MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipolerval Structured version   Unicode version

Theorem ipolerval 15655
Description: Relation of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ipoval.i  |-  I  =  (toInc `  F )
Assertion
Ref Expression
ipolerval  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, I, y    x, V, y

Proof of Theorem ipolerval
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y )  ->  { x ,  y }  C_  F )
2 vex 3096 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
3 vex 3096 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
42, 3prss 4165 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  F  /\  y  e.  F )  <->  { x ,  y } 
C_  F )
51, 4sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y )  -> 
( x  e.  F  /\  y  e.  F
) )
65ssopab2i 4761 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } 
C_  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  F  /\  y  e.  F ) }
7 df-xp 4991 . . . . 5  |-  ( F  X.  F )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  F  /\  y  e.  F ) }
86, 7sseqtr4i 3519 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } 
C_  ( F  X.  F )
9 sqxpexg 6586 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  ( F  X.  F )  e. 
_V )
10 ssexg 4579 . . . 4  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) }  C_  ( F  X.  F
)  /\  ( F  X.  F )  e.  _V )  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  e.  _V )
118, 9, 10sylancr 663 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  e.  _V )
12 ipostr 15652 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } ) Struct  <. 1 , ; 1 1 >.
13 pleid 14664 . . . 4  |-  le  = Slot  ( le `  ndx )
14 snsspr1 4160 . . . . 5  |-  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. } 
C_  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. , 
<. ( oc `  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. {
y  e.  F  | 
( y  i^i  x
)  =  (/) } )
>. }
15 ssun2 3650 . . . . 5  |-  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. , 
<. ( oc `  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. {
y  e.  F  | 
( y  i^i  x
)  =  (/) } )
>. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } )
1614, 15sstri 3495 . . . 4  |-  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. } 
C_  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  F >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } )
>. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. , 
<. ( oc `  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. {
y  e.  F  | 
( y  i^i  x
)  =  (/) } )
>. } )
1712, 13, 16strfv 14538 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
) }  e.  _V  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } ) ) )
1811, 17syl 16 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } ) ) )
19 ipoval.i . . . 4  |-  I  =  (toInc `  F )
20 eqid 2441 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
2119, 20ipoval 15653 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  I  =  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  F >. ,  <. (TopSet ` 
ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } )
>. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } >. , 
<. ( oc `  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. {
y  e.  F  | 
( y  i^i  x
)  =  (/) } )
>. } ) )
2221fveq2d 5856 . 2  |-  ( F  e.  V  ->  ( le `  I )  =  ( le `  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  F >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  (ordTop `  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } ) >. }  u.  { <. ( le `  ndx ) ,  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
>. ,  <. ( oc
`  ndx ) ,  ( x  e.  F  |->  U. { y  e.  F  |  ( y  i^i  x )  =  (/) } ) >. } ) ) )
2318, 22eqtr4d 2485 1  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   {crab 2795   _Vcvv 3093    u. cun 3456    i^i cin 3457    C_ wss 3458   (/)c0 3767   {csn 4010   {cpr 4012   <.cop 4016   U.cuni 4230   {copab 4490    |-> cmpt 4491    X. cxp 4983   ` cfv 5574   1c1 9491  ;cdc 10979   ndxcnx 14501   Basecbs 14504  TopSetcts 14575   lecple 14576   occoc 14577  ordTopcordt 14768  toInccipo 15650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ocomp 14590  df-ipo 15651
This theorem is referenced by:  ipotset  15656  ipole  15657  thlle  18595
  Copyright terms: Public domain W3C validator