Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipffval Structured version   Unicode version

Theorem ipffval 18981
 Description: The inner product operation as a function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipffval.1
ipffval.2
ipffval.3
Assertion
Ref Expression
ipffval
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem ipffval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipffval.3 . 2
2 fveq2 5849 . . . . . 6
3 ipffval.1 . . . . . 6
42, 3syl6eqr 2461 . . . . 5
5 fveq2 5849 . . . . . . 7
6 ipffval.2 . . . . . . 7
75, 6syl6eqr 2461 . . . . . 6
87oveqd 6295 . . . . 5
94, 4, 8mpt2eq123dv 6340 . . . 4
10 df-ipf 18960 . . . 4
11 df-ov 6281 . . . . . . . 8
12 fvrn0 5871 . . . . . . . 8
1311, 12eqeltri 2486 . . . . . . 7
1413rgen2w 2766 . . . . . 6
15 eqid 2402 . . . . . . 7
1615fmpt2 6851 . . . . . 6
1714, 16mpbi 208 . . . . 5
18 fvex 5859 . . . . . . 7
193, 18eqeltri 2486 . . . . . 6
2019, 19xpex 6586 . . . . 5
21 fvex 5859 . . . . . . . 8
226, 21eqeltri 2486 . . . . . . 7
2322rnex 6718 . . . . . 6
24 p0ex 4581 . . . . . 6
2523, 24unex 6580 . . . . 5
26 fex2 6739 . . . . 5
2717, 20, 25, 26mp3an 1326 . . . 4
289, 10, 27fvmpt 5932 . . 3
29 fvprc 5843 . . . . 5
30 mpt20 6348 . . . . 5
3129, 30syl6eqr 2461 . . . 4
32 fvprc 5843 . . . . . 6
333, 32syl5eq 2455 . . . . 5
34 mpt2eq12 6338 . . . . 5
3533, 33, 34syl2anc 659 . . . 4
3631, 35eqtr4d 2446 . . 3
3728, 36pm2.61i 164 . 2
381, 37eqtri 2431 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754  cvv 3059   cun 3412  c0 3738  csn 3972  cop 3978   cxp 4821   crn 4824  wf 5565  cfv 5569  (class class class)co 6278   cmpt2 6280  cbs 14841  cip 14914  cipf 18958 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-ipf 18960 This theorem is referenced by:  ipfval  18982  ipfeq  18983  ipffn  18984  phlipf  18985
 Copyright terms: Public domain W3C validator