Theorem ipcn 22295

Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcn.f	|- ., = ( .if ` W )
ipcn.j	|- J = ( TopOpen ` W )
ipcn.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
ipcn	|- ( W e. CPreHil -> ., e. ( ( J tX J ) Cn K ) )

Proof of Theorem ipcn

Dummy variables s r w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphphl 22227	. . . . 5 |- ( W e. CPreHil -> W e. PreHil )
2		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
3		ipcn.f	. . . . . 6 |- ., = ( .if ` W )
4		eqid 2471	. . . . . 6 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
5		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
6	2, 3, 4, 5	phlipf 19296	. . . . 5 |- ( W e. PreHil -> ., : ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) --> ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
7	1, 6	syl 17	. . . 4 |- ( W e. CPreHil -> ., : ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) --> ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
8		cphclm 22245	. . . . 5 |- ( W e. CPreHil -> W e. CMod )
9	4, 5	clmsscn 22188	. . . . 5 |- ( W e. CMod -> ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ CC )
10	8, 9	syl 17	. . . 4 |- ( W e. CPreHil -> ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ CC )
11	7, 10	fssd 5750	. . 3 |- ( W e. CPreHil -> ., : ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) --> CC )
12		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( .i ` W ) = ( .i ` W )
13		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( dist ` W ) = ( dist ` W )
14		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( norm ` W ) = ( norm ` W )
15		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` W ) ` x ) + 1 ) ) = ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` W ) ` x ) + 1 ) )
16		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` W ) ` y ) + ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` W ) ` x ) + 1 ) ) ) ) = ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` W ) ` y ) + ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` W ) ` x ) + 1 ) ) ) )
17		simpll 768	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> W e. CPreHil )
18		simplrl 778	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> x e. ( Base ` W ) )
19		simplrr 779	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> y e. ( Base ` W ) )
20		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
21	2, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20	ipcnlem1 22294	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` W ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) < r ) )
22	21	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` W ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) < r ) )
23		simplrl 778	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> x e. ( Base ` W ) )
24		simprl 772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> z e. ( Base ` W ) )
25	23, 24	ovresd 6456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) = ( x ( dist ` W ) z ) )
26	25	breq1d 4405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s <-> ( x ( dist ` W ) z ) < s ) )
27		simplrr 779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> y e. ( Base ` W ) )
28		simprr 774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> w e. ( Base ` W ) )
29	27, 28	ovresd 6456	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) = ( y ( dist ` W ) w ) )
30	29	breq1d 4405	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s <-> ( y ( dist ` W ) w ) < s ) )
31	26, 30	anbi12d 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) <-> ( ( x ( dist ` W ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) ) )
32	11	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ., : ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) --> CC )
33	32, 23, 27	fovrnd 6460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( x ., y ) e. CC )
34	32, 24, 28	fovrnd 6460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( z ., w ) e. CC )
35		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
36	35	cnmetdval 21869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x ., y ) e. CC /\ ( z ., w ) e. CC ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) = ( abs ` ( ( x ., y ) - ( z ., w ) ) ) )
37	33, 34, 36	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) = ( abs ` ( ( x ., y ) - ( z ., w ) ) ) )
38	2, 12, 3	ipfval 19293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( x ., y ) = ( x ( .i ` W ) y ) )
39	23, 27, 38	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( x ., y ) = ( x ( .i ` W ) y ) )
40	2, 12, 3	ipfval 19293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) -> ( z ., w ) = ( z ( .i ` W ) w ) )
41	40	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( z ., w ) = ( z ( .i ` W ) w ) )
42	39, 41	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ., y ) - ( z ., w ) ) = ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) )
43	42	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( abs ` ( ( x ., y ) - ( z ., w ) ) ) = ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) )
44	37, 43	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) = ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) )
45	44	breq1d 4405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r <-> ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) < r ) )
46	31, 45	imbi12d 327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) <-> ( ( ( x ( dist ` W ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) < r ) ) )
47	46	2ralbidva 2831	. . . . . . 7 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) <-> A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` W ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) < r ) ) )
48	47	rexbidv 2892	. . . . . 6 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) <-> E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` W ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) < r ) ) )
49	48	ralbidv 2829	. . . . 5 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) <-> A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` W ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) < r ) ) )
50	22, 49	mpbird 240	. . . 4 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) )
51	50	ralrimivva 2814	. . 3 |- ( W e. CPreHil -> A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) )
52		cphngp 22229	. . . . . . 7 |- ( W e. CPreHil -> W e. NrmGrp )
53		ngpms 21692	. . . . . . 7 |- ( W e. NrmGrp -> W e. MetSp )
54	52, 53	syl 17	. . . . . 6 |- ( W e. CPreHil -> W e. MetSp )
55		msxms 21547	. . . . . 6 |- ( W e. MetSp -> W e. *MetSp )
56	54, 55	syl 17	. . . . 5 |- ( W e. CPreHil -> W e. *MetSp )
57		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) = ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) )
58	2, 57	xmsxmet 21549	. . . . 5 |- ( W e. *MetSp -> ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` W ) ) )
59	56, 58	syl 17	. . . 4 |- ( W e. CPreHil -> ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` W ) ) )
60		cnxmet 21871	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
61	60	a1i 11	. . . 4 |- ( W e. CPreHil -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
62		eqid 2471	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) )
63		ipcn.k	. . . . . 6 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
64	63	cnfldtopn 21880	. . . . 5 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
65	62, 62, 64	txmetcn 21641	. . . 4 |- ( ( ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` W ) ) /\ ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) e. ( *Met ` ( Base ` W ) ) /\ ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) ) -> ( ., e. ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) Cn K ) <-> ( ., : ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) --> CC /\ A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) ) ) )
66	59, 59, 61, 65	syl3anc 1292	. . 3 |- ( W e. CPreHil -> ( ., e. ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) Cn K ) <-> ( ., : ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) --> CC /\ A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) ) ) )
67	11, 51, 66	mpbir2and 936	. 2 |- ( W e. CPreHil -> ., e. ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) Cn K ) )
68		ipcn.j	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` W )
69	68, 2, 57	mstopn 21545	. . . . 5 |- ( W e. MetSp -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) )
70	54, 69	syl 17	. . . 4 |- ( W e. CPreHil -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) )
71	70, 70	oveq12d 6326	. . 3 |- ( W e. CPreHil -> ( J tX J ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) )
72	71	oveq1d 6323	. 2 |- ( W e. CPreHil -> ( ( J tX J ) Cn K ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) Cn K ) )
73	67, 72	eleqtrrd 2552	1 |- ( W e. CPreHil -> ., e. ( ( J tX J ) Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   X. cxp 4837   |` cres 4841   o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   1c1 9558   + caddc 9560   < clt 9693   - cmin 9880   / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   abscabs 13374   Basecbs 15199  Scalarcsca 15271   .icip 15273   distcds 15277   TopOpenctopn 15398   *Metcxmt 19032   MetOpencmopn 19037  ℂ_fldccnfld 19047   PreHilcphl 19268   .ifcipf 19269   Cn ccn 20317   tX ctx 20652   *MetSpcxme 21410   MetSpcmt 21411   normcnm 21669  NrmGrpcngp 21670  CModcclm 22171   CPreHilccph 22222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-staf 18151  df-srng 18152  df-lmod 18171  df-lmhm 18323  df-lvec 18404  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-phl 19270  df-ipf 19271  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-tng 21677  df-nlm 21679  df-clm 22172  df-cph 22224  df-tch 22225

This theorem is referenced by:  cnmpt1ip  22296  cnmpt2ip  22297