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Theorem ipcnlem2 20715
Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcn.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
ipcn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
ipcn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
ipcn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
ipcn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
ipcn.w  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
ipcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ipcn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
ipcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ipcn.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
ipcn.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
ipcn.1  |-  ( ph  ->  ( A D X )  <  U )
ipcn.2  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  <  T )
Assertion
Ref Expression
ipcnlem2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  <  R )

Proof of Theorem ipcnlem2
StepHypRef Expression
1 ipcn.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
2 ipcn.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
3 ipcn.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
4 ipcn.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 ipcn.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
64, 5cphipcl 20669 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  ( A  .,  B )  e.  CC )
71, 2, 3, 6syl3anc 1213 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .,  B
)  e.  CC )
8 ipcn.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
9 ipcn.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
104, 5cphipcl 20669 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .,  Y )  e.  CC )
111, 8, 9, 10syl3anc 1213 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  CC )
124, 5cphipcl 20669 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .,  Y )  e.  CC )
131, 2, 9, 12syl3anc 1213 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .,  Y
)  e.  CC )
14 ipcn.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
1514rpred 11023 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
167, 13subcld 9715 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  B )  -  ( A  .,  Y ) )  e.  CC )
1716abscld 12918 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) )  e.  RR )
18 cphnlm 20650 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
191, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
20 nlmngp 20217 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
2119, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
22 ipcn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  W
)
234, 22nmcl 20166 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
2421, 2, 23syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  RR )
254, 22nmge0 20167 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
2621, 2, 25syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  A ) )
2724, 26ge0p1rpd 11049 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  +  1 )  e.  RR+ )
2827rpred 11023 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  +  1 )  e.  RR )
29 ngpms 20151 . . . . . 6  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
3021, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
31 ipcn.d . . . . . 6  |-  D  =  ( dist `  W
)
324, 31mscl 19995 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( B D Y )  e.  RR )
3330, 3, 9, 32syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  e.  RR )
3428, 33remulcld 9410 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 A )  +  1 )  x.  ( B D Y ) )  e.  RR )
3515rehalfcld 10567 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR )
3624, 33remulcld 9410 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  x.  ( B D Y ) )  e.  RR )
37 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
385, 4, 37cphsubdi 20686 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( A  .,  ( B ( -g `  W ) Y ) )  =  ( ( A  .,  B )  -  ( A  .,  Y ) ) )
391, 2, 3, 9, 38syl13anc 1215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  .,  ( B ( -g `  W
) Y ) )  =  ( ( A 
.,  B )  -  ( A  .,  Y ) ) )
4039fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  ( B (
-g `  W ) Y ) ) )  =  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) ) )
41 ngpgrp 20150 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  Grp )
4221, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
434, 37grpsubcl 15599 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( B ( -g `  W ) Y )  e.  V )
4442, 3, 9, 43syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B ( -g `  W ) Y )  e.  V )
454, 5, 22ipcau 20712 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  A  e.  V  /\  ( B ( -g `  W
) Y )  e.  V )  ->  ( abs `  ( A  .,  ( B ( -g `  W
) Y ) ) )  <_  ( ( N `  A )  x.  ( N `  ( B ( -g `  W
) Y ) ) ) )
461, 2, 44, 45syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  ( B (
-g `  W ) Y ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  ( B ( -g `  W
) Y ) ) ) )
4722, 4, 37, 31ngpds 20154 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( B D Y )  =  ( N `  ( B ( -g `  W
) Y ) ) )
4821, 3, 9, 47syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  =  ( N `
 ( B (
-g `  W ) Y ) ) )
4948oveq2d 6106 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  x.  ( B D Y ) )  =  ( ( N `
 A )  x.  ( N `  ( B ( -g `  W
) Y ) ) ) )
5046, 49breqtrrd 4315 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  .,  ( B (
-g `  W ) Y ) ) )  <_  ( ( N `
 A )  x.  ( B D Y ) ) )
5140, 50eqbrtrrd 4311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) )  <_  ( ( N `  A )  x.  ( B D Y ) ) )
52 msxms 19988 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *MetSp )
5330, 52syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  *MetSp )
544, 31xmsge0 19997 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  *MetSp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  0  <_  ( B D Y ) )
5553, 3, 9, 54syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B D Y ) )
5624lep1d 10260 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  <_  ( ( N `  A )  +  1 ) )
5724, 28, 33, 55, 56lemul1ad 10268 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  x.  ( B D Y ) )  <_  ( ( ( N `  A )  +  1 )  x.  ( B D Y ) ) )
5817, 36, 34, 51, 57letrd 9524 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) )  <_  ( (
( N `  A
)  +  1 )  x.  ( B D Y ) ) )
59 ipcn.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  <  T )
60 ipcn.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
6159, 60syl6breq 4328 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( N `
 A )  +  1 ) ) )
6233, 35, 27ltmuldiv2d 11067 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( N `  A )  +  1 )  x.  ( B D Y ) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( B D Y )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  A )  +  1 ) ) ) )
6361, 62mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 A )  +  1 )  x.  ( B D Y ) )  <  ( R  / 
2 ) )
6417, 34, 35, 58, 63lelttrd 9525 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( A 
.,  Y ) ) )  <  ( R  /  2 ) )
6513, 11subcld 9715 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  .,  Y )  -  ( X  .,  Y ) )  e.  CC )
6665abscld 12918 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  e.  RR )
674, 31mscl 19995 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  A  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( A D X )  e.  RR )
6830, 2, 8, 67syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A D X )  e.  RR )
694, 22nmcl 20166 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
7021, 3, 69syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  e.  RR )
7114rphalfcld 11035 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
7271, 27rpdivcld 11040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
7360, 72syl5eqel 2525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
7473rpred 11023 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
7570, 74readdcld 9409 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  B )  +  T
)  e.  RR )
7668, 75remulcld 9410 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  (
( N `  B
)  +  T ) )  e.  RR )
774, 22nmcl 20166 . . . . . 6  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y )  e.  RR )
7821, 9, 77syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  e.  RR )
7968, 78remulcld 9410 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y )
)  e.  RR )
805, 4, 37cphsubdir 20685 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A  e.  V  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( ( A ( -g `  W
) X )  .,  Y )  =  ( ( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )
811, 2, 8, 9, 80syl13anc 1215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  W ) X )  .,  Y
)  =  ( ( A  .,  Y )  -  ( X  .,  Y ) ) )
8281fveq2d 5692 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A ( -g `  W ) X ) 
.,  Y ) )  =  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) ) )
834, 37grpsubcl 15599 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  A  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( A ( -g `  W ) X )  e.  V )
8442, 2, 8, 83syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ( -g `  W ) X )  e.  V )
854, 5, 22ipcau 20712 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( A ( -g `  W
) X )  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( ( A ( -g `  W
) X )  .,  Y ) )  <_ 
( ( N `  ( A ( -g `  W
) X ) )  x.  ( N `  Y ) ) )
861, 84, 9, 85syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A ( -g `  W ) X ) 
.,  Y ) )  <_  ( ( N `
 ( A (
-g `  W ) X ) )  x.  ( N `  Y
) ) )
8722, 4, 37, 31ngpds 20154 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( A D X )  =  ( N `  ( A ( -g `  W
) X ) ) )
8821, 2, 8, 87syl3anc 1213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A D X )  =  ( N `
 ( A (
-g `  W ) X ) ) )
8988oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y )
)  =  ( ( N `  ( A ( -g `  W
) X ) )  x.  ( N `  Y ) ) )
9086, 89breqtrrd 4315 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A ( -g `  W ) X ) 
.,  Y ) )  <_  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y
) ) )
9182, 90eqbrtrrd 4311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  <_  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y
) ) )
924, 31xmsge0 19997 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  *MetSp  /\  A  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  0  <_  ( A D X ) )
9353, 2, 8, 92syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A D X ) )
9478, 70resubcld 9772 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  B )
)  e.  RR )
954, 22, 37nm2dif 20175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  Y  e.  V  /\  B  e.  V )  ->  (
( N `  Y
)  -  ( N `
 B ) )  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W
) B ) ) )
9621, 9, 3, 95syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  B )
)  <_  ( N `  ( Y ( -g `  W ) B ) ) )
9722, 4, 37, 31ngpdsr 20155 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( B D Y )  =  ( N `  ( Y ( -g `  W
) B ) ) )
9821, 3, 9, 97syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  =  ( N `
 ( Y (
-g `  W ) B ) ) )
9996, 98breqtrrd 4315 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  B )
)  <_  ( B D Y ) )
10033, 74, 59ltled 9518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B D Y )  <_  T )
10194, 33, 74, 99, 100letrd 9524 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  Y )  -  ( N `  B )
)  <_  T )
10278, 70, 74lesubadd2d 9934 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 Y )  -  ( N `  B ) )  <_  T  <->  ( N `  Y )  <_  (
( N `  B
)  +  T ) ) )
103101, 102mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  <_  ( ( N `  B )  +  T ) )
10478, 75, 68, 93, 103lemul2ad 10269 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  ( N `  Y )
)  <_  ( ( A D X )  x.  ( ( N `  B )  +  T
) ) )
10566, 79, 76, 91, 104letrd 9524 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  <_  ( ( A D X )  x.  ( ( N `  B )  +  T
) ) )
106 ipcn.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A D X )  <  U )
107 ipcn.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
108106, 107syl6breq 4328 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A D X )  <  ( ( R  /  2 )  /  ( ( N `
 B )  +  T ) ) )
109 0red 9383 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
1104, 22nmge0 20167 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  B
) )
11121, 3, 110syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  B ) )
11270, 73ltaddrpd 11052 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
113109, 70, 75, 111, 112lelttrd 9525 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
114 ltmuldiv 10198 . . . . 5  |-  ( ( ( A D X )  e.  RR  /\  ( R  /  2
)  e.  RR  /\  ( ( ( N `
 B )  +  T )  e.  RR  /\  0  <  ( ( N `  B )  +  T ) ) )  ->  ( (
( A D X )  x.  ( ( N `  B )  +  T ) )  <  ( R  / 
2 )  <->  ( A D X )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  B )  +  T ) ) ) )
11568, 35, 75, 113, 114syl112anc 1217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D X )  x.  ( ( N `  B )  +  T
) )  <  ( R  /  2 )  <->  ( A D X )  <  (
( R  /  2
)  /  ( ( N `  B )  +  T ) ) ) )
116108, 115mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A D X )  x.  (
( N `  B
)  +  T ) )  <  ( R  /  2 ) )
11766, 76, 35, 105, 116lelttrd 9525 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  Y
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  <  ( R  /  2 ) )
1187, 11, 13, 15, 64, 117abs3lemd 12943 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( X 
.,  Y ) ) )  <  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1364    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   2c2 10367   RR+crp 10987   abscabs 12719   Basecbs 14170   .icip 14239   distcds 14243   Grpcgrp 15406   -gcsg 15409   *MetSpcxme 19851   MetSpcmt 19852   normcnm 20128  NrmGrpcngp 20129  NrmModcnlm 20132   CPreHilccph 20644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ico 11302  df-fz 11434  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-0g 14376  df-topgen 14378  df-xrs 14436  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-rnghom 16796  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-staf 16910  df-srng 16911  df-lmod 16930  df-lmhm 17081  df-lvec 17162  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-phl 18014  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-xms 19854  df-ms 19855  df-nm 20134  df-ngp 20135  df-tng 20136  df-nlm 20138  df-clm 20594  df-cph 20646  df-tch 20647
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