MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnval Structured version   Unicode version

Theorem ipcnval 12928
Description: Standard inner product on complex numbers. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ipcnval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) )

Proof of Theorem ipcnval
StepHypRef Expression
1 cjcl 12890 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  (
* `  B )  e.  CC )
2 remul 12914 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( * `  B
)  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  (
* `  B )
) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  ( * `  B ) ) )  -  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  (
* `  B )
) ) ) )
31, 2sylan2 474 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  ( * `  B
) ) )  -  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  ( * `  B ) ) ) ) )
4 recj 12909 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  ( * `  B ) )  =  ( Re `  B
) )
54adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  (
* `  B )
)  =  ( Re
`  B ) )
65oveq2d 6293 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  ( * `  B ) ) )  =  ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) )
7 imcj 12917 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  ( * `  B ) )  = 
-u ( Im `  B ) )
87adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  (
* `  B )
)  =  -u (
Im `  B )
)
98oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  ( * `  B ) ) )  =  ( ( Im
`  A )  x.  -u ( Im `  B
) ) )
10 imcl 12896 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
1110recnd 9613 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
12 imcl 12896 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1312recnd 9613 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
14 mulneg2 9985 . . . . 5  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( ( Im `  A )  x.  -u (
Im `  B )
)  =  -u (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )
1511, 13, 14syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  -u (
Im `  B )
)  =  -u (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )
169, 15eqtrd 2503 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  ( * `  B ) ) )  =  -u ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) )
176, 16oveq12d 6295 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  (
* `  B )
) )  -  (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  ( * `  B ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  -  -u ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
18 recl 12895 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
1918recnd 9613 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
20 recl 12895 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
2120recnd 9613 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
22 mulcl 9567 . . . 4  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  ( Re `  B )  e.  CC )  -> 
( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
2319, 21, 22syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Re `  B )
)  e.  CC )
24 mulcl 9567 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
2511, 13, 24syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
2623, 25subnegd 9928 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Re `  B
) )  -  -u (
( Im `  A
)  x.  ( Im
`  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Im `  B
) ) ) )
273, 17, 263eqtrd 2507 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  ( A  x.  ( * `  B ) ) )  =  ( ( ( Re `  A )  x.  ( Re `  B ) )  +  ( ( Im `  A )  x.  (
Im `  B )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481    + caddc 9486    x. cmul 9488    - cmin 9796   -ucneg 9797   *ccj 12881   Recre 12882   Imcim 12883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-2 10585  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886
This theorem is referenced by:  cjmulval  12930  ipcni  12975  ipcnd  13007
  Copyright terms: Public domain W3C validator