Theorem ipodrsima 16489

Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipodrsima.f	|- ( ph -> F Fn ~P A )
ipodrsima.m	|- ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) )
ipodrsima.d	|- ( ph -> (toInc ` B ) e. Dirset )
ipodrsima.s	|- ( ph -> B C_ ~P A )
ipodrsima.a	|- ( ph -> ( F " B ) e. V )

Assertion

Ref	Expression
ipodrsima	|- ( ph -> (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset )

Distinct variable groups:   ph, u, v   u, A, v   u, F, v

Allowed substitution hints:   B( v, u)   V( v, u)

Proof of Theorem ipodrsima

Dummy variables a b c x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipodrsima.a	. . 3 |- ( ph -> ( F " B ) e. V )
2		elex 3040	. . 3 |- ( ( F " B ) e. V -> ( F " B ) e. _V )
3	1, 2	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( F " B ) e. _V )
4		ipodrsima.d	. . . . 5 |- ( ph -> (toInc ` B ) e. Dirset )
5		isipodrs 16485	. . . . 5 |- ( (toInc ` B ) e. Dirset <-> ( B e. _V /\ B =/= (/) /\ A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c ) )
6	4, 5	sylib 201	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. _V /\ B =/= (/) /\ A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c ) )
7	6	simp2d 1043	. . 3 |- ( ph -> B =/= (/) )
8		ipodrsima.f	. . . . 5 |- ( ph -> F Fn ~P A )
9		ipodrsima.s	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ~P A )
10		fnimaeq0 5707	. . . . 5 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( ( F " B ) = (/) <-> B = (/) ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F " B ) = (/) <-> B = (/) ) )
12	11	necon3bid 2687	. . 3 |- ( ph -> ( ( F " B ) =/= (/) <-> B =/= (/) ) )
13	7, 12	mpbird 240	. 2 |- ( ph -> ( F " B ) =/= (/) )
14	6	simp3d 1044	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c )
15		simplll 776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> ph )
16		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> a C_ c )
17	9	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> B C_ ~P A )
18		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c e. B )
19	17, 18	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c e. ~P A )
20	19	elpwid 3952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c C_ A )
21	20	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> c C_ A )
22		vex 3034	. . . . . . . . . . . . 13 |- a e. _V
23		vex 3034	. . . . . . . . . . . . 13 |- c e. _V
24		sseq12 3441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( u C_ v <-> a C_ c ) )
25		sseq1 3439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = c -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
26	25	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
27	24, 26	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( u C_ v /\ v C_ A ) <-> ( a C_ c /\ c C_ A ) ) )
28	27	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) <-> ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) ) )
29		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = a -> ( F ` u ) = ( F ` a ) )
30		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = c -> ( F ` v ) = ( F ` c ) )
31		sseq12 3441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` u ) = ( F ` a ) /\ ( F ` v ) = ( F ` c ) ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
32	29, 30, 31	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
33	28, 32	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) ) <-> ( ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) ) )
34		ipodrsima.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) )
35	22, 23, 33, 34	vtocl2 3088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) )
36	15, 16, 21, 35	syl12anc 1290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) )
37	36	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( a C_ c -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
38		simplll 776	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> ph )
39		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> b C_ c )
40	20	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> c C_ A )
41		vex 3034	. . . . . . . . . . . . 13 |- b e. _V
42		sseq12 3441	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( u C_ v <-> b C_ c ) )
43	25	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
44	42, 43	anbi12d 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( u C_ v /\ v C_ A ) <-> ( b C_ c /\ c C_ A ) ) )
45	44	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) <-> ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) ) )
46		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = b -> ( F ` u ) = ( F ` b ) )
47		sseq12 3441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` u ) = ( F ` b ) /\ ( F ` v ) = ( F ` c ) ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
48	46, 30, 47	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
49	45, 48	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) ) <-> ( ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) ) )
50	41, 23, 49, 34	vtocl2 3088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) )
51	38, 39, 40, 50	syl12anc 1290	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) )
52	51	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( b C_ c -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
53	37, 52	anim12d 572	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a C_ c /\ b C_ c ) -> ( ( F ` a ) C_ ( F ` c ) /\ ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) ) )
54		unss 3599	. . . . . . . . 9 |- ( ( a C_ c /\ b C_ c ) <-> ( a u. b ) C_ c )
55		unss 3599	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` a ) C_ ( F ` c ) /\ ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
56	53, 54, 55	3imtr3g 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a u. b ) C_ c -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
57	56	anassrs 660	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) /\ c e. B ) -> ( ( a u. b ) C_ c -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
58	57	reximdva 2858	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) -> ( E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
59	58	ralimdva 2805	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
60	59	ralimdva 2805	. . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
61	14, 60	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
62		uneq1 3572	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` a ) -> ( x u. y ) = ( ( F ` a ) u. y ) )
63	62	sseq1d 3445	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` a ) -> ( ( x u. y ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
64	63	rexbidv 2892	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` a ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
65	64	ralbidv 2829	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` a ) -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
66	65	ralima 6163	. . . . 5 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
67	8, 9, 66	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
68		uneq2 3573	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( F ` a ) u. y ) = ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) )
69	68	sseq1d 3445	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
70	69	rexbidv 2892	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` b ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
71	70	ralima 6163	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
72	8, 9, 71	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
73		sseq2 3440	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( F ` c ) -> ( ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
74	73	rexima 6162	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
75	8, 9, 74	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
76	75	ralbidv 2829	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
77	72, 76	bitrd 261	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
78	77	ralbidv 2829	. . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
79	67, 78	bitrd 261	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
80	61, 79	mpbird 240	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z )
81		isipodrs 16485	. 2 |- ( (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset <-> ( ( F " B ) e. _V /\ ( F " B ) =/= (/) /\ A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z ) )
82	3, 13, 80, 81	syl3anbrc 1214	1 |- ( ph -> (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   u. cun 3388   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   "cima 4842   Fn wfn 5584   ` cfv 5589  Dirsetcdrs 16250  toInccipo 16475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ocomp 15289  df-preset 16251  df-drs 16252  df-poset 16269  df-ipo 16476

This theorem is referenced by:  isacs4lem  16492  isnacs3  35623