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Theorem ipidsq 25454
Description: The inner product of a vector with itself is the square of the vector's norm. Equation I4 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipid.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipid.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
ipid.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
ipidsq  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )

Proof of Theorem ipidsq
StepHypRef Expression
1 ipid.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
4 ipid.6 . . . 4  |-  N  =  ( normCV `  U )
5 ipid.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
61, 2, 3, 4, 5ipval2 25448 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
763anidm23 1287 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
81, 2, 3nv2 25358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) A )  =  ( 2 ( .sOLD `  U
) A ) )
98fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) A ) )  =  ( N `  ( 2 ( .sOLD `  U ) A ) ) )
10 2re 10617 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
11 0le2 10638 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  2
1210, 11pm3.2i 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )
131, 3, 4nvsge0 25397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  (
2 ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A ) ) )
1412, 13mp3an2 1312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( 2
( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A ) ) )
159, 14eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A
) ) )
1615oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  ( N `  A ) ) ^
2 ) )
171, 4nvcl 25393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
1817recnd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  CC )
19 2cn 10618 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
20 2nn0 10824 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
21 mulexp 12185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( N `  A )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2219, 20, 21mp3an13 1315 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2318, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
24 sq2 12244 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
2524oveq1i 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )  =  ( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )
2623, 25syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2716, 26eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
28 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
291, 2, 3, 28nvrinv 25379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( 0vec `  U ) )
3029fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  ( N `  ( 0vec `  U ) ) )
3128, 4nvz0 25402 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( 0vec `  U )
)  =  0 )
3231adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( 0vec `  U ) )  =  0 )
3330, 32eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  0 )
3433sq0id 12241 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  =  0 )
3527, 34oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  -  0 ) )
36 4cn 10625 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
3718sqcld 12288 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
38 mulcl 9588 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
3936, 37, 38sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4039subid1d 9931 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  -  0 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
4135, 40eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( N `
 A ) ^
2 ) ) )
42 1re 9607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
43 neg1rr 10652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  RR
44 absreim 13105 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  -u 1  e.  RR )  ->  ( abs `  (
1  +  ( _i  x.  -u 1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  (
-u 1 ^ 2 ) ) ) )
4542, 43, 44mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1
) ) )  =  ( sqr `  (
( 1 ^ 2 )  +  ( -u
1 ^ 2 ) ) )
46 ax-icn 9563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _i  e.  CC
47 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
4846, 47mulneg2i 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u ( _i  x.  1 )
4946mulid1i 9610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5049negeqi 9825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u (
_i  x.  1 )  =  -u _i
5148, 50eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u _i
5251oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1 ) )  =  ( 1  +  -u _i )
5352fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1
) ) )  =  ( abs `  (
1  +  -u _i ) )
54 sqneg 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
5547, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
5655oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( -u 1 ^ 2 ) )  =  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) )
5756fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  (
-u 1 ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  (
( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
5845, 53, 573eqtr3i 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
59 absreim 13105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( abs `  (
1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) ) )
6042, 42, 59mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
6149oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) )  =  ( 1  +  _i )
6261fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( abs `  ( 1  +  _i ) )
6358, 60, 623eqtr2i 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  =  ( abs `  ( 1  +  _i ) )
6463oveq1i 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) )  =  ( ( abs `  (
1  +  _i ) )  x.  ( N `
 A ) )
65 negicn 9833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u _i  e.  CC
6647, 65addcli 9612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  -u _i )  e.  CC
671, 3, 4nvs 25396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  +  -u _i )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
6866, 67mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
6947, 46addcli 9612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  _i )  e.  CC
701, 3, 4nvs 25396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  +  _i )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
7169, 70mp3an2 1312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
7264, 68, 713eqtr4a 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( N `
 ( ( 1  +  _i ) ( .sOLD `  U
) A ) ) )
731, 2, 3nvdir 25357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
7447, 73mp3anr1 1321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
7565, 74mpanr1 683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
761, 3nvsid 25353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
1 ( .sOLD `  U ) A )  =  A )
7776oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) (
-u _i ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( A ( +v
`  U ) (
-u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )
7875, 77eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
7978fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) )
801, 2, 3nvdir 25357 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( 1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )
8147, 80mp3anr1 1321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
_i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
8246, 81mpanr1 683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
8376oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
8482, 83eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )
8584fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
8672, 79, 853eqtr3d 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )  =  ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
8786oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )
8887oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) )
891, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 25447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
9046, 89mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
91903anidm23 1287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
9291subidd 9930 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  0 )
9388, 92eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  0 )
9493oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
95 it0e0 10773 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
9694, 95syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  0 )
9741, 96oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) A ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  +  0 ) )
9839addid1d 9791 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  +  0 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
9997, 98eqtr2d 2509 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
10099oveq1d 6310 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
101 4ne0 10644 . . . 4  |-  4  =/=  0
102 divcan3 10243 . . . 4  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC  /\  4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
10336, 101, 102mp3an23 1316 . . 3  |-  ( ( ( N `  A
) ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
10437, 103syl 16 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
1057, 100, 1043eqtr2d 2514 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505   _ici 9506    + caddc 9507    x. cmul 9509    <_ cle 9641    - cmin 9817   -ucneg 9818    / cdiv 10218   2c2 10597   4c4 10599   NN0cn0 10807   ^cexp 12146   sqrcsqrt 13045   abscabs 13046   NrmCVeccnv 25308   +vcpv 25309   BaseSetcba 25310   .sOLDcns 25311   0veccn0v 25312   normCVcnmcv 25314   .iOLDcdip 25441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-grpo 25024  df-gid 25025  df-ginv 25026  df-ablo 25115  df-vc 25270  df-nv 25316  df-va 25319  df-ba 25320  df-sm 25321  df-0v 25322  df-nmcv 25324  df-dip 25442
This theorem is referenced by:  ipnm  25455  ipz  25463  pythi  25596  siilem1  25597  hlipgt0  25661  htthlem  25665
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