Theorem ipostr 15652

Description: The structure of df-ipo 15651 is a structure defining indexes up to 11. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ipostr	|- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } u. { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } ) Struct <. 1 , ; 1 1 >.

Proof of Theorem ipostr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10548	. . 3 |- 1 e. NN
2		basendx 14554	. . 3 |- ( Base ` ndx ) = 1
3		1lt9 10738	. . 3 |- 1 < 9
4		9nn 10701	. . 3 |- 9 e. NN
5		tsetndx 14656	. . 3 |- (TopSet ` ndx ) = 9
6	1, 2, 3, 4, 5	strle2 14601	. 2 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } Struct <. 1 , 9 >.
7		10nn 10702	. . 3 |- 10 e. NN
8		plendx 14663	. . 3 |- ( le ` ndx ) = 10
9		dec10 11009	. . . 4 |- 10 = ; 1 0
10		1nn0 10812	. . . . 5 |- 1 e. NN0
11		0nn0 10811	. . . . 5 |- 0 e. NN0
12		0lt1 10076	. . . . 5 |- 0 < 1
13	10, 11, 1, 12	declt 11000	. . . 4 |- ; 1 0 < ; 1 1
14	9, 13	eqbrtri 4452	. . 3 |- 10 < ; 1 1
15	10, 1	decnncl 10992	. . 3 |- ; 1 1 e. NN
16		ocndx 14670	. . 3 |- ( oc ` ndx ) = ; 1 1
17	7, 8, 14, 15, 16	strle2 14601	. 2 |- { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } Struct <. 10 , ; 1 1 >.
18		9lt10 10739	. 2 |- 9 < 10
19	6, 17, 18	strleun 14599	1 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. } u. { <. ( le ` ndx ) , .<_ >. , <. ( oc ` ndx ) , ._|_ >. } ) Struct <. 1 , ; 1 1 >.

Syntax hints:   u. cun 3456   {cpr 4012   <.cop 4016   class class class wbr 4433   ` cfv 5574   0cc0 9490   1c1 9491   < clt 9626   9c9 10593   10c10 10594  ;cdc 10979   Struct cstr 14500   ndxcnx 14501   Basecbs 14504  TopSetcts 14575   lecple 14576   occoc 14577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ocomp 14590

This theorem is referenced by:  ipobas  15654  ipolerval  15655  ipotset  15656