Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodefisum Structured version   Unicode version

Theorem iprodefisum 29963
Description: Applying the exponential function to an infinite sum yields an infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodefisum.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iprodefisum.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iprodefisum.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
iprodefisum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
iprodefisum.5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
iprodefisum  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  Z  ( exp `  B )  =  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
) )
Distinct variable groups:    k, F    ph, k    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem iprodefisum
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodefisum.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iprodefisum.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 iprodefisum.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
4 iprodefisum.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
5 iprodefisum.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
61, 2, 3, 4, 5isumcl 13729 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  B  e.  CC )
7 efne0 14043 . . 3  |-  ( sum_ k  e.  Z  B  e.  CC  ->  ( exp ` 
sum_ k  e.  Z  B )  =/=  0
)
86, 7syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
)  =/=  0 )
9 efcn 23132 . . . . 5  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  exp  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
11 fveq2 5851 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
12 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Z  |->  ( F `
 j ) )  =  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) )
13 fvex 5861 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
1411, 12, 13fvmpt 5934 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
1514adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
163, 4eqeltrd 2492 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1715, 16eqeltrd 2492 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) `  k
)  e.  CC )
181, 2, 17serf 12181 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) ) : Z --> CC )
191eqcomi 2417 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
2014, 19eleq2s 2512 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
222, 21seqfeq 12178 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) )  =  seq M (  +  ,  F ) )
23 climdm 13528 . . . . . 6  |-  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
245, 23sylib 198 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
2522, 24eqbrtrd 4417 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
26 climcl 13473 . . . . 5  |-  (  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  -> 
(  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  e.  CC )
2724, 26syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  e.  CC )
281, 2, 10, 18, 25, 27climcncf 21698 . . 3  |-  ( ph  ->  ( exp  o.  seq M (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) ) )  ~~>  ( exp `  (  ~~>  ` 
seq M (  +  ,  F ) ) ) )
2911cbvmptv 4489 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  |->  ( F `
 j ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )
3016, 29fmptd 6035 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) : Z --> CC )
311, 2, 30iprodefisumlem 29962 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) ) )  =  ( exp  o.  seq M (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) ) ) )
321, 2, 3, 4isum 13692 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
3332fveq2d 5855 . . 3  |-  ( ph  ->  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
)  =  ( exp `  (  ~~>  `  seq M
(  +  ,  F
) ) ) )
3428, 31, 333brtr4d 4427 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) ) )  ~~>  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
) )
35 fvco3 5928 . . . 4  |-  ( ( ( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) : Z --> CC  /\  k  e.  Z
)  ->  ( ( exp  o.  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) ) `
 k )  =  ( exp `  (
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) `  k
) ) )
3630, 35sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) ) `  k
)  =  ( exp `  ( ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) `  k ) ) )
3715fveq2d 5855 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  ( ( j  e.  Z  |->  ( F `
 j ) ) `
 k ) )  =  ( exp `  ( F `  k )
) )
383fveq2d 5855 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  ( F `  k ) )  =  ( exp `  B
) )
3936, 37, 383eqtrd 2449 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) ) `  k
)  =  ( exp `  B ) )
40 efcl 14029 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  B )  e.  CC )
414, 40syl 17 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  B )  e.  CC )
421, 2, 8, 34, 39, 41iprodn0 13901 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  Z  ( exp `  B )  =  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844    =/= wne 2600   class class class wbr 4397    |-> cmpt 4455   dom cdm 4825    o. ccom 4829   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   CCcc 9522   0cc0 9524    + caddc 9527    x. cmul 9529   ZZcz 10907   ZZ>=cuz 11129    seqcseq 12153    ~~> cli 13458   sum_csu 13659   prod_cprod 13866   expce 14008   -cn->ccncf 21674
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-prod 13867  df-ef 14014  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565
This theorem is referenced by:  iprodgam  29964
  Copyright terms: Public domain W3C validator