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Theorem ipdirilem 25870
Description: Lemma for ipdiri 25871. (Contributed by NM, 26-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ip1i.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipdiri.8  |-  A  e.  X
ipdiri.9  |-  B  e.  X
ipdiri.10  |-  C  e.  X
Assertion
Ref Expression
ipdirilem  |-  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) )

Proof of Theorem ipdirilem
StepHypRef Expression
1 2cn 10627 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
2 2ne0 10649 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
31, 2recidi 10296 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
43oveq1i 6306 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) ) S ( A G B ) )  =  ( 1 S ( A G B ) )
5 ip1i.9 . . . . . . 7  |-  U  e.  CPreHil
OLD
65phnvi 25857 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
7 halfcn 10776 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
8 ipdiri.8 . . . . . . . 8  |-  A  e.  X
9 ipdiri.9 . . . . . . . 8  |-  B  e.  X
10 ip1i.1 . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
11 ip1i.2 . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( +v `  U
)
1210, 11nvgcl 25639 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
136, 8, 9, 12mp3an 1324 . . . . . . 7  |-  ( A G B )  e.  X
141, 7, 133pm3.2i 1174 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  CC  /\  (
1  /  2 )  e.  CC  /\  ( A G B )  e.  X )
15 ip1i.4 . . . . . . 7  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
1610, 15nvsass 25649 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( A G B )  e.  X ) )  ->  ( ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) S ( A G B ) )  =  ( 2 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) ) )
176, 14, 16mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) ) S ( A G B ) )  =  ( 2 S ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) )
1810, 15nvsid 25648 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X )  ->  (
1 S ( A G B ) )  =  ( A G B ) )
196, 13, 18mp2an 672 . . . . 5  |-  ( 1 S ( A G B ) )  =  ( A G B )
204, 17, 193eqtr3i 2494 . . . 4  |-  ( 2 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) )  =  ( A G B )
2120oveq1i 6306 . . 3  |-  ( ( 2 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) ) P C )  =  ( ( A G B ) P C )
22 ip1i.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
2310, 15nvscl 25647 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  2 )  e.  CC  /\  ( A G B )  e.  X )  ->  (
( 1  /  2
) S ( A G B ) )  e.  X )
246, 7, 13, 23mp3an 1324 . . . 4  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) )  e.  X
25 ipdiri.10 . . . 4  |-  C  e.  X
2610, 11, 15, 22, 5, 24, 25ip2i 25869 . . 3  |-  ( ( 2 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) ) P C )  =  ( 2  x.  (
( ( 1  / 
2 ) S ( A G B ) ) P C ) )
2721, 26eqtr3i 2488 . 2  |-  ( ( A G B ) P C )  =  ( 2  x.  (
( ( 1  / 
2 ) S ( A G B ) ) P C ) )
28 neg1cn 10660 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
2910, 15nvscl 25647 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
306, 28, 9, 29mp3an 1324 . . . . 5  |-  ( -u
1 S B )  e.  X
3110, 11nvgcl 25639 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S B ) )  e.  X
)
326, 8, 30, 31mp3an 1324 . . . 4  |-  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X
3310, 15nvscl 25647 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
1  /  2 )  e.  CC  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )  ->  (
( 1  /  2
) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  X )
346, 7, 32, 33mp3an 1324 . . 3  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  e.  X
3510, 11, 15, 22, 5, 24, 34, 25ip1i 25868 . 2  |-  ( ( ( ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2
) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) P C )  +  ( ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) ) P C ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) P C ) )
36 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1st `  U )  =  ( 1st `  U )
3736nvvc 25634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( 1st `  U
)  e.  CVecOLD )
386, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1st `  U )  e.  CVecOLD
3911vafval 25622 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( 1st `  ( 1st `  U ) )
4039vcablo 25576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  U )  e.  CVecOLD  ->  G  e.  AbelOp )
4138, 40ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  G  e. 
AbelOp
428, 9pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
438, 30pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )
4410, 11bafval 25623 . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ran  G
4544ablo4 25415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X
) )  ->  (
( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( A G A ) G ( B G (
-u 1 S B ) ) ) )
4641, 42, 43, 45mp3an 1324 . . . . . . . 8  |-  ( ( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( A G A ) G ( B G (
-u 1 S B ) ) )
4715smfval 25624 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( 2nd `  ( 1st `  U ) )
4839, 47, 44vc2 25574 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1st `  U
)  e.  CVecOLD  /\  A  e.  X )  ->  ( A G A )  =  ( 2 S A ) )
4938, 8, 48mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( A G A )  =  ( 2 S A )
50 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
5110, 11, 15, 50nvrinv 25674 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  ( B G ( -u 1 S B ) )  =  ( 0vec `  U
) )
526, 9, 51mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( B G ( -u 1 S B ) )  =  ( 0vec `  U
)
5349, 52oveq12i 6308 . . . . . . . 8  |-  ( ( A G A ) G ( B G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( 2 S A ) G ( 0vec `  U
) )
5410, 15nvscl 25647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  2  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
2 S A )  e.  X )
556, 1, 8, 54mp3an 1324 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 S A )  e.  X
5610, 11, 50nv0rid 25656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
2 S A )  e.  X )  -> 
( ( 2 S A ) G (
0vec `  U )
)  =  ( 2 S A ) )
576, 55, 56mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2 S A ) G ( 0vec `  U
) )  =  ( 2 S A )
5846, 53, 573eqtri 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( 2 S A )
5958oveq2i 6307 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( A G (
-u 1 S B ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( 2 S A ) )
607, 1, 83pm3.2i 1174 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  A  e.  X )
6110, 15nvsass 25649 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  x.  2 ) S A )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( 2 S A ) ) )
626, 60, 61mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 ) S A )  =  ( ( 1  / 
2 ) S ( 2 S A ) )
6359, 62eqtr4i 2489 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( A G (
-u 1 S B ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  2 ) S A )
647, 13, 323pm3.2i 1174 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )
6510, 11, 15nvdi 25651 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X ) )  -> 
( ( 1  / 
2 ) S ( ( A G B ) G ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) )
666, 64, 65mp2an 672 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( A G (
-u 1 S B ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1  / 
2 ) S ( A G ( -u
1 S B ) ) ) )
67 ax-1cn 9567 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
6867, 1, 2divcan1i 10309 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  x.  2 )  =  1
6968oveq1i 6306 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 ) S A )  =  ( 1 S A )
7010, 15nvsid 25648 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
1 S A )  =  A )
716, 8, 70mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( 1 S A )  =  A
7269, 71eqtri 2486 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 ) S A )  =  A
7363, 66, 723eqtr3i 2494 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) )  =  A
7473oveq1i 6306 . . 3  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) P C )  =  ( A P C )
7528, 7mulcomi 9619 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1  x.  ( 1  /  2 ) )  =  ( ( 1  /  2 )  x.  -u 1 )
7675oveq1i 6306 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  x.  (
1  /  2 ) ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  -u 1 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) )
7728, 7, 323pm3.2i 1174 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( A G ( -u
1 S B ) )  e.  X )
7810, 15nvsass 25649 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( A G ( -u
1 S B ) )  e.  X ) )  ->  ( ( -u 1  x.  ( 1  /  2 ) ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( -u 1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) )
796, 77, 78mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  x.  (
1  /  2 ) ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( -u 1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) )
807, 28, 323pm3.2i 1174 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X )
8110, 15nvsass 25649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  2
)  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  ( A G ( -u
1 S B ) )  e.  X ) )  ->  ( (
( 1  /  2
)  x.  -u 1
) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( -u 1 S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) )
826, 80, 81mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  -u 1
) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( -u 1 S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) )
8328, 8, 303pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1  e.  CC  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )
8410, 11, 15nvdi 25651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X ) )  ->  ( -u 1 S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( -u
1 S A ) G ( -u 1 S ( -u 1 S B ) ) ) )
856, 83, 84mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1 S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( -u
1 S A ) G ( -u 1 S ( -u 1 S B ) ) )
86 neg1mulneg1e1 10774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  x.  -u 1
)  =  1
8786oveq1i 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  x.  -u 1
) S B )  =  ( 1 S B )
8828, 28, 93pm3.2i 1174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u
1  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )
8910, 15nvsass 25649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1  e.  CC  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )
)  ->  ( ( -u 1  x.  -u 1
) S B )  =  ( -u 1 S ( -u 1 S B ) ) )
906, 88, 89mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u 1  x.  -u 1
) S B )  =  ( -u 1 S ( -u 1 S B ) )
9110, 15nvsid 25648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X )  ->  (
1 S B )  =  B )
926, 9, 91mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 S B )  =  B
9387, 90, 923eqtr3i 2494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 S ( -u
1 S B ) )  =  B
9493oveq2i 6307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u 1 S A ) G ( -u
1 S ( -u
1 S B ) ) )  =  ( ( -u 1 S A ) G B )
9585, 94eqtri 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1 S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( -u
1 S A ) G B )
9695oveq2i 6307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( -u 1 S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( ( -u
1 S A ) G B ) )
9782, 96eqtri 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  -u 1
) S ( A G ( -u 1 S B ) ) )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( ( -u 1 S A ) G B ) )
9876, 79, 973eqtr3i 2494 . . . . . . 7  |-  ( -u
1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( ( -u
1 S A ) G B ) )
9998oveq2i 6307 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2 ) S ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )
10010, 15nvscl 25647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( -u 1 S A )  e.  X )
1016, 28, 8, 100mp3an 1324 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 S A )  e.  X
10210, 11nvgcl 25639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( -u 1 S A )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( -u 1 S A ) G B )  e.  X )
1036, 101, 9, 102mp3an 1324 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1 S A ) G B )  e.  X
1047, 13, 1033pm3.2i 1174 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( (
-u 1 S A ) G B )  e.  X )
10510, 11, 15nvdi 25651 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( A G B )  e.  X  /\  (
( -u 1 S A ) G B )  e.  X ) )  ->  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2
) S ( (
-u 1 S A ) G B ) ) ) )
1066, 104, 105mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2
) S ( (
-u 1 S A ) G B ) ) )
10799, 106eqtr4i 2489 . . . . 5  |-  ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )
108101, 9pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1 S A )  e.  X  /\  B  e.  X )
10944ablo4 25415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  AbelOp  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  /\  ( ( -u 1 S A )  e.  X  /\  B  e.  X
) )  ->  (
( A G B ) G ( (
-u 1 S A ) G B ) )  =  ( ( A G ( -u
1 S A ) ) G ( B G B ) ) )
11041, 42, 108, 109mp3an 1324 . . . . . . . 8  |-  ( ( A G B ) G ( ( -u
1 S A ) G B ) )  =  ( ( A G ( -u 1 S A ) ) G ( B G B ) )
11110, 11, 15, 50nvrinv 25674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  ( A G ( -u 1 S A ) )  =  ( 0vec `  U
) )
1126, 8, 111mp2an 672 . . . . . . . . . 10  |-  ( A G ( -u 1 S A ) )  =  ( 0vec `  U
)
113112oveq1i 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A G ( -u
1 S A ) ) G ( B G B ) )  =  ( ( 0vec `  U ) G ( B G B ) )
11410, 11nvgcl 25639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  B  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( B G B )  e.  X )
1156, 9, 9, 114mp3an 1324 . . . . . . . . . 10  |-  ( B G B )  e.  X
11610, 11, 50nv0lid 25657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( B G B )  e.  X )  ->  (
( 0vec `  U ) G ( B G B ) )  =  ( B G B ) )
1176, 115, 116mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( (
0vec `  U ) G ( B G B ) )  =  ( B G B )
118113, 117eqtri 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( A G ( -u
1 S A ) ) G ( B G B ) )  =  ( B G B )
11939, 47, 44vc2 25574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  U
)  e.  CVecOLD  /\  B  e.  X )  ->  ( B G B )  =  ( 2 S B ) )
12038, 9, 119mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( B G B )  =  ( 2 S B )
121110, 118, 1203eqtri 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( A G B ) G ( ( -u
1 S A ) G B ) )  =  ( 2 S B )
122121oveq2i 6307 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )  =  ( ( 1  / 
2 ) S ( 2 S B ) )
1237, 1, 93pm3.2i 1174 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  B  e.  X )
12410, 15nvsass 25649 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( 1  /  2
)  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  B  e.  X ) )  -> 
( ( ( 1  /  2 )  x.  2 ) S B )  =  ( ( 1  /  2 ) S ( 2 S B ) ) )
1256, 123, 124mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 ) S B )  =  ( ( 1  / 
2 ) S ( 2 S B ) )
12668oveq1i 6306 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1  /  2
)  x.  2 ) S B )  =  ( 1 S B )
127122, 125, 1263eqtr2i 2492 . . . . 5  |-  ( ( 1  /  2 ) S ( ( A G B ) G ( ( -u 1 S A ) G B ) ) )  =  ( 1 S B )
128107, 127, 923eqtri 2490 . . . 4  |-  ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) )  =  B
129128oveq1i 6306 . . 3  |-  ( ( ( ( 1  / 
2 ) S ( A G B ) ) G ( -u
1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) ) P C )  =  ( B P C )
13074, 129oveq12i 6308 . 2  |-  ( ( ( ( ( 1  /  2 ) S ( A G B ) ) G ( ( 1  /  2
) S ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) P C )  +  ( ( ( ( 1  /  2
) S ( A G B ) ) G ( -u 1 S ( ( 1  /  2 ) S ( A G (
-u 1 S B ) ) ) ) ) P C ) )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) )
13127, 35, 1303eqtr2i 2492 1  |-  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1stc1st 6797   CCcc 9507   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   -ucneg 9825    / cdiv 10227   2c2 10606   AbelOpcablo 25409   CVecOLDcvc 25564   NrmCVeccnv 25603   +vcpv 25604   BaseSetcba 25605   .sOLDcns 25606   0veccn0v 25607   .iOLDcdip 25736   CPreHil OLDccphlo 25853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-grpo 25319  df-gid 25320  df-ginv 25321  df-ablo 25410  df-vc 25565  df-nv 25611  df-va 25614  df-ba 25615  df-sm 25616  df-0v 25617  df-nmcv 25619  df-dip 25737  df-ph 25854
This theorem is referenced by:  ipdiri  25871
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