Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodefisum Structured version   Unicode version

Theorem iprodefisum 28689
Description: Applying the exponential function to an infinite sum yields an infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodefisum.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iprodefisum.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iprodefisum.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
iprodefisum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
iprodefisum.5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
iprodefisum  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  Z  ( exp `  B )  =  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
) )
Distinct variable groups:    k, F    ph, k    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem iprodefisum
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodefisum.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iprodefisum.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 iprodefisum.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
4 iprodefisum.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
5 iprodefisum.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
61, 2, 3, 4, 5isumcl 13527 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  B  e.  CC )
7 efne0 13684 . . 3  |-  ( sum_ k  e.  Z  B  e.  CC  ->  ( exp ` 
sum_ k  e.  Z  B )  =/=  0
)
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
)  =/=  0 )
9 efcn 22567 . . . . 5  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  exp  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
11 fveq2 5859 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
12 eqid 2462 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Z  |->  ( F `
 j ) )  =  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) )
13 fvex 5869 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
1411, 12, 13fvmpt 5943 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
1514adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
163, 4eqeltrd 2550 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1715, 16eqeltrd 2550 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) `  k
)  e.  CC )
181, 2, 17serf 12093 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) ) : Z --> CC )
191eqcomi 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
2014, 19eleq2s 2570 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
222, 21seqfeq 12090 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) )  =  seq M (  +  ,  F ) )
23 climdm 13328 . . . . . 6  |-  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
245, 23sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
2522, 24eqbrtrd 4462 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
26 climcl 13273 . . . . 5  |-  (  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  -> 
(  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  e.  CC )
2724, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  e.  CC )
281, 2, 10, 18, 25, 27climcncf 21134 . . 3  |-  ( ph  ->  ( exp  o.  seq M (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) ) )  ~~>  ( exp `  (  ~~>  ` 
seq M (  +  ,  F ) ) ) )
2911cbvmptv 4533 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  |->  ( F `
 j ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )
3016, 29fmptd 6038 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) : Z --> CC )
311, 2, 30iprodefisumlem 28688 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) ) )  =  ( exp  o.  seq M (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) ) ) )
321, 2, 3, 4isum 13492 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
3332fveq2d 5863 . . 3  |-  ( ph  ->  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
)  =  ( exp `  (  ~~>  `  seq M
(  +  ,  F
) ) ) )
3428, 31, 333brtr4d 4472 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) ) )  ~~>  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
) )
35 fvco3 5937 . . . 4  |-  ( ( ( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) : Z --> CC  /\  k  e.  Z
)  ->  ( ( exp  o.  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) ) `
 k )  =  ( exp `  (
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) `  k
) ) )
3630, 35sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) ) `  k
)  =  ( exp `  ( ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) `  k ) ) )
3715fveq2d 5863 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  ( ( j  e.  Z  |->  ( F `
 j ) ) `
 k ) )  =  ( exp `  ( F `  k )
) )
383fveq2d 5863 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  ( F `  k ) )  =  ( exp `  B
) )
3936, 37, 383eqtrd 2507 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) ) `  k
)  =  ( exp `  B ) )
40 efcl 13671 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  B )  e.  CC )
414, 40syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  B )  e.  CC )
421, 2, 8, 34, 39, 41iprodn0 28637 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  Z  ( exp `  B )  =  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   class class class wbr 4442    |-> cmpt 4500   dom cdm 4994    o. ccom 4998   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   0cc0 9483    + caddc 9486    x. cmul 9488   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073    seqcseq 12065    ~~> cli 13258   sum_csu 13459   expce 13650   -cn->ccncf 21110   prod_cprod 28602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-iin 4323  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7462  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-fac 12311  df-bc 12338  df-hash 12363  df-shft 12852  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-limsup 13245  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-ef 13656  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-hom 14570  df-cco 14571  df-rest 14669  df-topn 14670  df-0g 14688  df-gsum 14689  df-topgen 14690  df-pt 14691  df-prds 14694  df-xrs 14748  df-qtop 14753  df-imas 14754  df-xps 14756  df-mre 14832  df-mrc 14833  df-acs 14835  df-mnd 15723  df-submnd 15773  df-mulg 15856  df-cntz 16145  df-cmn 16591  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-fbas 18182  df-fg 18183  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cld 19281  df-ntr 19282  df-cls 19283  df-nei 19360  df-lp 19398  df-perf 19399  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-haus 19577  df-tx 19793  df-hmeo 19986  df-fil 20077  df-fm 20169  df-flim 20170  df-flf 20171  df-xms 20553  df-ms 20554  df-tms 20555  df-cncf 21112  df-limc 22000  df-dv 22001  df-prod 28603
This theorem is referenced by:  iprodgam  28690
  Copyright terms: Public domain W3C validator