MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipodrsfi Structured version   Unicode version

Theorem ipodrsfi 15666
Description: Finite upper bound property for directed collections of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ipodrsfi  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  A  U. X  C_  z )
Distinct variable groups:    z, A    z, X

Proof of Theorem ipodrsfi
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 997 . . . 4  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  X  C_  A
)
2 ipodrscl 15665 . . . . . 6  |-  ( (toInc `  A )  e. Dirset  ->  A  e.  _V )
3 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (toInc `  A )  =  (toInc `  A )
43ipobas 15658 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  A  =  ( Base `  (toInc `  A ) ) )
52, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( (toInc `  A )  e. Dirset  ->  A  =  ( Base `  (toInc `  A ) ) )
653ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  A  =  (
Base `  (toInc `  A
) ) )
71, 6sseqtrd 3545 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  X  C_  ( Base `  (toInc `  A
) ) )
8 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  (toInc `  A )
)  =  ( Base `  (toInc `  A )
)
9 eqid 2467 . . . 4  |-  ( le
`  (toInc `  A
) )  =  ( le `  (toInc `  A ) )
108, 9drsdirfi 15441 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  ( Base `  (toInc `  A
) )  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ( Base `  (toInc `  A ) ) A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z )
117, 10syld3an2 1275 . 2  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  (
Base `  (toInc `  A
) ) A. w  e.  X  w ( le `  (toInc `  A
) ) z )
126rexeqdv 3070 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  A  A. w  e.  X  w ( le `  (toInc `  A
) ) z  <->  E. z  e.  ( Base `  (toInc `  A ) ) A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z ) )
1323ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  A  e.  _V )
1413adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  ->  A  e.  _V )
151sselda 3509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  w  e.  X
)  ->  w  e.  A )
1615adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  ->  w  e.  A )
17 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  -> 
z  e.  A )
183, 9ipole 15661 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  w  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( w ( le
`  (toInc `  A
) ) z  <->  w  C_  z
) )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  -> 
( w ( le
`  (toInc `  A
) ) z  <->  w  C_  z
) )
2019anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e. 
Fin )  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  X )  ->  (
w ( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  w  C_  z ) )
2120ralbidva 2903 . . . . 5  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  z  e.  A
)  ->  ( A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  A. w  e.  X  w  C_  z ) )
22 unissb 4283 . . . . 5  |-  ( U. X  C_  z  <->  A. w  e.  X  w  C_  z
)
2321, 22syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  z  e.  A
)  ->  ( A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  U. X  C_  z ) )
2423rexbidva 2975 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  A  A. w  e.  X  w ( le `  (toInc `  A
) ) z  <->  E. z  e.  A  U. X  C_  z ) )
2512, 24bitr3d 255 . 2  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  ( Base `  (toInc `  A ) ) A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  E. z  e.  A  U. X  C_  z ) )
2611, 25mpbid 210 1  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  A  U. X  C_  z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   U.cuni 4251   class class class wbr 4453   ` cfv 5594   Fincfn 7528   Basecbs 14506   lecple 14578  Dirsetcdrs 15430  toInccipo 15654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14508  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-tset 14590  df-ple 14591  df-ocomp 14592  df-preset 15431  df-drs 15432  df-poset 15449  df-ipo 15655
This theorem is referenced by:  isacs3lem  15669  isnacs3  30576
  Copyright terms: Public domain W3C validator