Theorem ipodrsima 15347

Description: The monotone image of a directed set. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipodrsima.f	|- ( ph -> F Fn ~P A )
ipodrsima.m	|- ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) )
ipodrsima.d	|- ( ph -> (toInc ` B ) e. Dirset )
ipodrsima.s	|- ( ph -> B C_ ~P A )
ipodrsima.a	|- ( ph -> ( F " B ) e. V )

Assertion

Ref	Expression
ipodrsima	|- ( ph -> (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset )

Distinct variable groups:   ph, u, v   u, A, v   u, F, v

Allowed substitution hints:   B( v, u)   V( v, u)

Proof of Theorem ipodrsima

Dummy variables a b c x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipodrsima.a	. . 3 |- ( ph -> ( F " B ) e. V )
2		elex 2993	. . 3 |- ( ( F " B ) e. V -> ( F " B ) e. _V )
3	1, 2	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( F " B ) e. _V )
4		ipodrsima.d	. . . . 5 |- ( ph -> (toInc ` B ) e. Dirset )
5		isipodrs 15343	. . . . 5 |- ( (toInc ` B ) e. Dirset <-> ( B e. _V /\ B =/= (/) /\ A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c ) )
6	4, 5	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ( B e. _V /\ B =/= (/) /\ A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c ) )
7	6	simp2d 1001	. . 3 |- ( ph -> B =/= (/) )
8		ipodrsima.f	. . . . 5 |- ( ph -> F Fn ~P A )
9		ipodrsima.s	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ ~P A )
10		fnimaeq0 5544	. . . . 5 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( ( F " B ) = (/) <-> B = (/) ) )
11	8, 9, 10	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F " B ) = (/) <-> B = (/) ) )
12	11	necon3bid 2655	. . 3 |- ( ph -> ( ( F " B ) =/= (/) <-> B =/= (/) ) )
13	7, 12	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> ( F " B ) =/= (/) )
14	6	simp3d 1002	. . . 4 |- ( ph -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c )
15		simplll 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> ph )
16		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> a C_ c )
17	9	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> B C_ ~P A )
18		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c e. B )
19	17, 18	sseldd 3369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c e. ~P A )
20	19	elpwid 3882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> c C_ A )
21	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> c C_ A )
22		vex 2987	. . . . . . . . . . . . 13 |- a e. _V
23		vex 2987	. . . . . . . . . . . . 13 |- c e. _V
24		sseq12 3391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( u C_ v <-> a C_ c ) )
25		sseq1 3389	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( v = c -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
26	25	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
27	24, 26	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( u C_ v /\ v C_ A ) <-> ( a C_ c /\ c C_ A ) ) )
28	27	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) <-> ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) ) )
29		fveq2 5703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = a -> ( F ` u ) = ( F ` a ) )
30		fveq2 5703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = c -> ( F ` v ) = ( F ` c ) )
31		sseq12 3391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` u ) = ( F ` a ) /\ ( F ` v ) = ( F ` c ) ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
32	29, 30, 31	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
33	28, 32	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = a /\ v = c ) -> ( ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) ) <-> ( ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) ) )
34		ipodrsima.m	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) )
35	22, 23, 33, 34	vtocl2 3037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( a C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) )
36	15, 16, 21, 35	syl12anc 1216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ a C_ c ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) )
37	36	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( a C_ c -> ( F ` a ) C_ ( F ` c ) ) )
38		simplll 757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> ph )
39		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> b C_ c )
40	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> c C_ A )
41		vex 2987	. . . . . . . . . . . . 13 |- b e. _V
42		sseq12 3391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( u C_ v <-> b C_ c ) )
43	25	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( v C_ A <-> c C_ A ) )
44	42, 43	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( u C_ v /\ v C_ A ) <-> ( b C_ c /\ c C_ A ) ) )
45	44	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) <-> ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) ) )
46		fveq2 5703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u = b -> ( F ` u ) = ( F ` b ) )
47		sseq12 3391	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` u ) = ( F ` b ) /\ ( F ` v ) = ( F ` c ) ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
48	46, 30, 47	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( F ` u ) C_ ( F ` v ) <-> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
49	45, 48	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = b /\ v = c ) -> ( ( ( ph /\ ( u C_ v /\ v C_ A ) ) -> ( F ` u ) C_ ( F ` v ) ) <-> ( ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) ) )
50	41, 23, 49, 34	vtocl2 3037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( b C_ c /\ c C_ A ) ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) )
51	38, 39, 40, 50	syl12anc 1216	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) /\ b C_ c ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) )
52	51	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( b C_ c -> ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) )
53	37, 52	anim12d 563	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a C_ c /\ b C_ c ) -> ( ( F ` a ) C_ ( F ` c ) /\ ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) ) )
54		unss 3542	. . . . . . . . 9 |- ( ( a C_ c /\ b C_ c ) <-> ( a u. b ) C_ c )
55		unss 3542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` a ) C_ ( F ` c ) /\ ( F ` b ) C_ ( F ` c ) ) <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
56	53, 54, 55	3imtr3g 269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ ( b e. B /\ c e. B ) ) -> ( ( a u. b ) C_ c -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
57	56	anassrs 648	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) /\ c e. B ) -> ( ( a u. b ) C_ c -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
58	57	reximdva 2840	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. B ) /\ b e. B ) -> ( E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
59	58	ralimdva 2806	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. B ) -> ( A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
60	59	ralimdva 2806	. . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( a u. b ) C_ c -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
61	14, 60	mpd 15	. . 3 |- ( ph -> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) )
62		uneq1 3515	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( F ` a ) -> ( x u. y ) = ( ( F ` a ) u. y ) )
63	62	sseq1d 3395	. . . . . . . 8 |- ( x = ( F ` a ) -> ( ( x u. y ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
64	63	rexbidv 2748	. . . . . . 7 |- ( x = ( F ` a ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
65	64	ralbidv 2747	. . . . . 6 |- ( x = ( F ` a ) -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
66	65	ralima 5969	. . . . 5 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
67	8, 9, 66	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z ) )
68		uneq2 3516	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( F ` a ) u. y ) = ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) )
69	68	sseq1d 3395	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` b ) -> ( ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
70	69	rexbidv 2748	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` b ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
71	70	ralima 5969	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
72	8, 9, 71	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z ) )
73		sseq2 3390	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( F ` c ) -> ( ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
74	73	rexima 5968	. . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ~P A /\ B C_ ~P A ) -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
75	8, 9, 74	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
76	75	ralbidv 2747	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. b e. B E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ z <-> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
77	72, 76	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
78	77	ralbidv 2747	. . . 4 |- ( ph -> ( A. a e. B A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( ( F ` a ) u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
79	67, 78	bitrd 253	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z <-> A. a e. B A. b e. B E. c e. B ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` c ) ) )
80	61, 79	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z )
81		isipodrs 15343	. 2 |- ( (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset <-> ( ( F " B ) e. _V /\ ( F " B ) =/= (/) /\ A. x e. ( F " B ) A. y e. ( F " B ) E. z e. ( F " B ) ( x u. y ) C_ z ) )
82	3, 13, 80, 81	syl3anbrc 1172	1 |- ( ph -> (toInc ` ( F " B ) ) e. Dirset )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   _Vcvv 2984   u. cun 3338   C_ wss 3340   (/)c0 3649   ~Pcpw 3872   "cima 4855   Fn wfn 5425   ` cfv 5430  Dirsetcdrs 15109  toInccipo 15333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ocomp 14271  df-preset 15110  df-drs 15111  df-poset 15128  df-ipo 15334

This theorem is referenced by:  isacs4lem  15350  isnacs3  29058