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Theorem iprodefisumlem 27455
Description: Lemma for iprodefisum 27456. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodefisumlem.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iprodefisumlem.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iprodefisumlem.3  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
Assertion
Ref Expression
iprodefisumlem  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  =  ( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) )

Proof of Theorem iprodefisumlem
Dummy variables  j 
k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodefisumlem.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iprodefisumlem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 iprodefisumlem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
4 fvco3 5763 . . . . . 6  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( exp  o.  F ) `  k
)  =  ( exp `  ( F `  k
) ) )
53, 4sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  F
) `  k )  =  ( exp `  ( F `  k )
) )
63ffvelrnda 5838 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7 efcl 13360 . . . . . 6  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( exp `  ( F `  k ) )  e.  CC )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  ( F `  k ) )  e.  CC )
95, 8eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  F
) `  k )  e.  CC )
101, 2, 9prodf 27353 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) : Z --> CC )
11 ffn 5554 . . 3  |-  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) : Z --> CC  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  Fn  Z )
1210, 11syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  Fn  Z )
13 eff 13359 . . . 4  |-  exp : CC
--> CC
14 ffn 5554 . . . 4  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
1513, 14ax-mp 5 . . 3  |-  exp  Fn  CC
161, 2, 6serf 11826 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC )
17 fnfco 5572 . . 3  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC )  ->  ( exp 
o.  seq M (  +  ,  F ) )  Fn  Z )
1815, 16, 17sylancr 663 . 2  |-  ( ph  ->  ( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) )  Fn  Z )
19 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  M
) )
20 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) )
2120fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M ) ) )
2219, 21eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  M
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M ) ) ) )
2322imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  M )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) ) ) )
24 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
) )
25 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  n  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )
2625fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) ) )
2724, 26eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( j  =  n  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) ) ) )
2827imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  n  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
29 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) ) )
30 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
3130fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
3229, 31eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
3332imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
34 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
) )
35 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) )
3635fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
3734, 36eqeq12d 2452 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) ) )
3837imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) ) )
39 uzid 10867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
402, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4140, 1syl6eleqr 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
42 fvco3 5763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  M  e.  Z )  ->  ( ( exp  o.  F ) `  M
)  =  ( exp `  ( F `  M
) ) )
433, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp  o.  F ) `  M
)  =  ( exp `  ( F `  M
) ) )
44 seq1 11811 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  M
)  =  ( ( exp  o.  F ) `
 M ) )
452, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 M )  =  ( ( exp  o.  F ) `  M
) )
46 seq1 11811 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
472, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
4847fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) )  =  ( exp `  ( F `
 M ) ) )
4943, 45, 483eqtr4d 2480 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 M )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) )
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  M )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) ) )
51 oveq1 6093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
52513ad2ant3 1011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
533adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  F : Z --> CC )
54 peano2uz 10900 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5554, 1syl6eleqr 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  +  1 )  e.  Z )
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( n  + 
1 )  e.  Z
)
57 fvco3 5763 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  ( n  +  1
)  e.  Z )  ->  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5853, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5958oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6016ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
6160expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Z  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC ) )
621eqcomi 2442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
6361, 62eleq2s 2530 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC ) )
6463imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC )
6553, 56ffvelrnd 5839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  CC )
66 efadd 13371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( F `
 ( n  + 
1 ) )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n
)  +  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6764, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( exp `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6859, 67eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( exp `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
69683adant3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
7052, 69eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( exp `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
71 seqp1 11813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
7271adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
)  x.  ( ( exp  o.  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
73723adant3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  x.  ( ( exp  o.  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
74 seqp1 11813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n
)  +  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
7675fveq2d 5690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
77763adant3 1008 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7870, 73, 773eqtr4d 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
79783exp 1186 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
8079a2d 26 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
8123, 28, 33, 38, 50, 80uzind4 10904 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
8281, 1eleq2s 2530 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
8382impcom 430 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
84 fvco3 5763 . . . 4  |-  ( (  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )
8516, 84sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )
8683, 85eqtr4d 2473 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
)  =  ( ( exp  o.  seq M
(  +  ,  F
) ) `  k
) )
8712, 18, 86eqfnfvd 5795 1  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  =  ( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    o. ccom 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853    seqcseq 11798   expce 13339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-ico 11298  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345
This theorem is referenced by:  iprodefisum  27456
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