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Theorem iprodefisumlem 28686
Description: Lemma for iprodefisum 28687. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodefisumlem.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iprodefisumlem.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iprodefisumlem.3  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
Assertion
Ref Expression
iprodefisumlem  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  =  ( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) )

Proof of Theorem iprodefisumlem
Dummy variables  j 
k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodefisumlem.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iprodefisumlem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 iprodefisumlem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
4 fvco3 5935 . . . . . 6  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( exp  o.  F ) `  k
)  =  ( exp `  ( F `  k
) ) )
53, 4sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  F
) `  k )  =  ( exp `  ( F `  k )
) )
63ffvelrnda 6012 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7 efcl 13669 . . . . . 6  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( exp `  ( F `  k ) )  e.  CC )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  ( F `  k ) )  e.  CC )
95, 8eqeltrd 2548 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  F
) `  k )  e.  CC )
101, 2, 9prodf 28584 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) : Z --> CC )
11 ffn 5722 . . 3  |-  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) : Z --> CC  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  Fn  Z )
1210, 11syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  Fn  Z )
13 eff 13668 . . . 4  |-  exp : CC
--> CC
14 ffn 5722 . . . 4  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
1513, 14ax-mp 5 . . 3  |-  exp  Fn  CC
161, 2, 6serf 12091 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC )
17 fnfco 5741 . . 3  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC )  ->  ( exp 
o.  seq M (  +  ,  F ) )  Fn  Z )
1815, 16, 17sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  ( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) )  Fn  Z )
19 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  M
) )
20 fveq2 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) )
2120fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M ) ) )
2219, 21eqeq12d 2482 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  M
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M ) ) ) )
2322imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  M )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) ) ) )
24 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
) )
25 fveq2 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  n  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )
2625fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) ) )
2724, 26eqeq12d 2482 . . . . . . 7  |-  ( j  =  n  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) ) ) )
2827imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  n  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
29 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) ) )
30 fveq2 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
3130fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
3229, 31eqeq12d 2482 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
3332imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
34 fveq2 5857 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
) )
35 fveq2 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) )
3635fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
3734, 36eqeq12d 2482 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) ) )
3837imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) ) )
39 uzid 11085 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
402, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4140, 1syl6eleqr 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
42 fvco3 5935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  M  e.  Z )  ->  ( ( exp  o.  F ) `  M
)  =  ( exp `  ( F `  M
) ) )
433, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp  o.  F ) `  M
)  =  ( exp `  ( F `  M
) ) )
44 seq1 12076 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  M
)  =  ( ( exp  o.  F ) `
 M ) )
452, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 M )  =  ( ( exp  o.  F ) `  M
) )
46 seq1 12076 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
472, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
4847fveq2d 5861 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) )  =  ( exp `  ( F `
 M ) ) )
4943, 45, 483eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 M )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) )
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  M )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) ) )
51 oveq1 6282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
52513ad2ant3 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
533adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  F : Z --> CC )
54 peano2uz 11123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5554, 1syl6eleqr 2559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  +  1 )  e.  Z )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( n  + 
1 )  e.  Z
)
57 fvco3 5935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  ( n  +  1
)  e.  Z )  ->  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5853, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5958oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6016ffvelrnda 6012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
6160expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Z  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC ) )
621eqcomi 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
6361, 62eleq2s 2568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC ) )
6463imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC )
6553, 56ffvelrnd 6013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  CC )
66 efadd 13680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( F `
 ( n  + 
1 ) )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n
)  +  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6764, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( exp `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6859, 67eqtr4d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( exp `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
69683adant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
7052, 69eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( exp `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
71 seqp1 12078 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
)  x.  ( ( exp  o.  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
73723adant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  x.  ( ( exp  o.  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
74 seqp1 12078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n
)  +  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
7675fveq2d 5861 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
77763adant3 1011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7870, 73, 773eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
79783exp 1190 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
8079a2d 26 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
8123, 28, 33, 38, 50, 80uzind4 11128 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
8281, 1eleq2s 2568 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
8382impcom 430 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
84 fvco3 5935 . . . 4  |-  ( (  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )
8516, 84sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )
8683, 85eqtr4d 2504 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
)  =  ( ( exp  o.  seq M
(  +  ,  F
) ) `  k
) )
8712, 18, 86eqfnfvd 5969 1  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  =  ( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    o. ccom 4996    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071    seqcseq 12063   expce 13648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-ico 11524  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654
This theorem is referenced by:  iprodefisum  28687
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