Theorem ipodrsima 15997

Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipodrsima.f	|- ( ph -> F Fn ~P A )
ipodrsima.m	|- ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) )
ipodrsima.d	|- ( ph -> (toInc ` B ) e. Dirset )
ipodrsima.s	|- ( ph -> B C_ ~P A )
ipodrsima.a	|- ( ph -> ( F " B ) e. V )

Assertion

Ref	Expression
ipodrsima	|- ( ph -> (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset )

Distinct variable groups:   ph, u, v   u, A, v   u, F, v

Allowed substitution hints:   B( v, u)   V( v, u)

Proof of Theorem ipodrsima

Dummy variables a b c x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipodrsima.a	. . 3 |- ( ph -> ( F " B ) e. V )
2		elex 3115	. . 3 |- ( ( F " B ) e. V -> ( F " B ) e. _V )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( F " B ) e. _V )
4		ipodrsima.d	. . . . 5 |- ( ph -> (toInc ` B ) e. Dirset )
5		isipodrs 15993	. . . . 5 |- ( (toInc ` B ) e. Dirset <-> ( B e. _V /\ B =/= (/) /\ A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c ) )
6	4, 5	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. _V /\ B =/= (/) /\ A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c ) )
7	6	simp2d 1007	. . 3 |- ( ph -> B =/= (/) )
8		ipodrsima.f	. . . . 5 |- ( ph -> F Fn ~P A )
9		ipodrsima.s	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ~P A )
10		fnimaeq0 5684	. . . . 5 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( ( F " B ) = (/) <-> B = (/) ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F " B ) = (/) <-> B = (/) ) )
12	11	necon3bid 2712	. . 3 |- ( ph -> ( ( F " B ) =/= (/) <-> B =/= (/) ) )
13	7, 12	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> ( F " B ) =/= (/) )
14	6	simp3d 1008	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c )
15		simplll 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> ph )
16		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> a C_ c )
17	9	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> B C_ ~P A )
18		simprr 755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c e. B )
19	17, 18	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c e. ~P A )
20	19	elpwid 4009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c C_ A )
21	20	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> c C_ A )
22		vex 3109	. . . . . . . . . . . . 13 |- a e. _V
23		vex 3109	. . . . . . . . . . . . 13 |- c e. _V
24		sseq12 3512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( u C_ v <-> a C_ c ) )
25		sseq1 3510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = c -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
26	25	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
27	24, 26	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( u C_ v /\ v C_ A ) <-> ( a C_ c /\ c C_ A ) ) )
28	27	anbi2d 701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) <-> ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) ) )
29		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = a -> ( F ` u ) = ( F ` a ) )
30		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = c -> ( F ` v ) = ( F ` c ) )
31		sseq12 3512	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` u ) = ( F ` a ) /\ ( F ` v ) = ( F ` c ) ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
32	29, 30, 31	syl2an 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
33	28, 32	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) ) <-> ( ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) ) )
34		ipodrsima.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) )
35	22, 23, 33, 34	vtocl2 3159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) )
36	15, 16, 21, 35	syl12anc 1224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) )
37	36	ex 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( a C_ c -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
38		simplll 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> ph )
39		simpr 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> b C_ c )
40	20	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> c C_ A )
41		vex 3109	. . . . . . . . . . . . 13 |- b e. _V
42		sseq12 3512	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( u C_ v <-> b C_ c ) )
43	25	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
44	42, 43	anbi12d 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( u C_ v /\ v C_ A ) <-> ( b C_ c /\ c C_ A ) ) )
45	44	anbi2d 701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) <-> ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) ) )
46		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = b -> ( F ` u ) = ( F ` b ) )
47		sseq12 3512	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` u ) = ( F ` b ) /\ ( F ` v ) = ( F ` c ) ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
48	46, 30, 47	syl2an 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
49	45, 48	imbi12d 318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) ) <-> ( ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) ) )
50	41, 23, 49, 34	vtocl2 3159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) )
51	38, 39, 40, 50	syl12anc 1224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) )
52	51	ex 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( b C_ c -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
53	37, 52	anim12d 561	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a C_ c /\ b C_ c ) -> ( ( F ` a ) C_ ( F ` c ) /\ ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) ) )
54		unss 3664	. . . . . . . . 9 |- ( ( a C_ c /\ b C_ c ) <-> ( a u. b ) C_ c )
55		unss 3664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` a ) C_ ( F ` c ) /\ ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
56	53, 54, 55	3imtr3g 269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a u. b ) C_ c -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
57	56	anassrs 646	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) /\ c e. B ) -> ( ( a u. b ) C_ c -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
58	57	reximdva 2929	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) -> ( E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
59	58	ralimdva 2862	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
60	59	ralimdva 2862	. . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
61	14, 60	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
62		uneq1 3637	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` a ) -> ( x u. y ) = ( ( F ` a ) u. y ) )
63	62	sseq1d 3516	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` a ) -> ( ( x u. y ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
64	63	rexbidv 2965	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` a ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
65	64	ralbidv 2893	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` a ) -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
66	65	ralima 6127	. . . . 5 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
67	8, 9, 66	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
68		uneq2 3638	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( F ` a ) u. y ) = ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) )
69	68	sseq1d 3516	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
70	69	rexbidv 2965	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` b ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
71	70	ralima 6127	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
72	8, 9, 71	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
73		sseq2 3511	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( F ` c ) -> ( ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
74	73	rexima 6126	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
75	8, 9, 74	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
76	75	ralbidv 2893	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
77	72, 76	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
78	77	ralbidv 2893	. . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
79	67, 78	bitrd 253	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
80	61, 79	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z )
81		isipodrs 15993	. 2 |- ( (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset <-> ( ( F " B ) e. _V /\ ( F " B ) =/= (/) /\ A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z ) )
82	3, 13, 80, 81	syl3anbrc 1178	1 |- ( ph -> (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   u. cun 3459   C_ wss 3461   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999   "cima 4991   Fn wfn 5565   ` cfv 5570  Dirsetcdrs 15758  toInccipo 15983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ocomp 14808  df-preset 15759  df-drs 15760  df-poset 15777  df-ipo 15984

This theorem is referenced by:  isacs4lem  16000  isnacs3  30885