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Theorem iprodefisumlem 29289
Description: Lemma for iprodefisum 29290. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodefisumlem.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iprodefisumlem.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iprodefisumlem.3  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
Assertion
Ref Expression
iprodefisumlem  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  =  ( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) )

Proof of Theorem iprodefisumlem
Dummy variables  j 
k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodefisumlem.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iprodefisumlem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 iprodefisumlem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
4 fvco3 5851 . . . . . 6  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( exp  o.  F ) `  k
)  =  ( exp `  ( F `  k
) ) )
53, 4sylan 469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  F
) `  k )  =  ( exp `  ( F `  k )
) )
63ffvelrnda 5933 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7 efcl 13820 . . . . . 6  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( exp `  ( F `  k ) )  e.  CC )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  ( F `  k ) )  e.  CC )
95, 8eqeltrd 2470 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  F
) `  k )  e.  CC )
101, 2, 9prodf 13698 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) : Z --> CC )
11 ffn 5639 . . 3  |-  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) : Z --> CC  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  Fn  Z )
1210, 11syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  Fn  Z )
13 eff 13819 . . . 4  |-  exp : CC
--> CC
14 ffn 5639 . . . 4  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
1513, 14ax-mp 5 . . 3  |-  exp  Fn  CC
161, 2, 6serf 12038 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC )
17 fnfco 5658 . . 3  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC )  ->  ( exp 
o.  seq M (  +  ,  F ) )  Fn  Z )
1815, 16, 17sylancr 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) )  Fn  Z )
19 fveq2 5774 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  M
) )
20 fveq2 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) )
2120fveq2d 5778 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M ) ) )
2219, 21eqeq12d 2404 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  M
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M ) ) ) )
2322imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  M )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) ) ) )
24 fveq2 5774 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
) )
25 fveq2 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  n  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )
2625fveq2d 5778 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) ) )
2724, 26eqeq12d 2404 . . . . . . 7  |-  ( j  =  n  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) ) ) )
2827imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( j  =  n  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
29 fveq2 5774 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) ) )
30 fveq2 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
3130fveq2d 5778 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
3229, 31eqeq12d 2404 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
3332imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
34 fveq2 5774 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
) )
35 fveq2 5774 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) )
3635fveq2d 5778 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
3734, 36eqeq12d 2404 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) ) )
3837imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) ) )
39 uzid 11015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
402, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4140, 1syl6eleqr 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
42 fvco3 5851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  M  e.  Z )  ->  ( ( exp  o.  F ) `  M
)  =  ( exp `  ( F `  M
) ) )
433, 41, 42syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp  o.  F ) `  M
)  =  ( exp `  ( F `  M
) ) )
44 seq1 12023 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  M
)  =  ( ( exp  o.  F ) `
 M ) )
452, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 M )  =  ( ( exp  o.  F ) `  M
) )
46 seq1 12023 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
472, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
4847fveq2d 5778 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) )  =  ( exp `  ( F `
 M ) ) )
4943, 45, 483eqtr4d 2433 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 M )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) )
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  M )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) ) )
51 oveq1 6203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
52513ad2ant3 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
533adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  F : Z --> CC )
54 peano2uz 11054 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5554, 1syl6eleqr 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  +  1 )  e.  Z )
5655adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( n  + 
1 )  e.  Z
)
57 fvco3 5851 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  ( n  +  1
)  e.  Z )  ->  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5853, 56, 57syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5958oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6016ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
6160expcom 433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Z  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC ) )
621eqcomi 2395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
6361, 62eleq2s 2490 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC ) )
6463imp 427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC )
6553, 56ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  CC )
66 efadd 13831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( F `
 ( n  + 
1 ) )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n
)  +  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6764, 65, 66syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( exp `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6859, 67eqtr4d 2426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( exp `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
69683adant3 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
7052, 69eqtrd 2423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( exp `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
71 seqp1 12025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
7271adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
)  x.  ( ( exp  o.  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
73723adant3 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  x.  ( ( exp  o.  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
74 seqp1 12025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
7574adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n
)  +  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
7675fveq2d 5778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
77763adant3 1014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7870, 73, 773eqtr4d 2433 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
79783exp 1193 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
8079a2d 26 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
8123, 28, 33, 38, 50, 80uzind4 11059 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
8281, 1eleq2s 2490 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
8382impcom 428 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
84 fvco3 5851 . . . 4  |-  ( (  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )
8516, 84sylan 469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )
8683, 85eqtr4d 2426 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
)  =  ( ( exp  o.  seq M
(  +  ,  F
) ) `  k
) )
8712, 18, 86eqfnfvd 5886 1  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  =  ( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826    o. ccom 4917    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408   ZZcz 10781   ZZ>=cuz 11001    seqcseq 12010   expce 13799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-ico 11456  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805
This theorem is referenced by:  iprodefisum  29290
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