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Theorem ipodrsima 15664
Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipodrsima.f  |-  ( ph  ->  F  Fn  ~P A
)
ipodrsima.m  |-  ( (
ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  -> 
( F `  u
)  C_  ( F `  v ) )
ipodrsima.d  |-  ( ph  ->  (toInc `  B )  e. Dirset )
ipodrsima.s  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P A
)
ipodrsima.a  |-  ( ph  ->  ( F " B
)  e.  V )
Assertion
Ref Expression
ipodrsima  |-  ( ph  ->  (toInc `  ( F " B ) )  e. Dirset
)
Distinct variable groups:    ph, u, v   
u, A, v    u, F, v
Allowed substitution hints:    B( v, u)    V( v, u)

Proof of Theorem ipodrsima
Dummy variables  a 
b  c  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipodrsima.a . . 3  |-  ( ph  ->  ( F " B
)  e.  V )
2 elex 3102 . . 3  |-  ( ( F " B )  e.  V  ->  ( F " B )  e. 
_V )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( F " B
)  e.  _V )
4 ipodrsima.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  (toInc `  B )  e. Dirset )
5 isipodrs 15660 . . . . 5  |-  ( (toInc `  B )  e. Dirset  <->  ( B  e.  _V  /\  B  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( a  u.  b )  C_  c
) )
64, 5sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  _V  /\  B  =/=  (/)  /\  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
a  u.  b ) 
C_  c ) )
76simp2d 1008 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
8 ipodrsima.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  Fn  ~P A
)
9 ipodrsima.s . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P A
)
10 fnimaeq0 5688 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  B  C_  ~P A
)  ->  ( ( F " B )  =  (/) 
<->  B  =  (/) ) )
118, 9, 10syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F " B )  =  (/)  <->  B  =  (/) ) )
1211necon3bid 2699 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F " B )  =/=  (/)  <->  B  =/=  (/) ) )
137, 12mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( F " B
)  =/=  (/) )
146simp3d 1009 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( a  u.  b
)  C_  c )
15 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  a  C_  c )  ->  ph )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  a  C_  c )  ->  a  C_  c )
179ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  B  C_  ~P A )
18 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  c  e.  B )
1917, 18sseldd 3487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  c  e.  ~P A )
2019elpwid 4003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  c  C_  A )
2120adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  a  C_  c )  ->  c  C_  A )
22 vex 3096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  a  e. 
_V
23 vex 3096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  c  e. 
_V
24 sseq12 3509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( u  C_  v  <->  a 
C_  c ) )
25 sseq1 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  c  ->  (
v  C_  A  <->  c  C_  A ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( v  C_  A  <->  c 
C_  A ) )
2724, 26anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( ( u  C_  v  /\  v  C_  A
)  <->  ( a  C_  c  /\  c  C_  A
) ) )
2827anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( ( ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  <-> 
( ph  /\  (
a  C_  c  /\  c  C_  A ) ) ) )
29 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  a  ->  ( F `  u )  =  ( F `  a ) )
30 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  c  ->  ( F `  v )  =  ( F `  c ) )
31 sseq12 3509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  u
)  =  ( F `
 a )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( F `  u )  C_  ( F `  v )  <->  ( F `  a ) 
C_  ( F `  c ) ) )
3229, 30, 31syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( ( F `  u )  C_  ( F `  v )  <->  ( F `  a ) 
C_  ( F `  c ) ) )
3328, 32imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  =  a  /\  v  =  c )  ->  ( ( ( ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  ->  ( F `  u )  C_  ( F `  v )
)  <->  ( ( ph  /\  ( a  C_  c  /\  c  C_  A ) )  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  c )
) ) )
34 ipodrsima.m . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  -> 
( F `  u
)  C_  ( F `  v ) )
3522, 23, 33, 34vtocl2 3146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  C_  c  /\  c  C_  A ) )  -> 
( F `  a
)  C_  ( F `  c ) )
3615, 16, 21, 35syl12anc 1225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  a  C_  c )  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  c
) )
3736ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  ( a  C_  c  ->  ( F `  a )  C_  ( F `  c )
) )
38 simplll 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  b  C_  c )  ->  ph )
39 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  b  C_  c )  ->  b  C_  c )
4020adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  b  C_  c )  ->  c  C_  A )
41 vex 3096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  b  e. 
_V
42 sseq12 3509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( u  C_  v  <->  b 
C_  c ) )
4325adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( v  C_  A  <->  c 
C_  A ) )
4442, 43anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( ( u  C_  v  /\  v  C_  A
)  <->  ( b  C_  c  /\  c  C_  A
) ) )
4544anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( ( ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  <-> 
( ph  /\  (
b  C_  c  /\  c  C_  A ) ) ) )
46 fveq2 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  b  ->  ( F `  u )  =  ( F `  b ) )
47 sseq12 3509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  u
)  =  ( F `
 b )  /\  ( F `  v )  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( F `  u )  C_  ( F `  v )  <->  ( F `  b ) 
C_  ( F `  c ) ) )
4846, 30, 47syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( ( F `  u )  C_  ( F `  v )  <->  ( F `  b ) 
C_  ( F `  c ) ) )
4945, 48imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  =  b  /\  v  =  c )  ->  ( ( ( ph  /\  ( u  C_  v  /\  v  C_  A ) )  ->  ( F `  u )  C_  ( F `  v )
)  <->  ( ( ph  /\  ( b  C_  c  /\  c  C_  A ) )  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  c )
) ) )
5041, 23, 49, 34vtocl2 3146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( b  C_  c  /\  c  C_  A ) )  -> 
( F `  b
)  C_  ( F `  c ) )
5138, 39, 40, 50syl12anc 1225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  ( b  e.  B  /\  c  e.  B
) )  /\  b  C_  c )  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  c
) )
5251ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  ( b  C_  c  ->  ( F `  b )  C_  ( F `  c )
) )
5337, 52anim12d 563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  ( (
a  C_  c  /\  b  C_  c )  -> 
( ( F `  a )  C_  ( F `  c )  /\  ( F `  b
)  C_  ( F `  c ) ) ) )
54 unss 3660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  C_  c  /\  b  C_  c )  <->  ( a  u.  b )  C_  c
)
55 unss 3660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  a
)  C_  ( F `  c )  /\  ( F `  b )  C_  ( F `  c
) )  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
)
5653, 54, 553imtr3g 269 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  B  /\  c  e.  B )
)  ->  ( (
a  u.  b ) 
C_  c  ->  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
5756anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B
)  /\  c  e.  B )  ->  (
( a  u.  b
)  C_  c  ->  ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
5857reximdva 2916 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  B )  ->  ( E. c  e.  B  ( a  u.  b
)  C_  c  ->  E. c  e.  B  ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
5958ralimdva 2849 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( a  u.  b
)  C_  c  ->  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
6059ralimdva 2849 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( a  u.  b )  C_  c  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) ) )
6114, 60mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) )
62 uneq1 3633 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
x  u.  y )  =  ( ( F `
 a )  u.  y ) )
6362sseq1d 3513 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  (
( x  u.  y
)  C_  z  <->  ( ( F `  a )  u.  y )  C_  z
) )
6463rexbidv 2952 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( E. z  e.  ( F " B ) ( x  u.  y ) 
C_  z  <->  E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z
) )
6564ralbidv 2880 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( F `  a )  ->  ( A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F
" B ) ( x  u.  y ) 
C_  z  <->  A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z
) )
6665ralima 6133 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  B  C_  ~P A
)  ->  ( A. x  e.  ( F " B ) A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( x  u.  y )  C_  z  <->  A. a  e.  B  A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z
) )
678, 9, 66syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( F " B
) A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( x  u.  y )  C_  z  <->  A. a  e.  B  A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z
) )
68 uneq2 3634 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( F `  a
)  u.  y )  =  ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) ) )
6968sseq1d 3513 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  (
( ( F `  a )  u.  y
)  C_  z  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  z
) )
7069rexbidv 2952 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( F `  b )  ->  ( E. z  e.  ( F " B ) ( ( F `  a
)  u.  y ) 
C_  z  <->  E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  z
) )
7170ralima 6133 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  B  C_  ~P A
)  ->  ( A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z  <->  A. b  e.  B  E. z  e.  ( F " B ) ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  z ) )
728, 9, 71syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z  <->  A. b  e.  B  E. z  e.  ( F " B ) ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  z ) )
73 sseq2 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( F `  c )  ->  (
( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  z  <->  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b
) )  C_  ( F `  c )
) )
7473rexima 6132 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  ~P A  /\  B  C_  ~P A
)  ->  ( E. z  e.  ( F " B ) ( ( F `  a )  u.  ( F `  b ) )  C_  z 
<->  E. c  e.  B  ( ( F `  a )  u.  ( F `  b )
)  C_  ( F `  c ) ) )
758, 9, 74syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  z  <->  E. c  e.  B  ( ( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
7675ralbidv 2880 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. b  e.  B  E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  ( F `  b
) )  C_  z  <->  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
7772, 76bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z  <->  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
7877ralbidv 2880 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. a  e.  B  A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( ( F `
 a )  u.  y )  C_  z  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
7967, 78bitrd 253 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  ( F " B
) A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( x  u.  y )  C_  z  <->  A. a  e.  B  A. b  e.  B  E. c  e.  B  (
( F `  a
)  u.  ( F `
 b ) ) 
C_  ( F `  c ) ) )
8061, 79mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( F " B ) A. y  e.  ( F " B ) E. z  e.  ( F " B ) ( x  u.  y
)  C_  z )
81 isipodrs 15660 . 2  |-  ( (toInc `  ( F " B
) )  e. Dirset  <->  ( ( F " B )  e. 
_V  /\  ( F " B )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( F " B ) A. y  e.  ( F " B
) E. z  e.  ( F " B
) ( x  u.  y )  C_  z
) )
823, 13, 80, 81syl3anbrc 1179 1  |-  ( ph  ->  (toInc `  ( F " B ) )  e. Dirset
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093    u. cun 3456    C_ wss 3458   (/)c0 3767   ~Pcpw 3993   "cima 4988    Fn wfn 5569   ` cfv 5574  Dirsetcdrs 15425  toInccipo 15650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ocomp 14590  df-preset 15426  df-drs 15427  df-poset 15444  df-ipo 15651
This theorem is referenced by:  isacs4lem  15667  isnacs3  30610
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