( 1 S B ) )  =  ( A G B ) )
3837fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) )  =  ( N `  ( A G B ) ) )
3938oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
40393adant2 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
4140oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) ) )
421, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 25291 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
4342recnd 9618 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  CC )
4443mulid2d 9610 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )
4541, 44eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )
4635, 45oveq12d 6300 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) ) )
47 nnuz 11113 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
48 df-4 10592 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
49 oveq2 6290 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  4  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
4 ) )
50 i4 12234 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 4 )  =  1
5149, 50syl6eq 2524 . . . . . . 7  |-  ( k  =  4  ->  (
_i ^ k )  =  1 )
5251oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  4  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( 1 S B ) )
5352oveq2d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  4  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G ( 1 S B ) ) )
5453fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  4  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) )
5554oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( k  =  4  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
5651, 55oveq12d 6300 . . . . . 6  |-  ( k  =  4  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
57 nnnn0 10798 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
58 expcl 12148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
597, 57, 58sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
6059adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( _i ^
k )  e.  CC )
611, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( _i ^ k
)  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( ( _i ^
k ) S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
6259, 61sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( N `
 ( A G ( ( _i ^
k ) S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
6360, 62mulcld 9612 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
64 df-3 10591 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
65 oveq2 6290 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
3 ) )
66 i3 12233 . . . . . . . . 9  |-  ( _i
^ 3 )  = 
-u _i
6765, 66syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  -u _i )
6867oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  3  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( -u _i S B ) )
6968oveq2d 6298 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  3  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G (
-u _i S B ) ) )
7069fveq2d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  3  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) )
7170oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  3  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )
7267, 71oveq12d 6300 . . . . . . 7  |-  ( k  =  3  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
73 df-2 10590 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
74 oveq2 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
2 ) )
75 i2 12232 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
7674, 75syl6eq 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  -u 1 )
7776oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( -u 1 S B ) )
7877oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G (
-u 1 S B ) ) )
7978fveq2d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) )
8079oveq1d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
8176, 80oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  2  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
82 1z 10890 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
83 oveq2 6290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
1 ) )
84 exp1 12136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 1 )  =  _i )
857, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i
^ 1 )  =  _i
8683, 85syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  _i )
8786oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  1  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( _i S B ) )
8887oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G ( _i S B ) ) )
8988fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) )
9089oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )
9186, 90oveq12d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
9291fsum1 13523 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
9382, 11, 92sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 1
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) ) )
94 1nn 10543 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
9593, 94jctil 537 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
96 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
9747, 73, 81, 63, 95, 96fsump1i 13543 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
2  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
98 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
9947, 64, 72, 63, 97, 98fsump1i 13543 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
3  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
100 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `
 ( A G ( 1 S B ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10147, 48, 56, 63, 99, 100fsump1i 13543 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
4  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
102101simprd 463 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `
 ( A G ( 1 S B ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10343, 14subcld 9926 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
1049, 18subcld 9926 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
105 mulcl 9572 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
1067, 104, 105sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
107103, 106addcomd 9777 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
108106, 14, 43subadd23d 9948 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
109107, 108eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) ) )
11046, 102, 1093eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
111110oveq1d 6297 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
1126, 111eqtrd 2508 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   1c1 9489   _ici 9490    + caddc 9491    x. cmul 9493    - cmin 9801   -ucneg 9802    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ...cfz 11668   ^cexp 12130   sum_csu 13467   NrmCVeccnv 25153   +vcpv 25154   BaseSetcba 25155   .sOLDcns 25156   normCVcnmcv 25159   .iOLDcdip 25286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-grpo 24869  df-ablo 24960  df-vc 25115  df-nv 25161  df-va 25164  df-ba 25165  df-sm 25166  df-0v 25167  df-nmcv 25169  df-dip 25287
This theorem is referenced by:  4ipval2  25294  ipval3  25295  ipidsq  25299  dipcj  25303  dip0r  25306
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