Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodefisum Structured version   Unicode version

Theorem iprodefisum 29963
 Description: Applying the exponential function to an infinite sum yields an infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 11-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodefisum.1
iprodefisum.2
iprodefisum.3
iprodefisum.4
iprodefisum.5
Assertion
Ref Expression
iprodefisum
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem iprodefisum
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iprodefisum.1 . 2
2 iprodefisum.2 . 2
3 iprodefisum.3 . . . 4
4 iprodefisum.4 . . . 4
5 iprodefisum.5 . . . 4
61, 2, 3, 4, 5isumcl 13729 . . 3
7 efne0 14043 . . 3
86, 7syl 17 . 2
9 efcn 23132 . . . . 5
109a1i 11 . . . 4
11 fveq2 5851 . . . . . . . 8
12 eqid 2404 . . . . . . . 8
13 fvex 5861 . . . . . . . 8
1411, 12, 13fvmpt 5934 . . . . . . 7
1514adantl 466 . . . . . 6
163, 4eqeltrd 2492 . . . . . 6
1715, 16eqeltrd 2492 . . . . 5
181, 2, 17serf 12181 . . . 4
191eqcomi 2417 . . . . . . . 8
2014, 19eleq2s 2512 . . . . . . 7
2120adantl 466 . . . . . 6
222, 21seqfeq 12178 . . . . 5
23 climdm 13528 . . . . . 6
245, 23sylib 198 . . . . 5
2522, 24eqbrtrd 4417 . . . 4
26 climcl 13473 . . . . 5
2724, 26syl 17 . . . 4
281, 2, 10, 18, 25, 27climcncf 21698 . . 3
2911cbvmptv 4489 . . . . 5
3016, 29fmptd 6035 . . . 4
311, 2, 30iprodefisumlem 29962 . . 3
321, 2, 3, 4isum 13692 . . . 4
3332fveq2d 5855 . . 3
3428, 31, 333brtr4d 4427 . 2
35 fvco3 5928 . . . 4
3630, 35sylan 471 . . 3
3715fveq2d 5855 . . 3
383fveq2d 5855 . . 3
3936, 37, 383eqtrd 2449 . 2
40 efcl 14029 . . 3
414, 40syl 17 . 2
421, 2, 8, 34, 39, 41iprodn0 13901 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1407   wcel 1844   wne 2600   class class class wbr 4397   cmpt 4455   cdm 4825   ccom 4829  wf 5567  cfv 5571  (class class class)co 6280  cc 9522  cc0 9524   caddc 9527   cmul 9529  cz 10907  cuz 11129   cseq 12153   cli 13458  csu 13659  cprod 13866  ce 14008  ccncf 21674 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603  ax-mulf 9604 This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-iin 4276  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-supp 6905  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7866  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-fac 12400  df-bc 12427  df-hash 12455  df-shft 13051  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-limsup 13445  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-prod 13867  df-ef 14014  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ress 14850  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-starv 14926  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-unif 14934  df-hom 14935  df-cco 14936  df-rest 15039  df-topn 15040  df-0g 15058  df-gsum 15059  df-topgen 15060  df-pt 15061  df-prds 15064  df-xrs 15118  df-qtop 15123  df-imas 15124  df-xps 15126  df-mre 15202  df-mrc 15203  df-acs 15205  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-submnd 16293  df-mulg 16386  df-cntz 16681  df-cmn 17126  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-fbas 18738  df-fg 18739  df-cnfld 18743  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-topsp 19697  df-cld 19814  df-ntr 19815  df-cls 19816  df-nei 19894  df-lp 19932  df-perf 19933  df-cn 20023  df-cnp 20024  df-haus 20111  df-tx 20357  df-hmeo 20550  df-fil 20641  df-fm 20733  df-flim 20734  df-flf 20735  df-xms 21117  df-ms 21118  df-tms 21119  df-cncf 21676  df-limc 22564  df-dv 22565 This theorem is referenced by:  iprodgam  29964
 Copyright terms: Public domain W3C validator