Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iprodclim2 Structured version   Unicode version

Theorem iprodclim2 28683
Description: A converging product converges to its infinite product. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
iprodclim.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
iprodclim.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
iprodclim.3  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y ) )
iprodclim.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
iprodclim.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
iprodclim2  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  prod_ k  e.  Z  A )
Distinct variable groups:    A, n, y    k, F, n    ph, k,
y    k, M, y    ph, n, y    k, Z, n, y   
n, F, y    n, M
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem iprodclim2
StepHypRef Expression
1 iprodclim.1 . . . 4  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2 iprodclim.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  e.  Z  E. y ( y  =/=  0  /\  seq n
(  x.  ,  F
)  ~~>  y ) )
3 iprodclim.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  A )
4 iprodclim.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
53, 4eqeltrd 2550 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
61, 2, 5ntrivcvg 28596 . . 3  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  F )  e. 
dom 
~~>  )
7 climdm 13328 . . 3  |-  (  seq M (  x.  ,  F )  e.  dom  ~~>  <->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) ) )
86, 7sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) ) )
9 iprodclim.2 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
101, 9, 2, 3, 4iprod 28635 . 2  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  Z  A  =  (  ~~>  `  seq M (  x.  ,  F ) ) )
118, 10breqtrrd 4468 1  |-  ( ph  ->  seq M (  x.  ,  F )  ~~>  prod_ k  e.  Z  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2657   E.wrex 2810   class class class wbr 4442   dom cdm 4994   ` cfv 5581   CCcc 9481   0cc0 9483    x. cmul 9488   ZZcz 10855   ZZ>=cuz 11073    seqcseq 12065    ~~> cli 13258   prod_cprod 28602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-prod 28603
This theorem is referenced by:  iprodrecl  28686  iprodmul  28687
  Copyright terms: Public domain W3C validator