MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem1 Structured version   Unicode version

Theorem ipcnlem1 21553
Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcn.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
ipcn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
ipcn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
ipcn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
ipcn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
ipcn.w  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
ipcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ipcn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
ipcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ipcnlem1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
Distinct variable groups:    A, r    B, r    D, r    x, y,
ph    x, r, y, T    U, r, x, y    ., , r    R, r    V, r, y
Allowed substitution hints:    ph( r)    A( x, y)    B( x, y)    D( x, y)    R( x, y)    ., ( x, y)    N( x, y, r)    V( x)    W( x, y, r)

Proof of Theorem ipcnlem1
StepHypRef Expression
1 ipcn.t . . . 4  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
2 ipcn.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32rphalfcld 11280 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
4 ipcn.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
5 cphnlm 21487 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
7 nlmngp 21054 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
9 ipcn.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
10 ipcn.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 ipcn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  W
)
1210, 11nmcl 21003 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
138, 9, 12syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  RR )
1410, 11nmge0 21004 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
158, 9, 14syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  A ) )
1613, 15ge0p1rpd 11294 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  +  1 )  e.  RR+ )
173, 16rpdivcld 11285 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
181, 17syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
19 ipcn.u . . . 4  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
20 ipcn.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
2110, 11nmcl 21003 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
228, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  e.  RR )
2318rpred 11268 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2422, 23readdcld 9635 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  B )  +  T
)  e.  RR )
25 0red 9609 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2610, 11nmge0 21004 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  B
) )
278, 20, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  B ) )
2822, 18ltaddrpd 11297 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
2925, 22, 24, 27, 28lelttrd 9751 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
3024, 29elrpd 11266 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  B )  +  T
)  e.  RR+ )
313, 30rpdivcld 11285 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )  e.  RR+ )
3219, 31syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
33 ifcl 3987 . . 3  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  U  e.  RR+ )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
3418, 32, 33syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
35 ipcn.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
36 ipcn.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  W
)
374adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  CPreHil )
389adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  A  e.  V )
3920adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  B  e.  V )
402adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
41 simprll 761 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  x  e.  V )
42 simprlr 762 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
y  e.  V )
438adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e. NrmGrp )
44 ngpms 20988 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
4543, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  MetSp )
4610, 36mscl 20832 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  A  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( A D x )  e.  RR )
4745, 38, 41, 46syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  e.  RR )
4834adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
4948rpred 11268 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR )
5032rpred 11268 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5150adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  U  e.  RR )
52 simprrl 763 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
5323adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  T  e.  RR )
54 min2 11402 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U
)
5553, 51, 54syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U )
5647, 49, 51, 52, 55ltletrd 9753 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  <  U )
578, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
5857adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  MetSp )
5910, 36mscl 20832 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  B  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( B D y )  e.  RR )
6058, 39, 42, 59syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  e.  RR )
61 simprrr 764 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
62 min1 11401 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T
)
6353, 51, 62syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T )
6460, 49, 53, 61, 63ltletrd 9753 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  <  T )
6510, 35, 36, 11, 1, 19, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 56, 64ipcnlem2 21552 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R )
6665expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
6766ralrimivva 2888 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
68 breq2 4457 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( A D x )  <  r  <->  ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
69 breq2 4457 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( B D y )  <  r  <->  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
7068, 69anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  <-> 
( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )
7170imbi1d 317 . . . 4  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( ( A D x )  < 
r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
)  <->  ( ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) ) )
72712ralbidv 2911 . . 3  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
)  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) ) )
7372rspcev 3219 . 2  |-  ( ( if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
) )
7434, 67, 73syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   ifcif 3945   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817    / cdiv 10218   2c2 10597   RR+crp 11232   abscabs 13047   Basecbs 14507   .icip 14577   distcds 14581   MetSpcmt 20689   normcnm 20965  NrmGrpcngp 20966  NrmModcnlm 20969   CPreHilccph 21481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ico 11547  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-0g 14714  df-topgen 14716  df-xrs 14774  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-rnghom 17236  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-staf 17365  df-srng 17366  df-lmod 17385  df-lmhm 17539  df-lvec 17620  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-phl 18530  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-xms 20691  df-ms 20692  df-nm 20971  df-ngp 20972  df-tng 20973  df-nlm 20975  df-clm 21431  df-cph 21483  df-tch 21484
This theorem is referenced by:  ipcn  21554
  Copyright terms: Public domain W3C validator