MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipdiri Structured version   Unicode version

Theorem ipdiri 24409
Description: Distributive law for inner product. Equation I3 of [Ponnusamy] p. 362. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ip1i.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Assertion
Ref Expression
ipdiri  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) )

Proof of Theorem ipdiri
StepHypRef Expression
1 oveq1 6210 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A G B )  =  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) G B ) )
21oveq1d 6218 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B ) P C ) )
3 oveq1 6210 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A P C )  =  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P C ) )
43oveq1d 6218 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A P C )  +  ( B P C ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  +  ( B P C ) ) )
52, 4eqeq12d 2476 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) )  <->  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( B P C ) ) ) )
6 oveq2 6211 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B )  =  ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) G if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
76oveq1d 6218 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C ) )
8 oveq1 6210 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( B P C )  =  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) ) P C ) )
98oveq2d 6219 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P C )  +  ( B P C ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P C ) ) )
107, 9eqeq12d 2476 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G B ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( B P C ) )  <->  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) ) ) )
11 oveq2 6211 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) G if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
12 oveq2 6211 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  =  ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
13 oveq2 6211 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  =  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
1412, 13oveq12d 6221 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U
) ) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) ) )
1511, 14eqeq12d 2476 . 2  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) P C )  +  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) )  <->  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) G if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) ) ) )
16 ip1i.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
17 ip1i.2 . . 3  |-  G  =  ( +v `  U
)
18 ip1i.4 . . 3  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
19 ip1i.7 . . 3  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
20 ip1i.9 . . 3  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21 eqid 2454 . . . 4  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
2216, 21, 20elimph 24399 . . 3  |-  if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
2316, 21, 20elimph 24399 . . 3  |-  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
2416, 21, 20elimph 24399 . . 3  |-  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
2516, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24ipdirilem 24408 . 2  |-  ( ( if ( A  e.  X ,  A , 
( 0vec `  U )
) G if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) ) )  =  ( ( if ( A  e.  X ,  A ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) )  +  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
265, 10, 15, 25dedth3h 3954 1  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A G B ) P C )  =  ( ( A P C )  +  ( B P C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ifcif 3902   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    + caddc 9400   +vcpv 24142   BaseSetcba 24143   .sOLDcns 24144   0veccn0v 24145   .iOLDcdip 24274   CPreHil OLDccphlo 24391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-clim 13088  df-sum 13286  df-grpo 23857  df-gid 23858  df-ginv 23859  df-ablo 23948  df-vc 24103  df-nv 24149  df-va 24152  df-ba 24153  df-sm 24154  df-0v 24155  df-nmcv 24157  df-dip 24275  df-ph 24392
This theorem is referenced by:  ipasslem1  24410  ipasslem2  24411  ipasslem11  24419  dipdir  24421
  Copyright terms: Public domain W3C validator