MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iprodclim2 Structured version   Unicode version

Theorem iprodclim2 13849
Description: A converging product converges to its infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodclim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iprodclim.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iprodclim.3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y ) )
iprodclim.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
iprodclim.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
iprodclim2  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  prod_ k  e.  Z  A )
Distinct variable groups:    A, n, y    k, F, n    ph, k,
y    k, M, y    ph, n, y    k, Z, n, y   
n, F, y    n, M
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem iprodclim2
StepHypRef Expression
1 iprodclim.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iprodclim.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y ) )
3 iprodclim.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
4 iprodclim.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
53, 4eqeltrd 2488 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
61, 2, 5ntrivcvg 13763 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
7 climdm 13431 . . 3  |-  (  seq M (  x.  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) ) )
86, 7sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) ) )
9 iprodclim.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
101, 9, 2, 3, 4iprod 13802 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  Z  A  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) ) )
118, 10breqtrrd 4418 1  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  prod_ k  e.  Z  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403   E.wex 1631    e. wcel 1840    =/= wne 2596   E.wrex 2752   class class class wbr 4392   dom cdm 4940   ` cfv 5523   CCcc 9438   0cc0 9440    x. cmul 9445   ZZcz 10823   ZZ>=cuz 11043    seqcseq 12059    ~~> cli 13361   prod_cprod 13769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-rp 11182  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-prod 13770
This theorem is referenced by:  iprodrecl  13852  iprodmul  13853
  Copyright terms: Public domain W3C validator