MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipole Structured version   Unicode version

Theorem ipole 15448
Description: Weak order condition of the inclusion poset. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipoval.i  |-  I  =  (toInc `  F )
ipole.l  |-  .<_  =  ( le `  I )
Assertion
Ref Expression
ipole  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  C_  Y
) )

Proof of Theorem ipole
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 preq12 4065 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  { x ,  y }  =  { X ,  Y } )
21sseq1d 3492 . . . . 5  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( { x ,  y }  C_  F  <->  { X ,  Y }  C_  F ) )
3 sseq12 3488 . . . . 5  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( x  C_  y  <->  X 
C_  Y ) )
42, 3anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
)  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
5 eqid 2454 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }
64, 5brabga 4712 . . 3  |-  ( ( X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } Y  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
763adant1 1006 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) } Y  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
8 ipoval.i . . . . . 6  |-  I  =  (toInc `  F )
98ipolerval 15446 . . . . 5  |-  ( F  e.  V  ->  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y ) }  =  ( le `  I ) )
10 ipole.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  I )
119, 10syl6reqr 2514 . . . 4  |-  ( F  e.  V  ->  .<_  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  F  /\  x  C_  y ) } )
1211breqd 4412 . . 3  |-  ( F  e.  V  ->  ( X  .<_  Y  <->  X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
) } Y ) )
13123ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  F  /\  x  C_  y
) } Y ) )
14 prssi 4138 . . . 4  |-  ( ( X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  { X ,  Y }  C_  F )
15143adant1 1006 . . 3  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  { X ,  Y }  C_  F )
1615biantrurd 508 . 2  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  C_  Y  <->  ( { X ,  Y }  C_  F  /\  X  C_  Y ) ) )
177, 13, 163bitr4d 285 1  |-  ( ( F  e.  V  /\  X  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  ( X  .<_  Y  <->  X  C_  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3437   {cpr 3988   class class class wbr 4401   {copab 4458   ` cfv 5527   lecple 14365  toInccipo 15441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ocomp 14379  df-ipo 15442
This theorem is referenced by:  ipolt  15449  ipopos  15450  isipodrs  15451  ipodrsfi  15453  mrelatglb  15474  mrelatglb0  15475  mrelatlub  15476  thlleval  18249
  Copyright terms: Public domain W3C validator