MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipidsq Unicode version

Theorem ipidsq 21116
Description: The inner product of a vector with itself is the square of the vector's norm. Equation I4 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipid.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipid.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
ipid.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
Assertion
Ref Expression
ipidsq  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )

Proof of Theorem ipidsq
StepHypRef Expression
1 ipid.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 eqid 2253 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2253 . . . 4  |-  ( .s
OLD `  U )  =  ( .s OLD `  U )
4 ipid.6 . . . 4  |-  N  =  ( normCV `  U )
5 ipid.7 . . . 4  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
61, 2, 3, 4, 5ipval2 21110 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
763anidm23 1246 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
81, 2, 3nv2 21020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) A )  =  ( 2 ( .s OLD `  U
) A ) )
98fveq2d 5381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) A ) )  =  ( N `  ( 2 ( .s
OLD `  U ) A ) ) )
10 2re 9695 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
11 0re 8718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
12 2pos 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  2
1311, 10, 12ltleii 8821 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  2
1410, 13pm3.2i 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )
151, 3, 4nvsge0 21059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  (
2 ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A ) ) )
1614, 15mp3an2 1270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( 2
( .s OLD `  U
) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A
) ) )
179, 16eqtrd 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A
) ) )
1817oveq1d 5725 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  ( N `  A ) ) ^
2 ) )
191, 4nvcl 21055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
2019recnd 8741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  CC )
21 2cn 9696 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
22 2nn0 9861 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
23 mulexp 11019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( N `  A )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2421, 22, 23mp3an13 1273 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2520, 24syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
26 sq2 11077 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
2726oveq1i 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )  =  ( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )
2825, 27syl6eq 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2918, 28eqtrd 2285 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
30 eqid 2253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
311, 2, 3, 30nvrinv 21041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( 0vec `  U ) )
3231fveq2d 5381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .s OLD `  U
) A ) ) )  =  ( N `
 ( 0vec `  U
) ) )
3330, 4nvz0 21064 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( 0vec `  U )
)  =  0 )
3433adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( 0vec `  U ) )  =  0 )
3532, 34eqtrd 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .s OLD `  U
) A ) ) )  =  0 )
3635oveq1d 5725 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .s OLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
37 sq0 11073 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
3836, 37syl6eq 2301 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .s OLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  =  0 )
3929, 38oveq12d 5728 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  -  0 ) )
40 4cn 9700 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
4120sqcld 11121 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
42 mulcl 8701 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4340, 41, 42sylancr 647 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4443subid1d 9026 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  -  0 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
4539, 44eqtrd 2285 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( N `
 A ) ^
2 ) ) )
46 1re 8717 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
4746renegcli 8988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  RR
48 absreim 11655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  -u 1  e.  RR )  ->  ( abs `  (
1  +  ( _i  x.  -u 1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  (
-u 1 ^ 2 ) ) ) )
4946, 47, 48mp2an 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1
) ) )  =  ( sqr `  (
( 1 ^ 2 )  +  ( -u
1 ^ 2 ) ) )
50 ax-icn 8676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _i  e.  CC
51 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
5250, 51mulneg2i 9106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u ( _i  x.  1 )
5350mulid1i 8719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5453negeqi 8925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u (
_i  x.  1 )  =  -u _i
5552, 54eqtri 2273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u _i
5655oveq2i 5721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1 ) )  =  ( 1  +  -u _i )
5756fveq2i 5380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1
) ) )  =  ( abs `  (
1  +  -u _i ) )
58 sqneg 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
5951, 58ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
6059oveq2i 5721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( -u 1 ^ 2 ) )  =  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) )
6160fveq2i 5380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  (
-u 1 ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  (
( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
6249, 57, 613eqtr3i 2281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
63 absreim 11655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( abs `  (
1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) ) )
6446, 46, 63mp2an 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
6553oveq2i 5721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) )  =  ( 1  +  _i )
6665fveq2i 5380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( abs `  ( 1  +  _i ) )
6762, 64, 663eqtr2i 2279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  =  ( abs `  ( 1  +  _i ) )
6867oveq1i 5720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) )  =  ( ( abs `  (
1  +  _i ) )  x.  ( N `
 A ) )
6950negcli 8994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u _i  e.  CC
7051, 69addcli 8721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  -u _i )  e.  CC
711, 3, 4nvs 21058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  +  -u _i )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
7270, 71mp3an2 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
7351, 50addcli 8721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  _i )  e.  CC
741, 3, 4nvs 21058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  +  _i )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .s OLD `  U
) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  _i ) )  x.  ( N `  A )
) )
7573, 74mp3an2 1270 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .s OLD `  U
) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  _i ) )  x.  ( N `  A )
) )
7668, 72, 753eqtr4a 2311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( N `
 ( ( 1  +  _i ) ( .s OLD `  U
) A ) ) )
771, 2, 3nvdir 21019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .s OLD `  U
) A ) ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) )
7851, 77mp3anr1 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .s OLD `  U
) A ) ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) )
7969, 78mpanr1 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .s OLD `  U
) A ) ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) )
801, 3nvsid 21015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
1 ( .s OLD `  U ) A )  =  A )
8180oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1 ( .s
OLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) (
-u _i ( .s
OLD `  U ) A ) )  =  ( A ( +v
`  U ) (
-u _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) )
8279, 81eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A )  =  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) )
8382fveq2d 5381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) )
841, 2, 3nvdir 21019 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( 1  +  _i ) ( .s
OLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .s
OLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) ( _i ( .s OLD `  U ) A ) ) )
8551, 84mp3anr1 1279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
_i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  _i ) ( .s OLD `  U
) A )  =  ( ( 1 ( .s OLD `  U
) A ) ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) )
8650, 85mpanr1 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  _i ) ( .s OLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .s OLD `  U
) A ) ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) )
8780oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1 ( .s
OLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) ( _i ( .s OLD `  U ) A ) )  =  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) )
8886, 87eqtrd 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  _i ) ( .s OLD `  U ) A )  =  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) )
8988fveq2d 5381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .s OLD `  U
) A ) )  =  ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) )
9076, 83, 893eqtr3d 2293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) )  =  ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) ) )
9190oveq1d 5725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )
9291oveq2d 5726 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) ) )
931, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 21109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
9450, 93mpan2 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
95943anidm23 1246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
9695subidd 9025 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s
OLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  0 )
9792, 96eqtrd 2285 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  0 )
9897oveq2d 5726 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
9950mul01i 8882 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
10098, 99syl6eq 2301 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  0 )
10145, 100oveq12d 5728 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) A ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .s OLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  +  0 ) )
10243addid1d 8892 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  +  0 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
103101, 102eqtr2d 2286 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
104103oveq1d 5725 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .s OLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
105 4re 9699 . . . . 5  |-  4  e.  RR
106 4pos 9712 . . . . 5  |-  0  <  4
107105, 106gt0ne0ii 9189 . . . 4  |-  4  =/=  0
108 divcan3 9328 . . . 4  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC  /\  4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
10940, 107, 108mp3an23 1274 . . 3  |-  ( ( ( N `  A
) ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
11041, 109syl 17 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
1117, 104, 1103eqtr2d 2291 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618   _ici 8619    + caddc 8620    x. cmul 8622    <_ cle 8748    - cmin 8917   -ucneg 8918    / cdiv 9303   2c2 9675   4c4 9677   NN0cn0 9844   ^cexp 10982   sqrcsqr 11595   abscabs 11596   NrmCVeccnv 20970   +vcpv 20971   BaseSetcba 20972   .s
OLDcns 20973   0veccn0v 20974   normCVcnmcv 20976   .i OLDcdip 21103
This theorem is referenced by:  ipnm  21117  ipz  21125  pythi  21258  siilem1  21259  hlipgt0  21323  htthlem  21327
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-sum 12036  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-ablo 20779  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-nmcv 20986  df-dip 21104
  Copyright terms: Public domain W3C validator