MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipodrsfi Structured version   Unicode version

Theorem ipodrsfi 15345
Description: Finite upper bound property for directed collections of sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ipodrsfi  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  A  U. X  C_  z )
Distinct variable groups:    z, A    z, X

Proof of Theorem ipodrsfi
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  X  C_  A
)
2 ipodrscl 15344 . . . . . 6  |-  ( (toInc `  A )  e. Dirset  ->  A  e.  _V )
3 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (toInc `  A )  =  (toInc `  A )
43ipobas 15337 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  A  =  ( Base `  (toInc `  A ) ) )
52, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( (toInc `  A )  e. Dirset  ->  A  =  ( Base `  (toInc `  A ) ) )
653ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  A  =  (
Base `  (toInc `  A
) ) )
71, 6sseqtrd 3404 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  X  C_  ( Base `  (toInc `  A
) ) )
8 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base `  (toInc `  A )
)  =  ( Base `  (toInc `  A )
)
9 eqid 2443 . . . 4  |-  ( le
`  (toInc `  A
) )  =  ( le `  (toInc `  A ) )
108, 9drsdirfi 15120 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  ( Base `  (toInc `  A
) )  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  ( Base `  (toInc `  A ) ) A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z )
117, 10syld3an2 1265 . 2  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  (
Base `  (toInc `  A
) ) A. w  e.  X  w ( le `  (toInc `  A
) ) z )
126rexeqdv 2936 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  A  A. w  e.  X  w ( le `  (toInc `  A
) ) z  <->  E. z  e.  ( Base `  (toInc `  A ) ) A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z ) )
1323ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  A  e.  _V )
1413adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  ->  A  e.  _V )
151sselda 3368 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  w  e.  X
)  ->  w  e.  A )
1615adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  ->  w  e.  A )
17 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  -> 
z  e.  A )
183, 9ipole 15340 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  _V  /\  w  e.  A  /\  z  e.  A )  ->  ( w ( le
`  (toInc `  A
) ) z  <->  w  C_  z
) )
1914, 16, 17, 18syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  ( z  e.  A  /\  w  e.  X ) )  -> 
( w ( le
`  (toInc `  A
) ) z  <->  w  C_  z
) )
2019anassrs 648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e. 
Fin )  /\  z  e.  A )  /\  w  e.  X )  ->  (
w ( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  w  C_  z ) )
2120ralbidva 2743 . . . . 5  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  z  e.  A
)  ->  ( A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  A. w  e.  X  w  C_  z ) )
22 unissb 4135 . . . . 5  |-  ( U. X  C_  z  <->  A. w  e.  X  w  C_  z
)
2321, 22syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( ( (toInc `  A
)  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  /\  z  e.  A
)  ->  ( A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  U. X  C_  z ) )
2423rexbidva 2744 . . 3  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  A  A. w  e.  X  w ( le `  (toInc `  A
) ) z  <->  E. z  e.  A  U. X  C_  z ) )
2512, 24bitr3d 255 . 2  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( E. z  e.  ( Base `  (toInc `  A ) ) A. w  e.  X  w
( le `  (toInc `  A ) ) z  <->  E. z  e.  A  U. X  C_  z ) )
2611, 25mpbid 210 1  |-  ( ( (toInc `  A )  e. Dirset  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  E. z  e.  A  U. X  C_  z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   _Vcvv 2984    C_ wss 3340   U.cuni 4103   class class class wbr 4304   ` cfv 5430   Fincfn 7322   Basecbs 14186   lecple 14257  Dirsetcdrs 15109  toInccipo 15333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ocomp 14271  df-preset 15110  df-drs 15111  df-poset 15128  df-ipo 15334
This theorem is referenced by:  isacs3lem  15348  isnacs3  29058
  Copyright terms: Public domain W3C validator