Theorem ipid 9702

Description: The inner product of a vector with itself is the square of the vector's norm. Equation I4 of [Ponnusamy] p. 362.

Hypotheses

Ref	Expression
ipid.1	|- X = (BaseSet` U)
ipid.6	|- N = (norm` U)
ipid.7	|- P = (.i` U)

Assertion

Ref	Expression
ipid	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (APA) = ((N` A)^2))

Proof of Theorem ipid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipid.1	. . . 4 |- X = (BaseSet` U)
2		eqid 1884	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
3		eqid 1884	. . . 4 |- (.s` U) = (.s` U)
4		ipid.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
5		ipid.7	. . . 4 |- P = (.i` U)
6	1, 2, 3, 4, 5	ipval2 9696	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A e. X) -> (APA) = (((((N` (A(+v` U)A))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))^2)) + (_i x. (((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))^2)))) / 4))
7	6	3anidm23 1156	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (APA) = (((((N` (A(+v` U)A))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))^2)) + (_i x. (((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))^2)))) / 4))
8	2	vafval 9554	. . . . . . . . . . . . 13 |- (+v` U) = (1st` (1st` U))
9	3	smfval 9556	. . . . . . . . . . . . 13 |- (.s` U) = (2nd` (1st` U))
10	1, 2	bafval 9555	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ran (+v` U)
11	8, 9, 10	vc2 9506	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1st` U) e. CVec /\ A e. X) -> (A(+v` U)A) = (2(.s` U)A))
12		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . 13 |- (1st` U) = (1st` U)
13	12	nvvc 9566	. . . . . . . . . . . 12 |- (U e. NrmCVec -> (1st` U) e. CVec)
14	11, 13	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A(+v` U)A) = (2(.s` U)A))
15	14	fveq2d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (A(+v` U)A)) = (N` (2(.s` U)A)))
16		2nn 7183	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
17	16	nnrei 7114	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
18		0re 6603	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
19		2re 7163	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
20		2pos 7173	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 2
21	18, 19, 20	ltleii 6756	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 2
22	17, 21	pm3.2i 307	. . . . . . . . . . 11 |- (2 e. RR /\ 0 <_ 2)
23	1, 3, 4	nvsge0 9623	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ (2 e. RR /\ 0 <_ 2) /\ A e. X) -> (N` (2(.s` U)A)) = (2 x. (N` A)))
24	22, 23	mp3an2 1179	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (2(.s` U)A)) = (2 x. (N` A)))
25	15, 24	eqtrd 1925	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (A(+v` U)A)) = (2 x. (N` A)))
26	25	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` (A(+v` U)A))^2) = ((2 x. (N` A))^2))
27	1, 4	nvcl 9619	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. RR)
28	27	recnd 6468	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` A) e. CC)
29		2cn 7164	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
30		2nn0 7324	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
31		mulexp 7836	. . . . . . . . . 10 |- ((2 e. CC /\ (N` A) e. CC /\ 2 e. NN0) -> ((2 x. (N` A))^2) = ((2^2) x. ((N` A)^2)))
32	29, 30, 31	mp3an13 1182	. . . . . . . . 9 |- ((N` A) e. CC -> ((2 x. (N` A))^2) = ((2^2) x. ((N` A)^2)))
33	28, 32	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((2 x. (N` A))^2) = ((2^2) x. ((N` A)^2)))
34		sq2 7883	. . . . . . . . . 10 |- (2^2) = 4
35	34	opreq1i 4892	. . . . . . . . 9 |- ((2^2) x. ((N` A)^2)) = (4 x. ((N` A)^2))
36	35	a1i 8	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((2^2) x. ((N` A)^2)) = (4 x. ((N` A)^2)))
37	26, 33, 36	3eqtrd 1929	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` (A(+v` U)A))^2) = (4 x. ((N` A)^2)))
38		eqid 1884	. . . . . . . . . . . 12 |- (0v` U) = (0v` U)
39	1, 2, 3, 38	nvrinv 9605	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)) = (0v` U))
40	39	fveq2d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A))) = (N` (0v` U)))
41	38, 4	nvz0 9628	. . . . . . . . . . 11 |- (U e. NrmCVec -> (N` (0v` U)) = 0)
42	41	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (0v` U)) = 0)
43	40, 42	eqtrd 1925	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A))) = 0)
44	43	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))^2) = (0^2))
45		sq0 7880	. . . . . . . 8 |- (0^2) = 0
46	44, 45	syl6eq 1944	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))^2) = 0)
47	37, 46	opreq12d 4900	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (((N` (A(+v` U)A))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))^2)) = ((4 x. ((N` A)^2)) - 0))
48		sqcl 7856	. . . . . . . . 9 |- ((N` A) e. CC -> ((N` A)^2) e. CC)
49	28, 48	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` A)^2) e. CC)
50		4re 7166	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR
51	50	recni 6467	. . . . . . . . 9 |- 4 e. CC
52		mulcl 6456	. . . . . . . . 9 |- ((4 e. CC /\ ((N` A)^2) e. CC) -> (4 x. ((N` A)^2)) e. CC)
53	51, 52	mpan 759	. . . . . . . 8 |- (((N` A)^2) e. CC -> (4 x. ((N` A)^2)) e. CC)
54	49, 53	syl 12	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (4 x. ((N` A)^2)) e. CC)
55		subid1 6556	. . . . . . 7 |- ((4 x. ((N` A)^2)) e. CC -> ((4 x. ((N` A)^2)) - 0) = (4 x. ((N` A)^2)))
56	54, 55	syl 12	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((4 x. ((N` A)^2)) - 0) = (4 x. ((N` A)^2)))
57	47, 56	eqtrd 1925	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (((N` (A(+v` U)A))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))^2)) = (4 x. ((N` A)^2)))
58		1re 6598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR
59	58	renegcli 6576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u1 e. RR
60		absreim 8108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((1 e. RR /\ -u1 e. RR) -> (abs` (1 + (_i x. -u1))) = (sqr` ((1^2) + (-u1^2))))
61	58, 59, 60	mp2an 761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (abs` (1 + (_i x. -u1))) = (sqr` ((1^2) + (-u1^2)))
62		axicn 6423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- _i e. CC
63		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. CC
64	62, 63	mulneg2i 6609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (_i x. -u1) = -u(_i x. 1)
65	62	mulid1i 6485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (_i x. 1) = _i
66	65	negeqi 6515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- -u(_i x. 1) = -u_i
67	64, 66	eqtri 1908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (_i x. -u1) = -u_i
68	67	opreq2i 4893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (1 + (_i x. -u1)) = (1 + -u_i)
69	68	fveq2i 4684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (abs` (1 + (_i x. -u1))) = (abs` (1 + -u_i))
70		sqneg 7855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (1 e. CC -> (-u1^2) = (1^2))
71	63, 70	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (-u1^2) = (1^2)
72	71	opreq2i 4893	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((1^2) + (-u1^2)) = ((1^2) + (1^2))
73	72	fveq2i 4684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (sqr` ((1^2) + (-u1^2))) = (sqr` ((1^2) + (1^2)))
74	61, 69, 73	3eqtr3i 1918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (abs` (1 + -u_i)) = (sqr` ((1^2) + (1^2)))
75		absreim 8108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((1 e. RR /\ 1 e. RR) -> (abs` (1 + (_i x. 1))) = (sqr` ((1^2) + (1^2))))
76	58, 58, 75	mp2an 761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (abs` (1 + (_i x. 1))) = (sqr` ((1^2) + (1^2)))
77	65	opreq2i 4893	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (1 + (_i x. 1)) = (1 + _i)
78	77	fveq2i 4684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (abs` (1 + (_i x. 1))) = (abs` (1 + _i))
79	74, 76, 78	3eqtr2i 1915	. . . . . . . . . . . . 13 |- (abs` (1 + -u_i)) = (abs` (1 + _i))
80	79	opreq1i 4892	. . . . . . . . . . . 12 |- ((abs` (1 + -u_i)) x. (N` A)) = ((abs` (1 + _i)) x. (N` A))
81	62	negcli 6526	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u_i e. CC
82	63, 81	addcli 6473	. . . . . . . . . . . . 13 |- (1 + -u_i) e. CC
83	1, 3, 4	nvs 9622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 + -u_i) e. CC /\ A e. X) -> (N` ((1 + -u_i)(.s` U)A)) = ((abs` (1 + -u_i)) x. (N` A)))
84	82, 83	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` ((1 + -u_i)(.s` U)A)) = ((abs` (1 + -u_i)) x. (N` A)))
85	63, 62	addcli 6473	. . . . . . . . . . . . 13 |- (1 + _i) e. CC
86	1, 3, 4	nvs 9622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 + _i) e. CC /\ A e. X) -> (N` ((1 + _i)(.s` U)A)) = ((abs` (1 + _i)) x. (N` A)))
87	85, 86	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` ((1 + _i)(.s` U)A)) = ((abs` (1 + _i)) x. (N` A)))
88	80, 84, 87	3eqtr4a 1954	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` ((1 + -u_i)(.s` U)A)) = (N` ((1 + _i)(.s` U)A)))
89	1, 2, 3	nvdir 9584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 e. CC /\ -u_i e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + -u_i)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))
90	63, 89	mp3anr1 1188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ (-u_i e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + -u_i)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))
91	81, 90	mpanr1 774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((1 + -u_i)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))
92	1, 3	nvsid 9580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (1(.s` U)A) = A)
93	92	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((1(.s` U)A)(+v` U)(-u_i(.s` U)A)) = (A(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))
94	91, 93	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((1 + -u_i)(.s` U)A) = (A(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))
95	94	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` ((1 + -u_i)(.s` U)A)) = (N` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)A))))
96	1, 2, 3	nvdir 9584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((U e. NrmCVec /\ (1 e. CC /\ _i e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + _i)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(_i(.s` U)A)))
97	63, 96	mp3anr1 1188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((U e. NrmCVec /\ (_i e. CC /\ A e. X)) -> ((1 + _i)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(_i(.s` U)A)))
98	62, 97	mpanr1 774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((1 + _i)(.s` U)A) = ((1(.s` U)A)(+v` U)(_i(.s` U)A)))
99	92	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((1(.s` U)A)(+v` U)(_i(.s` U)A)) = (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))
100	98, 99	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((1 + _i)(.s` U)A) = (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))
101	100	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` ((1 + _i)(.s` U)A)) = (N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A))))
102	88, 95, 101	3eqtr3d 1934	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (N` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)A))) = (N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A))))
103	102	opreq1d 4897	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))^2) = ((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2))
104	103	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))^2)) = (((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) - ((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2)))
105	1, 2, 3, 4, 5	ipval2lem4 9695	. . . . . . . . . . 11 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A e. X) /\ _i e. CC) -> ((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) e. CC)
106	62, 105	mpan2 760	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ A e. X) -> ((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) e. CC)
107	106	3anidm23 1156	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) e. CC)
108		subid 6555	. . . . . . . . 9 |- (((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) e. CC -> (((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) - ((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2)) = 0)
109	107, 108	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) - ((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2)) = 0)
110	104, 109	eqtrd 1925	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))^2)) = 0)
111	110	opreq2d 4898	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (_i x. (((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))^2))) = (_i x. 0))
112	62	mul01i 6594	. . . . . 6 |- (_i x. 0) = 0
113	111, 112	syl6eq 1944	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (_i x. (((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))^2))) = 0)
114	57, 113	opreq12d 4900	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((((N` (A(+v` U)A))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))^2)) + (_i x. (((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))^2)))) = ((4 x. ((N` A)^2)) + 0))
115		addid1 6463	. . . . 5 |- ((4 x. ((N` A)^2)) e. CC -> ((4 x. ((N` A)^2)) + 0) = (4 x. ((N` A)^2)))
116	54, 115	syl 12	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((4 x. ((N` A)^2)) + 0) = (4 x. ((N` A)^2)))
117	114, 116	eqtr2d 1926	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (4 x. ((N` A)^2)) = ((((N` (A(+v` U)A))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))^2)) + (_i x. (((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))^2)))))
118	117	opreq1d 4897	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((4 x. ((N` A)^2)) / 4) = (((((N` (A(+v` U)A))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u1(.s` U)A)))^2)) + (_i x. (((N` (A(+v` U)(_i(.s` U)A)))^2) - ((N` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)A)))^2)))) / 4))
119		4pos 7176	. . . . 5 |- 0 < 4
120	50, 119	gt0ne0ii 6799	. . . 4 |- 4 =/= 0
121		divcan3 6938	. . . 4 |- ((((N` A)^2) e. CC /\ 4 e. CC /\ 4 =/= 0) -> ((4 x. ((N` A)^2)) / 4) = ((N` A)^2))
122	51, 120, 121	mp3an23 1183	. . 3 |- (((N` A)^2) e. CC -> ((4 x. ((N` A)^2)) / 4) = ((N` A)^2))
123	49, 122	syl 12	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((4 x. ((N` A)^2)) / 4) = ((N` A)^2))
124	7, 118, 123	3eqtr2d 1932	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (APA) = ((N` A)^2))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   class class class wbr 3338  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1stc1st 5018  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  -ucneg 6446   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NN0cn0 6450  2c2 7145  4c4 7147  ^cexp 7811  sqrcsqr 7919  abscabs 8000  CVeccvc 9496  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  0vcn0v 9539  normcnm 9541  .icip 9688

This theorem is referenced by:  ipnm 9703  ipz 9711  pythi 9851  siilem1 9852  hlipgt0 9963  htthlem9 9975

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-sum 8240  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-ip 9689

Copyright terms: Public domain