Theorem ipostr 15306

Description: The structure of df-ipo 15305 is a structure defining indexes up to 11. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ipostr	|- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } u. { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } ) Struct <. 1 , ; 1 1 >.

Proof of Theorem ipostr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10321	. . 3 |- 1 e. NN
2		basendx 14206	. . 3 |- ( Base ` ndx ) = 1
3		1lt9 10511	. . 3 |- 1 < 9
4		9nn 10474	. . 3 |- 9 e. NN
5		tsetndx 14308	. . 3 |- (TopSet ` ndx ) = 9
6	1, 2, 3, 4, 5	strle2 14253	. 2 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 1 , 9 >.
7		10nn 10475	. . 3 |- 10 e. NN
8		plendx 14315	. . 3 |- ( le ` ndx ) = 10
9		dec10 10773	. . . 4 |- 10 = ; 1 0
10		1nn0 10583	. . . . 5 |- 1 e. NN0
11		0nn0 10582	. . . . 5 |- 0 e. NN0
12		0lt1 9850	. . . . 5 |- 0 < 1
13	10, 11, 1, 12	declt 10764	. . . 4 |- ; 1 0 < ; 1 1
14	9, 13	eqbrtri 4299	. . 3 |- 10 < ; 1 1
15	10, 1	decnncl 10756	. . 3 |- ; 1 1 e. NN
16		ocndx 14322	. . 3 |- ( oc ` ndx ) = ; 1 1
17	7, 8, 14, 15, 16	strle2 14253	. 2 |- { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } Struct <. 10 , ; 1 1 >.
18		9lt10 10512	. 2 |- 9 < 10
19	6, 17, 18	strleun 14251	1 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } u. { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } ) Struct <. 1 , ; 1 1 >.

Syntax hints:   u. cun 3314   {cpr 3867   <.cop 3871   class class class wbr 4280   ` cfv 5406   0cc0 9270   1c1 9271   < clt 9406   9c9 10366   10c10 10367  ;cdc 10743   Struct cstr 14153   ndxcnx 14154   Basecbs 14157  TopSetcts 14227   lecple 14228   occoc 14229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ocomp 14242

This theorem is referenced by:  ipobas  15308  ipolerval  15309  ipotset  15310