MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem1 Structured version   Unicode version

Theorem ipcnlem1 20760
Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcn.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
ipcn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
ipcn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
ipcn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
ipcn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
ipcn.w  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
ipcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ipcn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
ipcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ipcnlem1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
Distinct variable groups:    A, r    B, r    D, r    x, y,
ph    x, r, y, T    U, r, x, y    ., , r    R, r    V, r, y
Allowed substitution hints:    ph( r)    A( x, y)    B( x, y)    D( x, y)    R( x, y)    ., ( x, y)    N( x, y, r)    V( x)    W( x, y, r)

Proof of Theorem ipcnlem1
StepHypRef Expression
1 ipcn.t . . . 4  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
2 ipcn.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32rphalfcld 11042 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
4 ipcn.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
5 cphnlm 20694 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
7 nlmngp 20261 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
9 ipcn.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
10 ipcn.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 ipcn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  W
)
1210, 11nmcl 20210 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
138, 9, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  RR )
1410, 11nmge0 20211 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
158, 9, 14syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  A ) )
1613, 15ge0p1rpd 11056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  +  1 )  e.  RR+ )
173, 16rpdivcld 11047 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
181, 17syl5eqel 2527 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
19 ipcn.u . . . 4  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
20 ipcn.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
2110, 11nmcl 20210 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
228, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  e.  RR )
2318rpred 11030 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2422, 23readdcld 9416 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  B )  +  T
)  e.  RR )
25 0red 9390 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2610, 11nmge0 20211 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  B
) )
278, 20, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  B ) )
2822, 18ltaddrpd 11059 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
2925, 22, 24, 27, 28lelttrd 9532 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
3024, 29elrpd 11028 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  B )  +  T
)  e.  RR+ )
313, 30rpdivcld 11047 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )  e.  RR+ )
3219, 31syl5eqel 2527 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
33 ifcl 3834 . . 3  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  U  e.  RR+ )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
3418, 32, 33syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
35 ipcn.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
36 ipcn.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  W
)
374adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  CPreHil )
389adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  A  e.  V )
3920adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  B  e.  V )
402adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
41 simprll 761 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  x  e.  V )
42 simprlr 762 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
y  e.  V )
438adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e. NrmGrp )
44 ngpms 20195 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
4543, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  MetSp )
4610, 36mscl 20039 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  A  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( A D x )  e.  RR )
4745, 38, 41, 46syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  e.  RR )
4834adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
4948rpred 11030 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR )
5032rpred 11030 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5150adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  U  e.  RR )
52 simprrl 763 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
5323adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  T  e.  RR )
54 min2 11164 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U
)
5553, 51, 54syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U )
5647, 49, 51, 52, 55ltletrd 9534 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  <  U )
578, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
5857adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  MetSp )
5910, 36mscl 20039 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  B  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( B D y )  e.  RR )
6058, 39, 42, 59syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  e.  RR )
61 simprrr 764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
62 min1 11163 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T
)
6353, 51, 62syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T )
6460, 49, 53, 61, 63ltletrd 9534 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  <  T )
6510, 35, 36, 11, 1, 19, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 56, 64ipcnlem2 20759 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R )
6665expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
6766ralrimivva 2811 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
68 breq2 4299 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( A D x )  <  r  <->  ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
69 breq2 4299 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( B D y )  <  r  <->  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
7068, 69anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  <-> 
( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )
7170imbi1d 317 . . . 4  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( ( A D x )  < 
r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
)  <->  ( ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) ) )
72712ralbidv 2760 . . 3  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
)  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) ) )
7372rspcev 3076 . 2  |-  ( ( if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
) )
7434, 67, 73syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2718   E.wrex 2719   ifcif 3794   class class class wbr 4295   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   RRcr 9284   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    < clt 9421    <_ cle 9422    - cmin 9598    / cdiv 9996   2c2 10374   RR+crp 10994   abscabs 12726   Basecbs 14177   .icip 14246   distcds 14250   MetSpcmt 19896   normcnm 20172  NrmGrpcngp 20173  NrmModcnlm 20176   CPreHilccph 20688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-tpos 6748  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-map 7219  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-sup 7694  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ico 11309  df-fz 11441  df-seq 11810  df-exp 11869  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-0g 14383  df-topgen 14385  df-xrs 14443  df-mnd 15418  df-mhm 15467  df-grp 15548  df-minusg 15549  df-sbg 15550  df-subg 15681  df-ghm 15748  df-cmn 16282  df-abl 16283  df-mgp 16595  df-ur 16607  df-rng 16650  df-cring 16651  df-oppr 16718  df-dvdsr 16736  df-unit 16737  df-invr 16767  df-dvr 16778  df-rnghom 16809  df-drng 16837  df-subrg 16866  df-staf 16933  df-srng 16934  df-lmod 16953  df-lmhm 17106  df-lvec 17187  df-sra 17256  df-rgmod 17257  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-cnfld 17822  df-phl 18058  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-xms 19898  df-ms 19899  df-nm 20178  df-ngp 20179  df-tng 20180  df-nlm 20182  df-clm 20638  df-cph 20690  df-tch 20691
This theorem is referenced by:  ipcn  20761
  Copyright terms: Public domain W3C validator