MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem1 Structured version   Unicode version

Theorem ipcnlem1 20716
Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcn.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
ipcn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
ipcn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
ipcn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
ipcn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
ipcn.w  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
ipcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ipcn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
ipcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ipcnlem1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
Distinct variable groups:    A, r    B, r    D, r    x, y,
ph    x, r, y, T    U, r, x, y    ., , r    R, r    V, r, y
Allowed substitution hints:    ph( r)    A( x, y)    B( x, y)    D( x, y)    R( x, y)    ., ( x, y)    N( x, y, r)    V( x)    W( x, y, r)

Proof of Theorem ipcnlem1
StepHypRef Expression
1 ipcn.t . . . 4  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
2 ipcn.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32rphalfcld 11035 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
4 ipcn.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
5 cphnlm 20650 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
64, 5syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
7 nlmngp 20217 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
9 ipcn.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
10 ipcn.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 ipcn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  W
)
1210, 11nmcl 20166 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
138, 9, 12syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  RR )
1410, 11nmge0 20167 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
158, 9, 14syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  A ) )
1613, 15ge0p1rpd 11049 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  +  1 )  e.  RR+ )
173, 16rpdivcld 11040 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
181, 17syl5eqel 2525 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
19 ipcn.u . . . 4  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
20 ipcn.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
2110, 11nmcl 20166 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
228, 20, 21syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  e.  RR )
2318rpred 11023 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2422, 23readdcld 9409 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  B )  +  T
)  e.  RR )
25 0red 9383 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2610, 11nmge0 20167 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  B
) )
278, 20, 26syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  B ) )
2822, 18ltaddrpd 11052 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
2925, 22, 24, 27, 28lelttrd 9525 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
3024, 29elrpd 11021 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  B )  +  T
)  e.  RR+ )
313, 30rpdivcld 11040 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )  e.  RR+ )
3219, 31syl5eqel 2525 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
33 ifcl 3828 . . 3  |-  ( ( T  e.  RR+  /\  U  e.  RR+ )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
3418, 32, 33syl2anc 656 . 2  |-  ( ph  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
35 ipcn.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
36 ipcn.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  W
)
374adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  CPreHil )
389adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  A  e.  V )
3920adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  B  e.  V )
402adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
41 simprll 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  x  e.  V )
42 simprlr 757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
y  e.  V )
438adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e. NrmGrp )
44 ngpms 20151 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
4543, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  MetSp )
4610, 36mscl 19995 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  A  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( A D x )  e.  RR )
4745, 38, 41, 46syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  e.  RR )
4834adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
4948rpred 11023 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR )
5032rpred 11023 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5150adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  U  e.  RR )
52 simprrl 758 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
5323adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  T  e.  RR )
54 min2 11157 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U
)
5553, 51, 54syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U )
5647, 49, 51, 52, 55ltletrd 9527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  <  U )
578, 44syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
5857adantr 462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  MetSp )
5910, 36mscl 19995 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  B  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( B D y )  e.  RR )
6058, 39, 42, 59syl3anc 1213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  e.  RR )
61 simprrr 759 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
62 min1 11156 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T
)
6353, 51, 62syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T )
6460, 49, 53, 61, 63ltletrd 9527 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  <  T )
6510, 35, 36, 11, 1, 19, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 56, 64ipcnlem2 20715 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R )
6665expr 612 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
6766ralrimivva 2806 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
68 breq2 4293 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( A D x )  <  r  <->  ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
69 breq2 4293 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( B D y )  <  r  <->  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
7068, 69anbi12d 705 . . . . 5  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  <-> 
( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )
7170imbi1d 317 . . . 4  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( ( A D x )  < 
r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
)  <->  ( ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) ) )
72712ralbidv 2755 . . 3  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
)  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) ) )
7372rspcev 3070 . 2  |-  ( ( if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
) )
7434, 67, 73syl2anc 656 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   ifcif 3788   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591    / cdiv 9989   2c2 10367   RR+crp 10987   abscabs 12719   Basecbs 14170   .icip 14239   distcds 14243   MetSpcmt 19852   normcnm 20128  NrmGrpcngp 20129  NrmModcnlm 20132   CPreHilccph 20644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ico 11302  df-fz 11434  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-0g 14376  df-topgen 14378  df-xrs 14436  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-subg 15671  df-ghm 15738  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-dvr 16765  df-rnghom 16796  df-drng 16814  df-subrg 16843  df-staf 16910  df-srng 16911  df-lmod 16930  df-lmhm 17081  df-lvec 17162  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-cnfld 17778  df-phl 18014  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-xms 19854  df-ms 19855  df-nm 20134  df-ngp 20135  df-tng 20136  df-nlm 20138  df-clm 20594  df-cph 20646  df-tch 20647
This theorem is referenced by:  ipcn  20717
  Copyright terms: Public domain W3C validator