Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodefisumlem Structured version   Unicode version

Theorem iprodefisumlem 27351
Description: Lemma for iprodefisum 27352. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodefisumlem.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iprodefisumlem.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iprodefisumlem.3  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
Assertion
Ref Expression
iprodefisumlem  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  =  ( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) )

Proof of Theorem iprodefisumlem
Dummy variables  j 
k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodefisumlem.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iprodefisumlem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 iprodefisumlem.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : Z --> CC )
4 fvco3 5756 . . . . . 6  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( exp  o.  F ) `  k
)  =  ( exp `  ( F `  k
) ) )
53, 4sylan 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  F
) `  k )  =  ( exp `  ( F `  k )
) )
63ffvelrnda 5831 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
7 efcl 13351 . . . . . 6  |-  ( ( F `  k )  e.  CC  ->  ( exp `  ( F `  k ) )  e.  CC )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  ( F `  k ) )  e.  CC )
95, 8eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  F
) `  k )  e.  CC )
101, 2, 9prodf 27249 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) : Z --> CC )
11 ffn 5547 . . 3  |-  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) : Z --> CC  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  Fn  Z )
1210, 11syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  Fn  Z )
13 eff 13350 . . . 4  |-  exp : CC
--> CC
14 ffn 5547 . . . 4  |-  ( exp
: CC --> CC  ->  exp 
Fn  CC )
1513, 14ax-mp 5 . . 3  |-  exp  Fn  CC
161, 2, 6serf 11818 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC )
17 fnfco 5565 . . 3  |-  ( ( exp  Fn  CC  /\  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC )  ->  ( exp 
o.  seq M (  +  ,  F ) )  Fn  Z )
1815, 16, 17sylancr 656 . 2  |-  ( ph  ->  ( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) )  Fn  Z )
19 fveq2 5679 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  M
) )
20 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  M  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) )
2120fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  M  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M ) ) )
2219, 21eqeq12d 2447 . . . . . . 7  |-  ( j  =  M  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  M
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M ) ) ) )
2322imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  M  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  M )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) ) ) )
24 fveq2 5679 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
) )
25 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  n  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )
2625fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  n  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) ) )
2724, 26eqeq12d 2447 . . . . . . 7  |-  ( j  =  n  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) ) ) )
2827imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  n  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) ) ) )
29 fveq2 5679 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) ) )
30 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )
3130fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
3229, 31eqeq12d 2447 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
3332imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) ) )
34 fveq2 5679 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
) )
35 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
)  =  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) )
3635fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( exp `  (  seq M
(  +  ,  F
) `  j )
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
3734, 36eqeq12d 2447 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  j )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  j
) )  <->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) ) )
3837imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  j
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 j ) ) )  <->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) ) )
39 uzid 10863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
402, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4140, 1syl6eleqr 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  Z )
42 fvco3 5756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  M  e.  Z )  ->  ( ( exp  o.  F ) `  M
)  =  ( exp `  ( F `  M
) ) )
433, 41, 42syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( exp  o.  F ) `  M
)  =  ( exp `  ( F `  M
) ) )
44 seq1 11803 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  M
)  =  ( ( exp  o.  F ) `
 M ) )
452, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 M )  =  ( ( exp  o.  F ) `  M
) )
46 seq1 11803 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
)  =  ( F `
 M ) )
472, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
4847fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) )  =  ( exp `  ( F `
 M ) ) )
4943, 45, 483eqtr4d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 M )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) )
5049a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  M )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  M
) ) ) )
51 oveq1 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  ->  (
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
52513ad2ant3 1004 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
533adantl 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  F : Z --> CC )
54 peano2uz 10896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5554, 1syl6eleqr 2524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  +  1 )  e.  Z )
5655adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( n  + 
1 )  e.  Z
)
57 fvco3 5756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : Z --> CC  /\  ( n  +  1
)  e.  Z )  ->  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5853, 56, 57syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
5958oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6016ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  Z )  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
)  e.  CC )
6160expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  Z  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC ) )
621eqcomi 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
6361, 62eleq2s 2525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC ) )
6463imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  n )  e.  CC )
6553, 56ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  CC )
66 efadd 13362 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( (  seq M (  +  ,  F ) `
 n )  e.  CC  /\  ( F `
 ( n  + 
1 ) )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n
)  +  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6764, 65, 66syl2anc 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( exp `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  ( exp `  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
6859, 67eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 n ) )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( exp `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
69683adant3 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq M
(  +  ,  F
) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) )
7052, 69eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  ( ( exp 
o.  F ) `  ( n  +  1
) ) )  =  ( exp `  (
(  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
71 seqp1 11805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  x.  (
( exp  o.  F
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
7271adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  n
)  x.  ( ( exp  o.  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
73723adant3 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  x.  ( ( exp  o.  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
74 seqp1 11805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
7574adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  (  seq M
(  +  ,  F
) `  ( n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n
)  +  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
7675fveq2d 5683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph )  ->  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
77763adant3 1001 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( exp `  ( (  seq M (  +  ,  F ) `  n )  +  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
7870, 73, 773eqtr4d 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  ph  /\  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
(  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  ( n  +  1
) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
79783exp 1179 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
8079a2d 26 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  n )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  n
) ) )  -> 
( ph  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
8123, 28, 33, 38, 50, 80uzind4 10900 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  (  seq M (  x.  ,  ( exp 
o.  F ) ) `
 k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
8281, 1eleq2s 2525 . . . 4  |-  ( k  e.  Z  ->  ( ph  ->  (  seq M
(  x.  ,  ( exp  o.  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) ) )
8382impcom 430 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
)  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `
 k ) ) )
84 fvco3 5756 . . . 4  |-  ( (  seq M (  +  ,  F ) : Z --> CC  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )
8516, 84sylan 468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) `  k )  =  ( exp `  (  seq M (  +  ,  F ) `  k
) ) )
8683, 85eqtr4d 2468 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (  seq M (  x.  , 
( exp  o.  F
) ) `  k
)  =  ( ( exp  o.  seq M
(  +  ,  F
) ) `  k
) )
8712, 18, 86eqfnfvd 5788 1  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  F ) )  =  ( exp  o.  seq M (  +  ,  F ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755    o. ccom 4831    Fn wfn 5401   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275   ZZcz 10634   ZZ>=cuz 10849    seqcseq 11790   expce 13330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-pm 7205  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-ico 11294  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-fl 11626  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-shft 12540  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-limsup 12933  df-clim 12950  df-rlim 12951  df-sum 13148  df-ef 13336
This theorem is referenced by:  iprodefisum  27352
  Copyright terms: Public domain W3C validator