MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipidsq Structured version   Unicode version

Theorem ipidsq 26235
Description: The inner product of a vector with itself is the square of the vector's norm. Equation I4 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipid.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipid.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
ipid.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
Assertion
Ref Expression
ipidsq  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )

Proof of Theorem ipidsq
StepHypRef Expression
1 ipid.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 eqid 2420 . . . 4  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
3 eqid 2420 . . . 4  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
4 ipid.6 . . . 4  |-  N  =  ( normCV `  U )
5 ipid.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
61, 2, 3, 4, 5ipval2 26229 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
763anidm23 1323 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
81, 2, 3nv2 26139 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) A )  =  ( 2 ( .sOLD `  U
) A ) )
98fveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) A ) )  =  ( N `  ( 2 ( .sOLD `  U ) A ) ) )
10 2re 10668 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
11 0le2 10689 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  2
1210, 11pm3.2i 456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <_  2 )
131, 3, 4nvsge0 26178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <_  2 )  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  (
2 ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A ) ) )
1412, 13mp3an2 1348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( 2
( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A ) ) )
159, 14eqtrd 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) A ) )  =  ( 2  x.  ( N `  A
) ) )
1615oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  =  ( ( 2  x.  ( N `  A ) ) ^
2 ) )
171, 4nvcl 26174 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
1817recnd 9658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  A )  e.  CC )
19 2cn 10669 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
20 2nn0 10875 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  NN0
21 mulexp 12297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( N `  A )  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2219, 20, 21mp3an13 1351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2318, 22syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
24 sq2 12357 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
2524oveq1i 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ 2 )  x.  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )  =  ( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )
2623, 25syl6eq 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 2  x.  ( N `  A )
) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
2716, 26eqtrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
28 eqid 2420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
291, 2, 3, 28nvrinv 26160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( 0vec `  U ) )
3029fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  ( N `  ( 0vec `  U ) ) )
3128, 4nvz0 26183 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( N `  ( 0vec `  U )
)  =  0 )
3231adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( 0vec `  U ) )  =  0 )
3330, 32eqtrd 2461 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u 1
( .sOLD `  U ) A ) ) )  =  0 )
3433sq0id 12354 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  =  0 )
3527, 34oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  -  0 ) )
36 4cn 10676 . . . . . . . 8  |-  4  e.  CC
3718sqcld 12400 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  A
) ^ 2 )  e.  CC )
38 mulcl 9612 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  CC  /\  ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
3936, 37, 38sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  e.  CC )
4039subid1d 9964 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  -  0 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
4135, 40eqtrd 2461 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( 4  x.  ( ( N `
 A ) ^
2 ) ) )
42 1re 9631 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  RR
43 neg1rr 10703 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 1  e.  RR
44 absreim 13324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  -u 1  e.  RR )  ->  ( abs `  (
1  +  ( _i  x.  -u 1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  (
-u 1 ^ 2 ) ) ) )
4542, 43, 44mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1
) ) )  =  ( sqr `  (
( 1 ^ 2 )  +  ( -u
1 ^ 2 ) ) )
46 ax-icn 9587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  _i  e.  CC
47 ax-1cn 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  CC
4846, 47mulneg2i 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u ( _i  x.  1 )
4946mulid1i 9634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( _i  x.  1 )  =  _i
5049negeqi 9857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  -u (
_i  x.  1 )  =  -u _i
5148, 50eqtri 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( _i  x.  -u 1 )  = 
-u _i
5251oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1 ) )  =  ( 1  +  -u _i )
5352fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  -u 1
) ) )  =  ( abs `  (
1  +  -u _i ) )
54 sqneg 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1  e.  CC  ->  ( -u 1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
5547, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u
1 ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )
5655oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( -u 1 ^ 2 ) )  =  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) )
5756fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  (
-u 1 ^ 2 ) ) )  =  ( sqr `  (
( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
5845, 53, 573eqtr3i 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
59 absreim 13324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( abs `  (
1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) ) )
6042, 42, 59mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( sqr `  ( ( 1 ^ 2 )  +  ( 1 ^ 2 ) ) )
6149oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) )  =  ( 1  +  _i )
6261fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  ( 1  +  ( _i  x.  1 ) ) )  =  ( abs `  ( 1  +  _i ) )
6358, 60, 623eqtr2i 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  =  ( abs `  ( 1  +  _i ) )
6463oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) )  =  ( ( abs `  (
1  +  _i ) )  x.  ( N `
 A ) )
65 negicn 9865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u _i  e.  CC
6647, 65addcli 9636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  -u _i )  e.  CC
671, 3, 4nvs 26177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  +  -u _i )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
6866, 67mp3an2 1348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  -u _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
6947, 46addcli 9636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  _i )  e.  CC
701, 3, 4nvs 26177 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  +  _i )  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
7169, 70mp3an2 1348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( ( abs `  ( 1  +  _i ) )  x.  ( N `  A ) ) )
7264, 68, 713eqtr4a 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( N `
 ( ( 1  +  _i ) ( .sOLD `  U
) A ) ) )
731, 2, 3nvdir 26138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  e.  CC  /\  -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
7447, 73mp3anr1 1357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u _i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
7565, 74mpanr1 687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
761, 3nvsid 26134 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
1 ( .sOLD `  U ) A )  =  A )
7776oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) (
-u _i ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( A ( +v
`  U ) (
-u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )
7875, 77eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
7978fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  -u _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) )
801, 2, 3nvdir 26138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( 1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )
8147, 80mp3anr1 1357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
_i  e.  CC  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
8246, 81mpanr1 687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( ( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
8376oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1 ( .sOLD `  U ) A ) ( +v
`  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )
8482, 83eqtrd 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A )  =  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) )
8584fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( (
1  +  _i ) ( .sOLD `  U ) A ) )  =  ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
8672, 79, 853eqtr3d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( N `  ( A
( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) )  =  ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) )
8786oveq1d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )
8887oveq2d 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) )
891, 2, 3, 4, 5ipval2lem4 26228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  /\  _i  e.  CC )  ->  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
9046, 89mpan2 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
91903anidm23 1323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
9291subidd 9963 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  0 )
9388, 92eqtrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  =  0 )
9493oveq2d 6312 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( _i  x.  0 ) )
95 it0e0 10824 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
9694, 95syl6eq 2477 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  0 )
9741, 96oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) A ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A ( +v `  U ) ( -u
1 ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) ( _i ( .sOLD `  U ) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  +  0 ) )
9839addid1d 9822 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  +  0 )  =  ( 4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) ) )
9997, 98eqtr2d 2462 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
10099oveq1d 6311 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( ( ( ( N `  ( A ( +v `  U ) A ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u 1 ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A ( +v `  U
) ( _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A ( +v `  U ) ( -u _i ( .sOLD `  U
) A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  / 
4 ) )
101 4ne0 10695 . . . 4  |-  4  =/=  0
102 divcan3 10283 . . . 4  |-  ( ( ( ( N `  A ) ^ 2 )  e.  CC  /\  4  e.  CC  /\  4  =/=  0 )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
10336, 101, 102mp3an23 1352 . . 3  |-  ( ( ( N `  A
) ^ 2 )  e.  CC  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
10437, 103syl 17 . 2  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( 4  x.  (
( N `  A
) ^ 2 ) )  /  4 )  =  ( ( N `
 A ) ^
2 ) )
1057, 100, 1043eqtr2d 2467 1  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A P A )  =  ( ( N `  A ) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529   _ici 9530    + caddc 9531    x. cmul 9533    <_ cle 9665    - cmin 9849   -ucneg 9850    / cdiv 10258   2c2 10648   4c4 10650   NN0cn0 10858   ^cexp 12258   sqrcsqrt 13264   abscabs 13265   NrmCVeccnv 26089   +vcpv 26090   BaseSetcba 26091   .sOLDcns 26092   0veccn0v 26093   normCVcnmcv 26095   .iOLDcdip 26222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-clim 13519  df-sum 13720  df-grpo 25805  df-gid 25806  df-ginv 25807  df-ablo 25896  df-vc 26051  df-nv 26097  df-va 26100  df-ba 26101  df-sm 26102  df-0v 26103  df-nmcv 26105  df-dip 26223
This theorem is referenced by:  ipnm  26236  ipz  26244  pythi  26377  siilem1  26378  hlipgt0  26442  htthlem  26446
  Copyright terms: Public domain W3C validator