Theorem ipodrsima 15664

Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipodrsima.f	|- ( ph -> F Fn ~P A )
ipodrsima.m	|- ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) )
ipodrsima.d	|- ( ph -> (toInc ` B ) e. Dirset )
ipodrsima.s	|- ( ph -> B C_ ~P A )
ipodrsima.a	|- ( ph -> ( F " B ) e. V )

Assertion

Ref	Expression
ipodrsima	|- ( ph -> (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset )

Distinct variable groups:   ph, u, v   u, A, v   u, F, v

Allowed substitution hints:   B( v, u)   V( v, u)

Proof of Theorem ipodrsima

Dummy variables a b c x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipodrsima.a	. . 3 |- ( ph -> ( F " B ) e. V )
2		elex 3102	. . 3 |- ( ( F " B ) e. V -> ( F " B ) e. _V )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( F " B ) e. _V )
4		ipodrsima.d	. . . . 5 |- ( ph -> (toInc ` B ) e. Dirset )
5		isipodrs 15660	. . . . 5 |- ( (toInc ` B ) e. Dirset <-> ( B e. _V /\ B =/= (/) /\ A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c ) )
6	4, 5	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. _V /\ B =/= (/) /\ A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c ) )
7	6	simp2d 1008	. . 3 |- ( ph -> B =/= (/) )
8		ipodrsima.f	. . . . 5 |- ( ph -> F Fn ~P A )
9		ipodrsima.s	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ~P A )
10		fnimaeq0 5688	. . . . 5 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( ( F " B ) = (/) <-> B = (/) ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F " B ) = (/) <-> B = (/) ) )
12	11	necon3bid 2699	. . 3 |- ( ph -> ( ( F " B ) =/= (/) <-> B =/= (/) ) )
13	7, 12	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> ( F " B ) =/= (/) )
14	6	simp3d 1009	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c )
15		simplll 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> ph )
16		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> a C_ c )
17	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> B C_ ~P A )
18		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c e. B )
19	17, 18	sseldd 3487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c e. ~P A )
20	19	elpwid 4003	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c C_ A )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> c C_ A )
22		vex 3096	. . . . . . . . . . . . 13 |- a e. _V
23		vex 3096	. . . . . . . . . . . . 13 |- c e. _V
24		sseq12 3509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( u C_ v <-> a C_ c ) )
25		sseq1 3507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = c -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
26	25	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
27	24, 26	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( u C_ v /\ v C_ A ) <-> ( a C_ c /\ c C_ A ) ) )
28	27	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) <-> ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) ) )
29		fveq2 5852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = a -> ( F ` u ) = ( F ` a ) )
30		fveq2 5852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = c -> ( F ` v ) = ( F ` c ) )
31		sseq12 3509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` u ) = ( F ` a ) /\ ( F ` v ) = ( F ` c ) ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
32	29, 30, 31	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
33	28, 32	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) ) <-> ( ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) ) )
34		ipodrsima.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) )
35	22, 23, 33, 34	vtocl2 3146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) )
36	15, 16, 21, 35	syl12anc 1225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) )
37	36	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( a C_ c -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
38		simplll 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> ph )
39		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> b C_ c )
40	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> c C_ A )
41		vex 3096	. . . . . . . . . . . . 13 |- b e. _V
42		sseq12 3509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( u C_ v <-> b C_ c ) )
43	25	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
44	42, 43	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( u C_ v /\ v C_ A ) <-> ( b C_ c /\ c C_ A ) ) )
45	44	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) <-> ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) ) )
46		fveq2 5852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = b -> ( F ` u ) = ( F ` b ) )
47		sseq12 3509	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` u ) = ( F ` b ) /\ ( F ` v ) = ( F ` c ) ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
48	46, 30, 47	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
49	45, 48	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) ) <-> ( ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) ) )
50	41, 23, 49, 34	vtocl2 3146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) )
51	38, 39, 40, 50	syl12anc 1225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) )
52	51	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( b C_ c -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
53	37, 52	anim12d 563	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a C_ c /\ b C_ c ) -> ( ( F ` a ) C_ ( F ` c ) /\ ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) ) )
54		unss 3660	. . . . . . . . 9 |- ( ( a C_ c /\ b C_ c ) <-> ( a u. b ) C_ c )
55		unss 3660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` a ) C_ ( F ` c ) /\ ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
56	53, 54, 55	3imtr3g 269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a u. b ) C_ c -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
57	56	anassrs 648	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) /\ c e. B ) -> ( ( a u. b ) C_ c -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
58	57	reximdva 2916	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) -> ( E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
59	58	ralimdva 2849	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
60	59	ralimdva 2849	. . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
61	14, 60	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
62		uneq1 3633	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` a ) -> ( x u. y ) = ( ( F ` a ) u. y ) )
63	62	sseq1d 3513	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` a ) -> ( ( x u. y ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
64	63	rexbidv 2952	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` a ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
65	64	ralbidv 2880	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` a ) -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
66	65	ralima 6133	. . . . 5 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
67	8, 9, 66	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
68		uneq2 3634	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( F ` a ) u. y ) = ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) )
69	68	sseq1d 3513	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
70	69	rexbidv 2952	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` b ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
71	70	ralima 6133	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
72	8, 9, 71	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
73		sseq2 3508	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( F ` c ) -> ( ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
74	73	rexima 6132	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
75	8, 9, 74	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
76	75	ralbidv 2880	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
77	72, 76	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
78	77	ralbidv 2880	. . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
79	67, 78	bitrd 253	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
80	61, 79	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z )
81		isipodrs 15660	. 2 |- ( (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset <-> ( ( F " B ) e. _V /\ ( F " B ) =/= (/) /\ A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z ) )
82	3, 13, 80, 81	syl3anbrc 1179	1 |- ( ph -> (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 972   = wceq 1381   e. wcel 1802   =/= wne 2636   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093   u. cun 3456   C_ wss 3458   (/)c0 3767   ~Pcpw 3993   "cima 4988   Fn wfn 5569   ` cfv 5574  Dirsetcdrs 15425  toInccipo 15650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ocomp 14590  df-preset 15426  df-drs 15427  df-poset 15444  df-ipo 15651

This theorem is referenced by:  isacs4lem  15667  isnacs3  30610