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Theorem ipidsq 24130
Description: The inner product of a vector with itself is the square of the vector's norm. Equation I4 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipid.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipid.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
ipid.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
ipidsq  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )

Proof of Theorem ipidsq
StepHypRef Expression
1 ipid.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2443 . . . 4  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
4 ipid.6 . . . 4  |-  N  =  ( normCV `  U )
5 ipid.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
61, 2, 3, 4, 5ipval2 24124 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
763anidm23 1277 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
81, 2, 3nv2 24034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) A )  =  ( 2 ( .sOLD `  U
) A ) )
98fveq2d 5716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) A ) )  =  ( N `  ( 2 ( .sOLD `  U ) A ) ) )
10 2re 10412 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
11 0le2 10433 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  2
1210, 11pm3.2i 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )
131, 3, 4nvsge0 24073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  (
2 ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A ) ) )
1412, 13mp3an2 1302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( 2
( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A ) ) )
159, 14eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A
) ) )
1615oveq1d 6127 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  ( N `  A ) ) ^
2 ) )
171, 4nvcl 24069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
1817recnd 9433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  CC )
19 2cn 10413 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
20 2nn0 10617 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
21 mulexp 11924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( N `  A )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2219, 20, 21mp3an13 1305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2318, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
24 sq2 11983 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
2524oveq1i 6122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )  =  ( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )
2623, 25syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2716, 26eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
28 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
291, 2, 3, 28nvrinv 24055 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( 0vec `  U ) )
3029fveq2d 5716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  ( N `  ( 0vec `  U ) ) )
3128, 4nvz0 24078 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( 0vec `  U )
)  =  0 )
3231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( 0vec `  U ) )  =  0 )
3330, 32eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  0 )
3433sq0id 11980 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  =  0 )
3527, 34oveq12d 6130 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  -  0 ) )
36 4cn 10420 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
3718sqcld 12027 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
38 mulcl 9387 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
3936, 37, 38sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4039subid1d 9729 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  -  0 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
4135, 40eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( N `
 A ) ^
2 ) ) )
42 1re 9406 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
43 neg1rr 10447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  RR
44 absreim 12803 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  -u 1  e.  RR )  ->  ( abs `  (
1  +  ( _i  x.  -u 1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  (
-u 1 ^ 2 ) ) ) )
4542, 43, 44mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1
) ) )  =  ( sqr `  (
( 1 ^ 2 )  +  ( -u
1 ^ 2 ) ) )
46 ax-icn 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _i  e.  CC
47 ax-1cn 9361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
4846, 47mulneg2i 9812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u ( _i  x.  1 )
4946mulid1i 9409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5049negeqi 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u (
_i  x.  1 )  =  -u _i
5148, 50eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u _i
5251oveq2i 6123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1 ) )  =  ( 1  +  -u _i )
5352fveq2i 5715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1
) ) )  =  ( abs `  (
1  +  -u _i ) )
54 sqneg 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
5547, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
5655oveq2i 6123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( -u 1 ^ 2 ) )  =  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) )
5756fveq2i 5715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  (
-u 1 ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  (
( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
5845, 53, 573eqtr3i 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
59 absreim 12803 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( abs `  (
1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) ) )
6042, 42, 59mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
6149oveq2i 6123 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) )  =  ( 1  +  _i )
6261fveq2i 5715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( abs `  ( 1  +  _i ) )
6358, 60, 623eqtr2i 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  =  ( abs `  ( 1  +  _i ) )
6463oveq1i 6122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) )  =  ( ( abs `  (
1  +  _i ) )  x.  ( N `
 A ) )
65 negicn 9632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u _i  e.  CC
6647, 65addcli 9411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  -u _i )  e.  CC
671, 3, 4nvs 24072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  +  -u _i )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
6866, 67mp3an2 1302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
6947, 46addcli 9411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  _i )  e.  CC
701, 3, 4nvs 24072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  +  _i )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
7169, 70mp3an2 1302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
7264, 68, 713eqtr4a 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( N `
 ( ( 1  +  _i ) ( .sOLD `  U
) A ) ) )
731, 2, 3nvdir 24033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
7447, 73mp3anr1 1311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
7565, 74mpanr1 683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
761, 3nvsid 24029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
1 ( .sOLD `  U ) A )  =  A )
7776oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) (
-u _i ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( A ( +v
`  U ) (
-u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )
7875, 77eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
7978fveq2d 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) )
801, 2, 3nvdir 24033 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( 1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )
8147, 80mp3anr1 1311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
_i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
8246, 81mpanr1 683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
8376oveq1d 6127 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
8482, 83eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )
8584fveq2d 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
8672, 79, 853eqtr3d 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )  =  ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
8786oveq1d 6127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )
8887oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) )
891, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 24123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
9046, 89mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
91903anidm23 1277 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
9291subidd 9728 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  0 )
9388, 92eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  0 )
9493oveq2d 6128 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
95 it0e0 10568 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
9694, 95syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  0 )
9741, 96oveq12d 6130 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) A ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  +  0 ) )
9839addid1d 9590 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  +  0 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
9997, 98eqtr2d 2476 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
10099oveq1d 6127 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
101 4ne0 10439 . . . 4  |-  4  =/=  0
102 divcan3 10039 . . . 4  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC  /\  4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
10336, 101, 102mp3an23 1306 . . 3  |-  ( ( ( N `  A
) ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
10437, 103syl 16 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
1057, 100, 1043eqtr2d 2481 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304   _ici 9305    + caddc 9306    x. cmul 9308    <_ cle 9440    - cmin 9616   -ucneg 9617    / cdiv 10014   2c2 10392   4c4 10394   NN0cn0 10600   ^cexp 11886   sqrcsqr 12743   abscabs 12744   NrmCVeccnv 23984   +vcpv 23985   BaseSetcba 23986   .sOLDcns 23987   0veccn0v 23988   normCVcnmcv 23990   .iOLDcdip 24117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185  df-grpo 23700  df-gid 23701  df-ginv 23702  df-ablo 23791  df-vc 23946  df-nv 23992  df-va 23995  df-ba 23996  df-sm 23997  df-0v 23998  df-nmcv 24000  df-dip 24118
This theorem is referenced by:  ipnm  24131  ipz  24139  pythi  24272  siilem1  24273  hlipgt0  24337  htthlem  24341
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