Theorem ipostr 16411

Description: The structure of df-ipo 16410 is a structure defining indexes up to 11. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ipostr	|- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } u. { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } ) Struct <. 1 , ; 1 1 >.

Proof of Theorem ipostr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10627	. . 3 |- 1 e. NN
2		basendx 15185	. . 3 |- ( Base ` ndx ) = 1
3		1lt9 10818	. . 3 |- 1 < 9
4		9nn 10781	. . 3 |- 9 e. NN
5		tsetndx 15296	. . 3 |- (TopSet ` ndx ) = 9
6	1, 2, 3, 4, 5	strle2 15234	. 2 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 1 , 9 >.
7		10nn 10782	. . 3 |- 10 e. NN
8		plendx 15303	. . 3 |- ( le ` ndx ) = 10
9		dec10 11088	. . . 4 |- 10 = ; 1 0
10		1nn0 10892	. . . . 5 |- 1 e. NN0
11		0nn0 10891	. . . . 5 |- 0 e. NN0
12		0lt1 10143	. . . . 5 |- 0 < 1
13	10, 11, 1, 12	declt 11079	. . . 4 |- ; 1 0 < ; 1 1
14	9, 13	eqbrtri 4425	. . 3 |- 10 < ; 1 1
15	10, 1	decnncl 11071	. . 3 |- ; 1 1 e. NN
16		ocndx 15310	. . 3 |- ( oc ` ndx ) = ; 1 1
17	7, 8, 14, 15, 16	strle2 15234	. 2 |- { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } Struct <. 10 , ; 1 1 >.
18		9lt10 10819	. 2 |- 9 < 10
19	6, 17, 18	strleun 15232	1 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } u. { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } ) Struct <. 1 , ; 1 1 >.

Syntax hints:   u. cun 3404   {cpr 3972   <.cop 3976   class class class wbr 4405   ` cfv 5585   0cc0 9544   1c1 9545   < clt 9680   9c9 10673   10c10 10674  ;cdc 11058   Struct cstr 15129   ndxcnx 15130   Basecbs 15133  TopSetcts 15208   lecple 15209   occoc 15210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ocomp 15223

This theorem is referenced by:  ipobas  16413  ipolerval  16414  ipotset  16415