MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipsstr Structured version   Unicode version

Theorem ipsstr 14432
Description: Lemma to shorten proofs of ipsbase 14433 through ipsvsca 14437. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ipspart.a  |-  A  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } )
Assertion
Ref Expression
ipsstr  |-  A Struct  <. 1 ,  8 >.

Proof of Theorem ipsstr
StepHypRef Expression
1 ipspart.a . 2  |-  A  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } )
2 eqid 2454 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }
32rngstr 14408 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. } Struct  <. 1 ,  3 >.
4 5nn 10597 . . . 4  |-  5  e.  NN
5 scandx 14421 . . . 4  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
6 5lt6 10613 . . . 4  |-  5  <  6
7 6nn 10598 . . . 4  |-  6  e.  NN
8 vscandx 14423 . . . 4  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
9 6lt8 10625 . . . 4  |-  6  <  8
10 8nn 10600 . . . 4  |-  8  e.  NN
11 df-ip 14379 . . . . 5  |-  .i  = Slot  8
1211, 10ndxarg 14316 . . . 4  |-  ( .i
`  ndx )  =  8
134, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12strle3 14394 . . 3  |-  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } Struct  <. 5 ,  8 >.
14 3lt5 10610 . . 3  |-  3  <  5
153, 13, 14strleun 14391 . 2  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  I >. } ) Struct  <. 1 ,  8 >.
161, 15eqbrtri 4422 1  |-  A Struct  <. 1 ,  8 >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    u. cun 3437   {ctp 3992   <.cop 3994   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   1c1 9398   3c3 10487   5c5 10489   6c6 10490   8c8 10492   Struct cstr 14292   ndxcnx 14293   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   .rcmulr 14362  Scalarcsca 14364   .scvsca 14365   .icip 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379
This theorem is referenced by:  ipsbase  14433  ipsaddg  14434  ipsmulr  14435  ipssca  14436  ipsvsca  14437  ipsip  14438  imasvalstr  14513
  Copyright terms: Public domain W3C validator