Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodefisum Structured version   Unicode version

Theorem iprodefisum 27452
Description: Applying the exponential function to an infinite sum yields an infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodefisum.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iprodefisum.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iprodefisum.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
iprodefisum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
iprodefisum.5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
iprodefisum  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  Z  ( exp `  B )  =  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
) )
Distinct variable groups:    k, F    ph, k    k, M    k, Z
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem iprodefisum
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodefisum.1 . 2  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iprodefisum.2 . 2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3 iprodefisum.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  B )
4 iprodefisum.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
5 iprodefisum.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
61, 2, 3, 4, 5isumcl 13220 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  B  e.  CC )
7 efne0 13373 . . 3  |-  ( sum_ k  e.  Z  B  e.  CC  ->  ( exp ` 
sum_ k  e.  Z  B )  =/=  0
)
86, 7syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
)  =/=  0 )
9 efcn 21877 . . . . 5  |-  exp  e.  ( CC -cn-> CC )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  exp  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
11 fveq2 5684 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  ( F `  j )  =  ( F `  k ) )
12 eqid 2437 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Z  |->  ( F `
 j ) )  =  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) )
13 fvex 5694 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
1411, 12, 13fvmpt 5767 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  Z  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
1514adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) `  k
)  =  ( F `
 k ) )
163, 4eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
1715, 16eqeltrd 2511 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) `  k
)  e.  CC )
181, 2, 17serf 11826 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) ) : Z --> CC )
191eqcomi 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ>= `  M )  =  Z
2014, 19eleq2s 2529 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) `  k )  =  ( F `  k ) )
222, 21seqfeq 11823 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) )  =  seq M (  +  ,  F ) )
23 climdm 13024 . . . . . 6  |-  (  seq M (  +  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
245, 23sylib 196 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
2522, 24eqbrtrd 4305 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
26 climcl 12969 . . . . 5  |-  (  seq M (  +  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  -> 
(  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  e.  CC )
2724, 26syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  e.  CC )
281, 2, 10, 18, 25, 27climcncf 20445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( exp  o.  seq M (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) ) )  ~~>  ( exp `  (  ~~>  ` 
seq M (  +  ,  F ) ) ) )
2911cbvmptv 4376 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  |->  ( F `
 j ) )  =  ( k  e.  Z  |->  ( F `  k ) )
3016, 29fmptd 5860 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) : Z --> CC )
311, 2, 30iprodefisumlem 27451 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) ) )  =  ( exp  o.  seq M (  +  , 
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) ) ) )
321, 2, 3, 4isum 13188 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  Z  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
3332fveq2d 5688 . . 3  |-  ( ph  ->  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
)  =  ( exp `  (  ~~>  `  seq M
(  +  ,  F
) ) ) )
3428, 31, 333brtr4d 4315 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  ( exp  o.  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) ) )  ~~>  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
) )
35 fvco3 5761 . . . 4  |-  ( ( ( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) : Z --> CC  /\  k  e.  Z
)  ->  ( ( exp  o.  ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) ) `
 k )  =  ( exp `  (
( j  e.  Z  |->  ( F `  j
) ) `  k
) ) )
3630, 35sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) ) `  k
)  =  ( exp `  ( ( j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) `  k ) ) )
3715fveq2d 5688 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  ( ( j  e.  Z  |->  ( F `
 j ) ) `
 k ) )  =  ( exp `  ( F `  k )
) )
383fveq2d 5688 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  ( F `  k ) )  =  ( exp `  B
) )
3936, 37, 383eqtrd 2473 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  (
( exp  o.  (
j  e.  Z  |->  ( F `  j ) ) ) `  k
)  =  ( exp `  B ) )
40 efcl 13360 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  ( exp `  B )  e.  CC )
414, 40syl 16 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( exp `  B )  e.  CC )
421, 2, 8, 34, 39, 41iprodn0 27400 1  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  Z  ( exp `  B )  =  ( exp `  sum_ k  e.  Z  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2600   class class class wbr 4285    e. cmpt 4343   dom cdm 4832    o. ccom 4836   -->wf 5407   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274    + caddc 9277    x. cmul 9279   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853    seqcseq 11798    ~~> cli 12954   sum_csu 13155   expce 13339   -cn->ccncf 20421   prod_cprod 27365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-iin 4167  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15537  df-cntz 15824  df-cmn 16268  df-psmet 17778  df-xmet 17779  df-met 17780  df-bl 17781  df-mopn 17782  df-fbas 17783  df-fg 17784  df-cnfld 17788  df-top 18472  df-bases 18474  df-topon 18475  df-topsp 18476  df-cld 18592  df-ntr 18593  df-cls 18594  df-nei 18671  df-lp 18709  df-perf 18710  df-cn 18800  df-cnp 18801  df-haus 18888  df-tx 19104  df-hmeo 19297  df-fil 19388  df-fm 19480  df-flim 19481  df-flf 19482  df-xms 19864  df-ms 19865  df-tms 19866  df-cncf 20423  df-limc 21310  df-dv 21311  df-prod 27366
This theorem is referenced by:  iprodgam  27453
  Copyright terms: Public domain W3C validator