Theorem ipostr 15910

Description: The structure of df-ipo 15909 is a structure defining indexes up to 11. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ipostr	|- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } u. { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } ) Struct <. 1 , ; 1 1 >.

Proof of Theorem ipostr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10567	. . 3 |- 1 e. NN
2		basendx 14696	. . 3 |- ( Base ` ndx ) = 1
3		1lt9 10758	. . 3 |- 1 < 9
4		9nn 10721	. . 3 |- 9 e. NN
5		tsetndx 14803	. . 3 |- (TopSet ` ndx ) = 9
6	1, 2, 3, 4, 5	strle2 14744	. 2 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 1 , 9 >.
7		10nn 10722	. . 3 |- 10 e. NN
8		plendx 14810	. . 3 |- ( le ` ndx ) = 10
9		dec10 11030	. . . 4 |- 10 = ; 1 0
10		1nn0 10832	. . . . 5 |- 1 e. NN0
11		0nn0 10831	. . . . 5 |- 0 e. NN0
12		0lt1 10096	. . . . 5 |- 0 < 1
13	10, 11, 1, 12	declt 11021	. . . 4 |- ; 1 0 < ; 1 1
14	9, 13	eqbrtri 4475	. . 3 |- 10 < ; 1 1
15	10, 1	decnncl 11013	. . 3 |- ; 1 1 e. NN
16		ocndx 14817	. . 3 |- ( oc ` ndx ) = ; 1 1
17	7, 8, 14, 15, 16	strle2 14744	. 2 |- { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } Struct <. 10 , ; 1 1 >.
18		9lt10 10759	. 2 |- 9 < 10
19	6, 17, 18	strleun 14742	1 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } u. { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } ) Struct <. 1 , ; 1 1 >.

Syntax hints:   u. cun 3469   {cpr 4034   <.cop 4038   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   0cc0 9509   1c1 9510   < clt 9645   9c9 10613   10c10 10614  ;cdc 11000   Struct cstr 14640   ndxcnx 14641   Basecbs 14644  TopSetcts 14718   lecple 14719   occoc 14720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ocomp 14733

This theorem is referenced by:  ipobas  15912  ipolerval  15913  ipotset  15914