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Theorem ipcn 22295
Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcn.f  |-  .,  =  ( .if `  W
)
ipcn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
ipcn.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ipcn  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )

Proof of Theorem ipcn
Dummy variables  s 
r  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cphphl 22227 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
2 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 ipcn.f . . . . . 6  |-  .,  =  ( .if `  W
)
4 eqid 2471 . . . . . 6  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
5 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
62, 3, 4, 5phlipf 19296 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  .,  : (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> ( Base `  (Scalar `  W )
) )
71, 6syl 17 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  : (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> ( Base `  (Scalar `  W )
) )
8 cphclm 22245 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. CMod )
94, 5clmsscn 22188 . . . . 5  |-  ( W  e. CMod  ->  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  CC )
108, 9syl 17 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( Base `  (Scalar `  W ) )  C_  CC )
117, 10fssd 5750 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  : (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> CC )
12 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( .i
`  W )  =  ( .i `  W
)
13 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( dist `  W )  =  (
dist `  W )
14 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( norm `  W )  =  (
norm `  W )
15 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  /  ( ( (
norm `  W ) `  x )  +  1 ) )  =  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  W
) `  x )  +  1 ) )
16 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( r  /  2 )  /  ( ( (
norm `  W ) `  y )  +  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  W
) `  x )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( r  /  2
)  /  ( ( ( norm `  W
) `  y )  +  ( ( r  /  2 )  / 
( ( ( norm `  W ) `  x
)  +  1 ) ) ) )
17 simpll 768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  W  e.  CPreHil )
18 simplrl 778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  x  e.  (
Base `  W )
)
19 simplrr 779 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  (
Base `  W )
)
20 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  r  e.  RR+ )
212, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20ipcnlem1 22294 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  r  e.  RR+ )  ->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) )
2221ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) )
23 simplrl 778 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  x  e.  ( Base `  W
) )
24 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  z  e.  ( Base `  W
) )
2523, 24ovresd 6456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  =  ( x ( dist `  W
) z ) )
2625breq1d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( x ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) z )  <  s  <->  ( x ( dist `  W
) z )  < 
s ) )
27 simplrr 779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  y  e.  ( Base `  W
) )
28 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  w  e.  ( Base `  W
) )
2927, 28ovresd 6456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
y ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) w )  =  ( y ( dist `  W
) w ) )
3029breq1d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s  <->  ( y ( dist `  W
) w )  < 
s ) )
3126, 30anbi12d 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( ( x ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  <->  ( (
x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
) ) )
3211ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  .,  :
( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) --> CC )
3332, 23, 27fovrnd 6460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x  .,  y )  e.  CC )
3432, 24, 28fovrnd 6460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
z  .,  w )  e.  CC )
35 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
3635cnmetdval 21869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  .,  y
)  e.  CC  /\  ( z  .,  w
)  e.  CC )  ->  ( ( x 
.,  y ) ( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  =  ( abs `  ( ( x  .,  y )  -  ( z  .,  w ) ) ) )
3733, 34, 36syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( x  .,  y
) ( abs  o.  -  ) ( z 
.,  w ) )  =  ( abs `  (
( x  .,  y
)  -  ( z 
.,  w ) ) ) )
382, 12, 3ipfval 19293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
x  .,  y )  =  ( x ( .i `  W ) y ) )
3923, 27, 38syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
x  .,  y )  =  ( x ( .i `  W ) y ) )
402, 12, 3ipfval 19293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ( Base `  W )  /\  w  e.  ( Base `  W
) )  ->  (
z  .,  w )  =  ( z ( .i `  W ) w ) )
4140adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
z  .,  w )  =  ( z ( .i `  W ) w ) )
4239, 41oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( x  .,  y
)  -  ( z 
.,  w ) )  =  ( ( x ( .i `  W
) y )  -  ( z ( .i
`  W ) w ) ) )
4342fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  ( abs `  ( ( x 
.,  y )  -  ( z  .,  w
) ) )  =  ( abs `  (
( x ( .i
`  W ) y )  -  ( z ( .i `  W
) w ) ) ) )
4437, 43eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( x  .,  y
) ( abs  o.  -  ) ( z 
.,  w ) )  =  ( abs `  (
( x ( .i
`  W ) y )  -  ( z ( .i `  W
) w ) ) ) )
4544breq1d 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( ( x  .,  y ) ( abs 
o.  -  ) (
z  .,  w )
)  <  r  <->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) )
4631, 45imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  ( x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W ) ) )  /\  ( z  e.  ( Base `  W
)  /\  w  e.  ( Base `  W )
) )  ->  (
( ( ( x ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  ->  (
( x  .,  y
) ( abs  o.  -  ) ( z 
.,  w ) )  <  r )  <->  ( (
( x ( dist `  W ) z )  <  s  /\  (
y ( dist `  W
) w )  < 
s )  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W
) y )  -  ( z ( .i
`  W ) w ) ) )  < 
r ) ) )
47462ralbidva 2831 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
)  <->  A. z  e.  (
Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W ) ( ( ( x (
dist `  W )
z )  <  s  /\  ( y ( dist `  W ) w )  <  s )  -> 
( abs `  (
( x ( .i
`  W ) y )  -  ( z ( .i `  W
) w ) ) )  <  r ) ) )
4847rexbidv 2892 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( E. s  e.  RR+  A. z  e.  (
Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W ) ( ( ( x ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) z )  < 
s  /\  ( y
( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  < 
s )  ->  (
( x  .,  y
) ( abs  o.  -  ) ( z 
.,  w ) )  <  r )  <->  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) ) )
4948ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  -> 
( A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
)  <->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( dist `  W
) z )  < 
s  /\  ( y
( dist `  W )
w )  <  s
)  ->  ( abs `  ( ( x ( .i `  W ) y )  -  (
z ( .i `  W ) w ) ) )  <  r
) ) )
5022, 49mpbird 240 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  W )  /\  y  e.  ( Base `  W
) ) )  ->  A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
) )
5150ralrimivva 2814 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  A. x  e.  (
Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
) )
52 cphngp 22229 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e. NrmGrp )
53 ngpms 21692 . . . . . . 7  |-  ( W  e. NrmGrp  ->  W  e.  MetSp )
5452, 53syl 17 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  MetSp )
55 msxms 21547 . . . . . 6  |-  ( W  e.  MetSp  ->  W  e.  *MetSp )
5654, 55syl 17 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  *MetSp )
57 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) )  =  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) )
582, 57xmsxmet 21549 . . . . 5  |-  ( W  e.  *MetSp  ->  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  W
) ) )
5956, 58syl 17 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  W )
) )
60 cnxmet 21871 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
6160a1i 11 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
62 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) )  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) )
63 ipcn.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
6463cnfldtopn 21880 . . . . 5  |-  K  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
6562, 62, 64txmetcn 21641 . . . 4  |-  ( ( ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  W ) )  /\  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) )  e.  ( *Met `  ( Base `  W ) )  /\  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )  ->  (  .,  e.  ( ( (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) 
tX  ( MetOpen `  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  K
)  <->  (  .,  :
( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) --> CC 
/\  A. x  e.  (
Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W
) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
) ) ) )
6659, 59, 61, 65syl3anc 1292 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  (  .,  e.  ( ( ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) )  tX  ( MetOpen
`  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )  Cn  K )  <-> 
(  .,  : (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) --> CC  /\  A. x  e.  ( Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W
) A. r  e.  RR+  E. s  e.  RR+  A. z  e.  ( Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( x ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) z )  <  s  /\  ( y ( (
dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) w )  <  s
)  ->  ( (
x  .,  y )
( abs  o.  -  )
( z  .,  w
) )  <  r
) ) ) )
6711, 51, 66mpbir2and 936 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  e.  (
( ( MetOpen `  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  K ) )
68 ipcn.j . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen `  W )
6968, 2, 57mstopn 21545 . . . . 5  |-  ( W  e.  MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )
7054, 69syl 17 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  J  =  (
MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  (
( Base `  W )  X.  ( Base `  W
) ) ) ) )
7170, 70oveq12d 6326 . . 3  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( J  tX  J )  =  ( ( MetOpen `  ( ( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) ) )
7271oveq1d 6323 . 2  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  ( ( J 
tX  J )  Cn  K )  =  ( ( ( MetOpen `  (
( dist `  W )  |`  ( ( Base `  W
)  X.  ( Base `  W ) ) ) )  tX  ( MetOpen `  ( ( dist `  W
)  |`  ( ( Base `  W )  X.  ( Base `  W ) ) ) ) )  Cn  K ) )
7367, 72eleqtrrd 2552 1  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  .,  e.  (
( J  tX  J
)  Cn  K ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    X. cxp 4837    |` cres 4841    o. ccom 4843   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    - cmin 9880    / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   abscabs 13374   Basecbs 15199  Scalarcsca 15271   .icip 15273   distcds 15277   TopOpenctopn 15398   *Metcxmt 19032   MetOpencmopn 19037  ℂfldccnfld 19047   PreHilcphl 19268   .ifcipf 19269    Cn ccn 20317    tX ctx 20652   *MetSpcxme 21410   MetSpcmt 21411   normcnm 21669  NrmGrpcngp 21670  CModcclm 22171   CPreHilccph 22222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-tpos 6991  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-mhm 16660  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-ghm 16959  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-abl 17511  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-oppr 17929  df-dvdsr 17947  df-unit 17948  df-invr 17978  df-dvr 17989  df-rnghom 18021  df-drng 18055  df-subrg 18084  df-staf 18151  df-srng 18152  df-lmod 18171  df-lmhm 18323  df-lvec 18404  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-phl 19270  df-ipf 19271  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-nm 21675  df-ngp 21676  df-tng 21677  df-nlm 21679  df-clm 22172  df-cph 22224  df-tch 22225
This theorem is referenced by:  cnmpt1ip  22296  cnmpt2ip  22297
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