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Theorem iprodefisumlem 25270
Description: Lemma for iprodefisum 25271. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodefisumlem.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iprodefisumlem.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iprodefisumlem.3  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
Assertion
Ref Expression
iprodefisumlem  |-  ( ph  ->  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  =  ( exp  o.  seq  M (  +  ,  F
) ) )

Proof of Theorem iprodefisumlem
Dummy variables  j 
k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodefisumlem.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iprodefisumlem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 iprodefisumlem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
4 fvco3 5759 . . . . . 6  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( exp  o.  F ) `  k
)  =  ( exp `  ( F `  k
) ) )
53, 4sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  F
) `  k )  =  ( exp `  ( F `  k )
) )
63ffvelrnda 5829 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7 efcl 12640 . . . . . 6  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( exp `  ( F `  k ) )  e.  CC )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  ( F `  k ) )  e.  CC )
95, 8eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  F
) `  k )  e.  CC )
101, 2, 9prodf 25168 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) : Z --> CC )
11 ffn 5550 . . 3  |-  (  seq 
M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) : Z --> CC  ->  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  Fn  Z )
1210, 11syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  Fn  Z )
13 eff 12639 . . . 4  |-  exp : CC
--> CC
14 ffn 5550 . . . 4  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
1513, 14ax-mp 8 . . 3  |-  exp  Fn  CC
161, 2, 6serf 11306 . . 3  |-  ( ph  ->  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> CC )
17 fnfco 5568 . . 3  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> CC )  ->  ( exp 
o.  seq  M (  +  ,  F )
)  Fn  Z )
1815, 16, 17sylancr 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( exp  o.  seq  M (  +  ,  F
) )  Fn  Z
)
19 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  (  seq  M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq 
M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  M
) )
20 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  M
) )
2120fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  ( exp `  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 M ) ) )
2219, 21eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  (
(  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  M )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  M
) ) ) )
2322imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq 
M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  M )  =  ( exp `  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  M
) ) ) ) )
24 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  (  seq  M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq 
M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
) )
25 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  n  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
) )
2625fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  ( exp `  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n ) ) )
2724, 26eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( j  =  n  ->  (
(  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
) ) ) )
2827imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( j  =  n  ->  (
( ph  ->  (  seq 
M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
29 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq 
M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) ) )
30 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
3130fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  ( exp `  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
3229, 31eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
3332imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq 
M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
34 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (  seq  M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq 
M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
) )
35 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  k
) )
3635fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( exp `  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
3734, 36eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
(  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
3837imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  ->  (  seq 
M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) ) )
39 uzid 10456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
402, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4140, 1syl6eleqr 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
42 fvco3 5759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  M  e.  Z )  ->  ( ( exp  o.  F ) `  M
)  =  ( exp `  ( F `  M
) ) )
433, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp  o.  F ) `  M
)  =  ( exp `  ( F `  M
) ) )
44 seq1 11291 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  M
)  =  ( ( exp  o.  F ) `
 M ) )
452, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 M )  =  ( ( exp  o.  F ) `  M
) )
46 seq1 11291 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
472, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
4847fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  M
) )  =  ( exp `  ( F `
 M ) ) )
4943, 45, 483eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 M )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  M
) ) )
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  (  seq  M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  M )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  M
) ) ) )
51 oveq1 6047 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
) )  ->  (
(  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
52513ad2ant3 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq  M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( (  seq  M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
533adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  F : Z --> CC )
54 peano2uz 10486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5554, 1syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  +  1 )  e.  Z )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( n  + 
1 )  e.  Z
)
57 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  ( n  +  1
)  e.  Z )  ->  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5853, 56, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5958oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n ) )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6016ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
6160expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Z  ->  ( ph  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC ) )
621eqcomi 2408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
6361, 62eleq2s 2496 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC ) )
6463imp 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC )
6553, 56ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  CC )
66 efadd 12651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( F `
 ( n  + 
1 ) )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  +  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6764, 65, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( exp `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6859, 67eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 n ) )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( exp `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
69683adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq  M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq  M
(  +  ,  F
) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
7052, 69eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq  M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( (  seq  M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( exp `  (
(  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
71 seqp1 11293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
)  x.  ( ( exp  o.  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
7271adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq  M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
)  x.  ( ( exp  o.  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
73723adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq  M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
(  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq  M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  x.  ( ( exp  o.  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
74 seqp1 11293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq  M (  +  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  +  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
7574adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq  M
(  +  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq 
M (  +  ,  F ) `  n
)  +  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
7675fveq2d 5691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
77763adant3 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq  M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq  M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7870, 73, 773eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq  M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
(  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  (  seq 
M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
79783exp 1152 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( (  seq  M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq  M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
8079a2d 24 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  (  seq  M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ph  ->  (  seq 
M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
8123, 28, 33, 38, 50, 80uzind4 10490 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq  M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 k )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
8281, 1eleq2s 2496 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  ( ph  ->  (  seq  M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
8382impcom 420 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq  M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
)  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
84 fvco3 5759 . . . 4  |-  ( (  seq  M (  +  ,  F ) : Z --> CC  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  seq  M (  +  ,  F
) ) `  k
)  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
8516, 84sylan 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  seq  M (  +  ,  F
) ) `  k
)  =  ( exp `  (  seq  M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
8683, 85eqtr4d 2439 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq  M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
)  =  ( ( exp  o.  seq  M
(  +  ,  F
) ) `  k
) )
8712, 18, 86eqfnfvd 5789 1  |-  ( ph  ->  seq  M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  =  ( exp  o.  seq  M (  +  ,  F
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444    seq cseq 11278   expce 12619
This theorem is referenced by:  iprodefisum  25271
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-shft 11837  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-ef 12625
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