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Theorem ipval2 24121
Description: Expansion of the inner product value ipval 24117. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dipfval.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
dipfval.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
dipfval.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
dipfval.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
dipfval.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
ipval2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )

Proof of Theorem ipval2
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dipfval.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 dipfval.2 . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
3 dipfval.4 . . 3  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
4 dipfval.6 . . 3  |-  N  =  ( normCV `  U )
5 dipfval.7 . . 3  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
61, 2, 3, 4, 5ipval 24117 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^
k )  x.  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 ) )
7 ax-icn 9360 . . . . . . . . 9  |-  _i  e.  CC
81, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 24120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
97, 8mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
10 mulcl 9385 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
117, 9, 10sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
12 neg1cn 10444 . . . . . . . . 9  |-  -u 1  e.  CC
131, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 24120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u 1  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1511, 14subcld 9738 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
16 negicn 9630 . . . . . . . . 9  |-  -u _i  e.  CC
171, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 24120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  -u _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
1816, 17mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
19 mulcl 9385 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
207, 18, 19sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
2115, 20negsubd 9744 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
2214mulm1d 9815 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
2322oveq2d 6126 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2411, 14negsubd 9744 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2523, 24eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
26 mulneg1 9800 . . . . . . . 8  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  -> 
( -u _i  x.  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
277, 18, 26sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
2825, 27oveq12d 6128 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  -u ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
29 subdi 9797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
307, 29mp3an1 1301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC  /\  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
319, 18, 30syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3231oveq1d 6125 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
3311, 20, 14sub32d 9770 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3432, 33eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
3521, 28, 343eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
361, 3nvsid 24026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
1 S B )  =  B )
3736oveq2d 6126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( A G ( 1 S B ) )  =  ( A G B ) )
3837fveq2d 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) )  =  ( N `  ( A G B ) ) )
3938oveq1d 6125 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
40393adant2 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )
4140oveq2d 6126 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) ) )
421, 2, 3, 4, 5ipval2lem3 24119 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  RR )
4342recnd 9431 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  e.  CC )
4443mulid2d 9423 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )
4541, 44eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )
4635, 45oveq12d 6128 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) ) )
47 nnuz 10915 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
48 df-4 10401 . . . . . 6  |-  4  =  ( 3  +  1 )
49 oveq2 6118 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  4  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
4 ) )
50 i4 11987 . . . . . . . 8  |-  ( _i
^ 4 )  =  1
5149, 50syl6eq 2491 . . . . . . 7  |-  ( k  =  4  ->  (
_i ^ k )  =  1 )
5251oveq1d 6125 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  4  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( 1 S B ) )
5352oveq2d 6126 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  4  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G ( 1 S B ) ) )
5453fveq2d 5714 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  4  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) )
5554oveq1d 6125 . . . . . . 7  |-  ( k  =  4  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
5651, 55oveq12d 6128 . . . . . 6  |-  ( k  =  4  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
57 nnnn0 10605 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
58 expcl 11902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
597, 57, 58sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
6059adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( _i ^
k )  e.  CC )
611, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 24120 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( _i ^ k
)  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A G ( ( _i ^
k ) S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
6259, 61sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( N `
 ( A G ( ( _i ^
k ) S B ) ) ) ^
2 )  e.  CC )
6360, 62mulcld 9425 . . . . . 6  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
64 df-3 10400 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
65 oveq2 6118 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
3 ) )
66 i3 11986 . . . . . . . . 9  |-  ( _i
^ 3 )  = 
-u _i
6765, 66syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  3  ->  (
_i ^ k )  =  -u _i )
6867oveq1d 6125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  3  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( -u _i S B ) )
6968oveq2d 6126 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  3  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G (
-u _i S B ) ) )
7069fveq2d 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  3  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) )
7170oveq1d 6125 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  3  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )
7267, 71oveq12d 6128 . . . . . . 7  |-  ( k  =  3  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
73 df-2 10399 . . . . . . . 8  |-  2  =  ( 1  +  1 )
74 oveq2 6118 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
2 ) )
75 i2 11985 . . . . . . . . . 10  |-  ( _i
^ 2 )  = 
-u 1
7674, 75syl6eq 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
_i ^ k )  =  -u 1 )
7776oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  2  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( -u 1 S B ) )
7877oveq2d 6126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  2  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G (
-u 1 S B ) ) )
7978fveq2d 5714 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  2  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) )
8079oveq1d 6125 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  2  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
8176, 80oveq12d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  2  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
82 1z 10695 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
83 oveq2 6118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  ( _i ^
1 ) )
84 exp1 11890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( _i  e.  CC  ->  (
_i ^ 1 )  =  _i )
857, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i
^ 1 )  =  _i
8683, 85syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
_i ^ k )  =  _i )
8786oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  1  ->  (
( _i ^ k
) S B )  =  ( _i S B ) )
8887oveq2d 6126 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) )  =  ( A G ( _i S B ) ) )
8988fveq2d 5714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  1  ->  ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) )  =  ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) )
9089oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )
9186, 90oveq12d 6128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
9291fsum1 13237 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
9382, 11, 92sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 1
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) ) )
94 1nn 10352 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
9593, 94jctil 537 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
1  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 1 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
96 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
9747, 73, 81, 63, 95, 96fsump1i 13255 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
2  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 2 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
98 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
9947, 64, 72, 63, 97, 98fsump1i 13255 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
3  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
100 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `
 ( A G ( 1 S B ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10147, 48, 56, 63, 99, 100fsump1i 13255 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
4  e.  NN  /\  sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u 1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `  ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
102101simprd 463 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( _i  x.  ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( -u
1  x.  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( -u _i  x.  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 1  x.  ( ( N `
 ( A G ( 1 S B ) ) ) ^
2 ) ) ) )
10343, 14subcld 9738 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
1049, 18subcld 9738 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )
105 mulcl 9385 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
1067, 104, 105sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC )
107103, 106addcomd 9590 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
108106, 14, 43subadd23d 9760 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) )  =  ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
109107, 108eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )  -  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( N `
 ( A G B ) ) ^
2 ) ) )
11046, 102, 1093eqtr4d 2485 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... 4
) ( ( _i
^ k )  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S B ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
111110oveq1d 6125 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( sum_ k  e.  ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( ( N `  ( A G ( ( _i
^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
1126, 111eqtrd 2475 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A G B ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S B ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   CCcc 9299   1c1 9302   _ici 9303    + caddc 9304    x. cmul 9306    - cmin 9614   -ucneg 9615    / cdiv 10012   NNcn 10341   2c2 10390   3c3 10391   4c4 10392   NN0cn0 10598   ZZcz 10665   ...cfz 11456   ^cexp 11884   sum_csu 13182   NrmCVeccnv 23981   +vcpv 23982   BaseSetcba 23983   .sOLDcns 23984   normCVcnmcv 23987   .iOLDcdip 24114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-rp 11011  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-clim 12985  df-sum 13183  df-grpo 23697  df-ablo 23788  df-vc 23943  df-nv 23989  df-va 23992  df-ba 23993  df-sm 23994  df-0v 23995  df-nmcv 23997  df-dip 24115
This theorem is referenced by:  4ipval2  24122  ipval3  24123  ipidsq  24127  dipcj  24131  dip0r  24134
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