Theorem ipostr 15446

Description: The structure of df-ipo 15445 is a structure defining indexes up to 11. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ipostr	|- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } u. { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } ) Struct <. 1 , ; 1 1 >.

Proof of Theorem ipostr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10448	. . 3 |- 1 e. NN
2		basendx 14346	. . 3 |- ( Base ` ndx ) = 1
3		1lt9 10638	. . 3 |- 1 < 9
4		9nn 10601	. . 3 |- 9 e. NN
5		tsetndx 14448	. . 3 |- (TopSet ` ndx ) = 9
6	1, 2, 3, 4, 5	strle2 14393	. 2 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 1 , 9 >.
7		10nn 10602	. . 3 |- 10 e. NN
8		plendx 14455	. . 3 |- ( le ` ndx ) = 10
9		dec10 10900	. . . 4 |- 10 = ; 1 0
10		1nn0 10710	. . . . 5 |- 1 e. NN0
11		0nn0 10709	. . . . 5 |- 0 e. NN0
12		0lt1 9977	. . . . 5 |- 0 < 1
13	10, 11, 1, 12	declt 10891	. . . 4 |- ; 1 0 < ; 1 1
14	9, 13	eqbrtri 4422	. . 3 |- 10 < ; 1 1
15	10, 1	decnncl 10883	. . 3 |- ; 1 1 e. NN
16		ocndx 14462	. . 3 |- ( oc ` ndx ) = ; 1 1
17	7, 8, 14, 15, 16	strle2 14393	. 2 |- { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } Struct <. 10 , ; 1 1 >.
18		9lt10 10639	. 2 |- 9 < 10
19	6, 17, 18	strleun 14391	1 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } u. { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } ) Struct <. 1 , ; 1 1 >.

Syntax hints:   u. cun 3437   {cpr 3990   <.cop 3994   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   0cc0 9397   1c1 9398   < clt 9533   9c9 10493   10c10 10494  ;cdc 10870   Struct cstr 14292   ndxcnx 14293   Basecbs 14296  TopSetcts 14367   lecple 14368   occoc 14369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ocomp 14382

This theorem is referenced by:  ipobas  15448  ipolerval  15449  ipotset  15450