MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdiri Unicode version

Theorem ipdiri 21238
Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
ip1i.7  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Assertion
Ref Expression
ipdiri  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) )

Proof of Theorem ipdiri
StepHypRef Expression
1 oveq1 5717 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A G B )  =  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) G B ) )
21oveq1d 5725 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B ) P C ) )
3 oveq1 5717 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A P C )  =  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P C ) )
43oveq1d 5725 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A P C )  +  ( B P C ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  +  ( B P C ) ) )
52, 4eqeq12d 2267 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) )  <->  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( B P C ) ) ) )
6 oveq2 5718 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B )  =  ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) G if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
76oveq1d 5725 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C ) )
8 oveq1 5717 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( B P C )  =  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) ) P C ) )
98oveq2d 5726 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P C )  +  ( B P C ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P C ) ) )
107, 9eqeq12d 2267 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( B P C ) )  <->  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) ) ) )
11 oveq2 5718 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) G if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
12 oveq2 5718 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  =  ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
13 oveq2 5718 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  =  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
1412, 13oveq12d 5728 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
1511, 14eqeq12d 2267 . 2  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) )  <->  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) ) ) )
16 ip1i.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
17 ip1i.2 . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
18 ip1i.4 . . 3  |-  S  =  ( .s OLD `  U
)
19 ip1i.7 . . 3  |-  P  =  ( .i OLD `  U
)
20 ip1i.9 . . 3  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21 eqid 2253 . . . 4  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
2216, 21, 20elimph 21228 . . 3  |-  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
2316, 21, 20elimph 21228 . . 3  |-  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
2416, 21, 20elimph 21228 . . 3  |-  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
2516, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24ipdirilem 21237 . 2  |-  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) G if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
265, 10, 15, 25dedth3h 3513 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   ifcif 3470   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    + caddc 8620   +vcpv 20971   BaseSetcba 20972   .s
OLDcns 20973   0veccn0v 20974   .i
OLDcdip 21103   CPreHil OLDccphlo 21220
This theorem is referenced by:  ipasslem1  21239  ipasslem2  21240  ipasslem11  21248  dipdir  21250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-rp 10234  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-seq 10925  df-exp 10983  df-hash 11216  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-clim 11839  df-sum 12036  df-grpo 20688  df-gid 20689  df-ginv 20690  df-ablo 20779  df-vc 20932  df-nv 20978  df-va 20981  df-ba 20982  df-sm 20983  df-0v 20984  df-nmcv 20986  df-dip 21104  df-ph 21221
  Copyright terms: Public domain W3C validator