MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ipcnlem1 22264
Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcn.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
ipcn.d  |-  D  =  ( dist `  W
)
ipcn.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
ipcn.t  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
ipcn.u  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
ipcn.w  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
ipcn.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
ipcn.b  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
ipcn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ipcnlem1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
Distinct variable groups:    A, r    B, r    D, r    x, y,
ph    x, r, y, T    U, r, x, y    ., , r    R, r    V, r, y
Allowed substitution hints:    ph( r)    A( x, y)    B( x, y)    D( x, y)    R( x, y)    ., ( x, y)    N( x, y, r)    V( x)    W( x, y, r)

Proof of Theorem ipcnlem1
StepHypRef Expression
1 ipcn.t . . . 4  |-  T  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )
2 ipcn.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
32rphalfcld 11381 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  /  2
)  e.  RR+ )
4 ipcn.w . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  CPreHil )
5 cphnlm 22198 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmMod )
64, 5syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e. NrmMod )
7 nlmngp 21728 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmMod  ->  W  e. NrmGrp )
86, 7syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  W  e. NrmGrp )
9 ipcn.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
10 ipcn.v . . . . . . . 8  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 ipcn.n . . . . . . . 8  |-  N  =  ( norm `  W
)
1210, 11nmcl 21677 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  ( N `  A )  e.  RR )
138, 9, 12syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N `  A
)  e.  RR )
1410, 11nmge0 21678 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  A  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  A
) )
158, 9, 14syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  A ) )
1613, 15ge0p1rpd 11396 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  A )  +  1 )  e.  RR+ )
173, 16rpdivcld 11386 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  A
)  +  1 ) )  e.  RR+ )
181, 17syl5eqel 2543 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
19 ipcn.u . . . 4  |-  U  =  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )
20 ipcn.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  V )
2110, 11nmcl 21677 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  ( N `  B )  e.  RR )
228, 20, 21syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  e.  RR )
2318rpred 11369 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
2422, 23readdcld 9695 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N `  B )  +  T
)  e.  RR )
25 0red 9669 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2610, 11nmge0 21678 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e. NrmGrp  /\  B  e.  V )  ->  0  <_  ( N `  B
) )
278, 20, 26syl2anc 671 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( N `  B ) )
2822, 18ltaddrpd 11399 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( N `  B
)  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
2925, 22, 24, 27, 28lelttrd 9818 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( N `  B )  +  T ) )
3024, 29elrpd 11366 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  B )  +  T
)  e.  RR+ )
313, 30rpdivcld 11386 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( R  / 
2 )  /  (
( N `  B
)  +  T ) )  e.  RR+ )
3219, 31syl5eqel 2543 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  RR+ )
3318, 32ifcld 3935 . 2  |-  ( ph  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
34 ipcn.h . . . . 5  |-  .,  =  ( .i `  W )
35 ipcn.d . . . . 5  |-  D  =  ( dist `  W
)
364adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  CPreHil )
379adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  A  e.  V )
3820adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  B  e.  V )
392adantr 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  R  e.  RR+ )
40 simprll 777 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  x  e.  V )
41 simprlr 778 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
y  e.  V )
428adantr 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e. NrmGrp )
43 ngpms 21662 . . . . . . . 8  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
4442, 43syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  MetSp )
4510, 35mscl 21524 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  A  e.  V  /\  x  e.  V )  ->  ( A D x )  e.  RR )
4644, 37, 40, 45syl3anc 1276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  e.  RR )
4733adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+ )
4847rpred 11369 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR )
4932rpred 11369 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  RR )
5049adantr 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  U  e.  RR )
51 simprrl 779 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
5223adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  T  e.  RR )
53 min2 11512 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U
)
5452, 50, 53syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  U )
5546, 48, 50, 51, 54ltletrd 9820 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( A D x )  <  U )
568, 43syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  MetSp )
5756adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  W  e.  MetSp )
5810, 35mscl 21524 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  MetSp  /\  B  e.  V  /\  y  e.  V )  ->  ( B D y )  e.  RR )
5957, 38, 41, 58syl3anc 1276 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  e.  RR )
60 simprrr 780 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
)
61 min1 11511 . . . . . . 7  |-  ( ( T  e.  RR  /\  U  e.  RR )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T
)
6252, 50, 61syl2anc 671 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  ->  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  <_  T )
6359, 48, 52, 60, 62ltletrd 9820 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( B D y )  <  T )
6410, 34, 35, 11, 1, 19, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 55, 63ipcnlem2 22263 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  V  /\  y  e.  V )  /\  ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R )
6564expr 624 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
6665ralrimivva 2820 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
67 breq2 4419 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( A D x )  <  r  <->  ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
68 breq2 4419 . . . . . 6  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( B D y )  <  r  <->  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) ) )
6967, 68anbi12d 722 . . . . 5  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  <-> 
( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )
) ) )
7069imbi1d 323 . . . 4  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  (
( ( ( A D x )  < 
r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
)  <->  ( ( ( A D x )  <  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) ) )
71702ralbidv 2843 . . 3  |-  ( r  =  if ( T  <_  U ,  T ,  U )  ->  ( A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
)  <->  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) ) )
7271rspcev 3161 . 2  |-  ( ( if ( T  <_  U ,  T ,  U )  e.  RR+  /\ 
A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U )  /\  ( B D y )  < 
if ( T  <_  U ,  T ,  U ) )  -> 
( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  ( ( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  < 
r )  ->  ( abs `  ( ( A 
.,  B )  -  ( x  .,  y ) ) )  <  R
) )
7333, 66, 72syl2anc 671 1  |-  ( ph  ->  E. r  e.  RR+  A. x  e.  V  A. y  e.  V  (
( ( A D x )  <  r  /\  ( B D y )  <  r )  ->  ( abs `  (
( A  .,  B
)  -  ( x 
.,  y ) ) )  <  R ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749   ifcif 3892   class class class wbr 4415   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   RRcr 9563   0cc0 9564   1c1 9565    + caddc 9567    < clt 9700    <_ cle 9701    - cmin 9885    / cdiv 10296   2c2 10686   RR+crp 11330   abscabs 13345   Basecbs 15169   .icip 15243   distcds 15247   MetSpcmt 21381   normcnm 21639  NrmGrpcngp 21640  NrmModcnlm 21643   CPreHilccph 22192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-tpos 6998  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-inf 7982  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ico 11669  df-fz 11813  df-seq 12245  df-exp 12304  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-0g 15388  df-topgen 15390  df-xrs 15448  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-mhm 16630  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-subg 16862  df-ghm 16929  df-cmn 17480  df-abl 17481  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-cring 17831  df-oppr 17899  df-dvdsr 17917  df-unit 17918  df-invr 17948  df-dvr 17959  df-rnghom 17991  df-drng 18025  df-subrg 18054  df-staf 18121  df-srng 18122  df-lmod 18141  df-lmhm 18293  df-lvec 18374  df-sra 18443  df-rgmod 18444  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-cnfld 19019  df-phl 19241  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-xms 21383  df-ms 21384  df-nm 21645  df-ngp 21646  df-tng 21647  df-nlm 21649  df-clm 22142  df-cph 22194  df-tch 22195
This theorem is referenced by:  ipcn  22265
  Copyright terms: Public domain W3C validator