Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem1 Structured version   Unicode version

Theorem ipcnlem1 21553
 Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v
ipcn.h
ipcn.d
ipcn.n
ipcn.t
ipcn.u
ipcn.w
ipcn.a
ipcn.b
ipcn.r
Assertion
Ref Expression
ipcnlem1
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,,   ,,,   ,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,,)   ()   (,,)

Proof of Theorem ipcnlem1
StepHypRef Expression
1 ipcn.t . . . 4
2 ipcn.r . . . . . 6
32rphalfcld 11280 . . . . 5
4 ipcn.w . . . . . . . . 9
5 cphnlm 21487 . . . . . . . . 9 NrmMod
64, 5syl 16 . . . . . . . 8 NrmMod
7 nlmngp 21054 . . . . . . . 8 NrmMod NrmGrp
86, 7syl 16 . . . . . . 7 NrmGrp
9 ipcn.a . . . . . . 7
10 ipcn.v . . . . . . . 8
11 ipcn.n . . . . . . . 8
1210, 11nmcl 21003 . . . . . . 7 NrmGrp
138, 9, 12syl2anc 661 . . . . . 6
1410, 11nmge0 21004 . . . . . . 7 NrmGrp
158, 9, 14syl2anc 661 . . . . . 6
1613, 15ge0p1rpd 11294 . . . . 5
173, 16rpdivcld 11285 . . . 4
181, 17syl5eqel 2559 . . 3
19 ipcn.u . . . 4
20 ipcn.b . . . . . . . 8
2110, 11nmcl 21003 . . . . . . . 8 NrmGrp
228, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . 7
2318rpred 11268 . . . . . . 7
2422, 23readdcld 9635 . . . . . 6
25 0red 9609 . . . . . . 7
2610, 11nmge0 21004 . . . . . . . 8 NrmGrp
278, 20, 26syl2anc 661 . . . . . . 7
2822, 18ltaddrpd 11297 . . . . . . 7
2925, 22, 24, 27, 28lelttrd 9751 . . . . . 6
3024, 29elrpd 11266 . . . . 5
313, 30rpdivcld 11285 . . . 4
3219, 31syl5eqel 2559 . . 3
33 ifcl 3987 . . 3
3418, 32, 33syl2anc 661 . 2
35 ipcn.h . . . . 5
36 ipcn.d . . . . 5
374adantr 465 . . . . 5
389adantr 465 . . . . 5
3920adantr 465 . . . . 5
402adantr 465 . . . . 5
41 simprll 761 . . . . 5
42 simprlr 762 . . . . 5
438adantr 465 . . . . . . . 8 NrmGrp
44 ngpms 20988 . . . . . . . 8 NrmGrp
4543, 44syl 16 . . . . . . 7
4610, 36mscl 20832 . . . . . . 7
4745, 38, 41, 46syl3anc 1228 . . . . . 6
4834adantr 465 . . . . . . 7
4948rpred 11268 . . . . . 6
5032rpred 11268 . . . . . . 7
5150adantr 465 . . . . . 6
52 simprrl 763 . . . . . 6
5323adantr 465 . . . . . . 7
54 min2 11402 . . . . . . 7
5553, 51, 54syl2anc 661 . . . . . 6
5647, 49, 51, 52, 55ltletrd 9753 . . . . 5
578, 44syl 16 . . . . . . . 8
5857adantr 465 . . . . . . 7
5910, 36mscl 20832 . . . . . . 7
6058, 39, 42, 59syl3anc 1228 . . . . . 6
61 simprrr 764 . . . . . 6
62 min1 11401 . . . . . . 7
6353, 51, 62syl2anc 661 . . . . . 6
6460, 49, 53, 61, 63ltletrd 9753 . . . . 5
6510, 35, 36, 11, 1, 19, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 56, 64ipcnlem2 21552 . . . 4
6665expr 615 . . 3
6766ralrimivva 2888 . 2
68 breq2 4457 . . . . . 6
69 breq2 4457 . . . . . 6
7068, 69anbi12d 710 . . . . 5
7170imbi1d 317 . . . 4
72712ralbidv 2911 . . 3
7372rspcev 3219 . 2
7434, 67, 73syl2anc 661 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2817  wrex 2818  cif 3945   class class class wbr 4453  cfv 5594  (class class class)co 6295  cr 9503  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   clt 9640   cle 9641   cmin 9817   cdiv 10218  c2 10597  crp 11232  cabs 13047  cbs 14507  cip 14577  cds 14581  cmt 20689  cnm 20965  NrmGrpcngp 20966  NrmModcnlm 20969  ccph 21481 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ico 11547  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-0g 14714  df-topgen 14716  df-xrs 14774  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-ghm 16137  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-unit 17163  df-invr 17193  df-dvr 17204  df-rnghom 17236  df-drng 17269  df-subrg 17298  df-staf 17365  df-srng 17366  df-lmod 17385  df-lmhm 17539  df-lvec 17620  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-phl 18530  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-xms 20691  df-ms 20692  df-nm 20971  df-ngp 20972  df-tng 20973  df-nlm 20975  df-clm 21431  df-cph 21483  df-tch 21484 This theorem is referenced by:  ipcn  21554
 Copyright terms: Public domain W3C validator