Theorem ipcn 19153

Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipcn.f	|- ., = ( .i f ` W )
ipcn.j	|- J = ( TopOpen ` W )
ipcn.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
ipcn	|- ( W e. CPreHil -> ., e. ( ( J tX J ) Cn K ) )

Proof of Theorem ipcn

Dummy variables s r w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cphphl 19087	. . . . 5 |- ( W e. CPreHil -> W e. PreHil )
2		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
3		ipcn.f	. . . . . 6 |- ., = ( .i f ` W )
4		eqid 2404	. . . . . 6 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
5		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
6	2, 3, 4, 5	phlipf 16838	. . . . 5 |- ( W e. PreHil -> ., : ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) --> ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
7	1, 6	syl 16	. . . 4 |- ( W e. CPreHil -> ., : ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) --> ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
8		cphclm 19105	. . . . 5 |- ( W e. CPreHil -> W e. CMod )
9	4, 5	clmsscn 19057	. . . . 5 |- ( W e. CMod -> ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ CC )
10	8, 9	syl 16	. . . 4 |- ( W e. CPreHil -> ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ CC )
11		fss 5558	. . . 4 |- ( ( ., : ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) --> ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( Base ` (Scalar ` W ) ) C_ CC ) -> ., : ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) --> CC )
12	7, 10, 11	syl2anc 643	. . 3 |- ( W e. CPreHil -> ., : ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) --> CC )
13		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( .i ` W ) = ( .i ` W )
14		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( dist ` W ) = ( dist ` W )
15		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( norm ` W ) = ( norm ` W )
16		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` W ) ` x ) + 1 ) ) = ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` W ) ` x ) + 1 ) )
17		eqid 2404	. . . . . . 7 |- ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` W ) ` y ) + ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` W ) ` x ) + 1 ) ) ) ) = ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` W ) ` y ) + ( ( r / 2 ) / ( ( ( norm ` W ) ` x ) + 1 ) ) ) )
18		simpll 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> W e. CPreHil )
19		simplrl 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> x e. ( Base ` W ) )
20		simplrr 738	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> y e. ( Base ` W ) )
21		simpr 448	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> r e. RR+ )
22	2, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ipcnlem1 19152	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` W ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) < r ) )
23	22	ralrimiva 2749	. . . . 5 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` W ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) < r ) )
24		simplrl 737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> x e. ( Base ` W ) )
25		simprl 733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> z e. ( Base ` W ) )
26	24, 25	ovresd 6173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) = ( x ( dist ` W ) z ) )
27	26	breq1d 4182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s <-> ( x ( dist ` W ) z ) < s ) )
28		simplrr 738	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> y e. ( Base ` W ) )
29		simprr 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> w e. ( Base ` W ) )
30	28, 29	ovresd 6173	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) = ( y ( dist ` W ) w ) )
31	30	breq1d 4182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s <-> ( y ( dist ` W ) w ) < s ) )
32	27, 31	anbi12d 692	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) <-> ( ( x ( dist ` W ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) ) )
33	12	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ., : ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) --> CC )
34	33, 24, 28	fovrnd 6177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( x ., y ) e. CC )
35	33, 25, 29	fovrnd 6177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( z ., w ) e. CC )
36		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
37	36	cnmetdval 18758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x ., y ) e. CC /\ ( z ., w ) e. CC ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) = ( abs ` ( ( x ., y ) - ( z ., w ) ) ) )
38	34, 35, 37	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) = ( abs ` ( ( x ., y ) - ( z ., w ) ) ) )
39	2, 13, 3	ipfval 16835	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) -> ( x ., y ) = ( x ( .i ` W ) y ) )
40	24, 28, 39	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( x ., y ) = ( x ( .i ` W ) y ) )
41	2, 13, 3	ipfval 16835	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) -> ( z ., w ) = ( z ( .i ` W ) w ) )
42	41	adantl 453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( z ., w ) = ( z ( .i ` W ) w ) )
43	40, 42	oveq12d 6058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ., y ) - ( z ., w ) ) = ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) )
44	43	fveq2d 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( abs ` ( ( x ., y ) - ( z ., w ) ) ) = ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) )
45	38, 44	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) = ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) )
46	45	breq1d 4182	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r <-> ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) < r ) )
47	32, 46	imbi12d 312	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) /\ ( z e. ( Base ` W ) /\ w e. ( Base ` W ) ) ) -> ( ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) <-> ( ( ( x ( dist ` W ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) < r ) ) )
48	47	2ralbidva 2706	. . . . . . 7 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) <-> A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` W ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) < r ) ) )
49	48	rexbidv 2687	. . . . . 6 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) <-> E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` W ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) < r ) ) )
50	49	ralbidv 2686	. . . . 5 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> ( A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) <-> A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( dist ` W ) z ) < s /\ ( y ( dist ` W ) w ) < s ) -> ( abs ` ( ( x ( .i ` W ) y ) - ( z ( .i ` W ) w ) ) ) < r ) ) )
51	23, 50	mpbird 224	. . . 4 |- ( ( W e. CPreHil /\ ( x e. ( Base ` W ) /\ y e. ( Base ` W ) ) ) -> A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) )
52	51	ralrimivva 2758	. . 3 |- ( W e. CPreHil -> A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) )
53		cphngp 19089	. . . . . . 7 |- ( W e. CPreHil -> W e. NrmGrp )
54		ngpms 18600	. . . . . . 7 |- ( W e. NrmGrp -> W e. MetSp )
55	53, 54	syl 16	. . . . . 6 |- ( W e. CPreHil -> W e. MetSp )
56		msxms 18437	. . . . . 6 |- ( W e. MetSp -> W e. * MetSp )
57	55, 56	syl 16	. . . . 5 |- ( W e. CPreHil -> W e. * MetSp )
58		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) = ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) )
59	2, 58	xmsxmet 18439	. . . . 5 |- ( W e. * MetSp -> ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) e. ( * Met ` ( Base ` W ) ) )
60	57, 59	syl 16	. . . 4 |- ( W e. CPreHil -> ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) e. ( * Met ` ( Base ` W ) ) )
61		cnxmet 18760	. . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( * Met ` CC )
62	61	a1i 11	. . . 4 |- ( W e. CPreHil -> ( abs o. - ) e. ( * Met ` CC ) )
63		eqid 2404	. . . . 5 |- ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) = ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) )
64		ipcn.k	. . . . . 6 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
65	64	cnfldtopn 18769	. . . . 5 |- K = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
66	63, 63, 65	txmetcn 18531	. . . 4 |- ( ( ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) e. ( * Met ` ( Base ` W ) ) /\ ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) e. ( * Met ` ( Base ` W ) ) /\ ( abs o. - ) e. ( * Met ` CC ) ) -> ( ., e. ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) Cn K ) <-> ( ., : ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) --> CC /\ A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) ) ) )
67	60, 60, 62, 66	syl3anc 1184	. . 3 |- ( W e. CPreHil -> ( ., e. ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) Cn K ) <-> ( ., : ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) --> CC /\ A. x e. ( Base ` W ) A. y e. ( Base ` W ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( Base ` W ) A. w e. ( Base ` W ) ( ( ( x ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) z ) < s /\ ( y ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) w ) < s ) -> ( ( x ., y ) ( abs o. - ) ( z ., w ) ) < r ) ) ) )
68	12, 52, 67	mpbir2and 889	. 2 |- ( W e. CPreHil -> ., e. ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) Cn K ) )
69		ipcn.j	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` W )
70	69, 2, 58	mstopn 18435	. . . . 5 |- ( W e. MetSp -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) )
71	55, 70	syl 16	. . . 4 |- ( W e. CPreHil -> J = ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) )
72	71, 71	oveq12d 6058	. . 3 |- ( W e. CPreHil -> ( J tX J ) = ( ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) )
73	72	oveq1d 6055	. 2 |- ( W e. CPreHil -> ( ( J tX J ) Cn K ) = ( ( ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) tX ( MetOpen ` ( ( dist ` W ) |` ( ( Base ` W ) X. ( Base ` W ) ) ) ) ) Cn K ) )
74	68, 73	eleqtrrd 2481	1 |- ( W e. CPreHil -> ., e. ( ( J tX J ) Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   X. cxp 4835   |` cres 4839   o. ccom 4841   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   1c1 8947   + caddc 8949   < clt 9076   - cmin 9247   / cdiv 9633   2c2 10005   RR+crp 10568   abscabs 11994   Basecbs 13424  Scalarcsca 13487   .icip 13489   distcds 13493   TopOpenctopn 13604   * Metcxmt 16641   MetOpencmopn 16646  ℂ_fldccnfld 16658   PreHilcphl 16810   .i fcipf 16811   Cn ccn 17242   tX ctx 17545   * MetSpcxme 18300   MetSpcmt 18301   normcnm 18577  NrmGrpcngp 18578  CModcclm 19040   CPreHilccph 19082

This theorem is referenced by:  cnmpt1ip  19154  cnmpt2ip  19155

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-ghm 14959  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-unit 15702  df-invr 15732  df-dvr 15743  df-rnghom 15774  df-drng 15792  df-subrg 15821  df-staf 15888  df-srng 15889  df-lmod 15907  df-lmhm 16053  df-lvec 16130  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-phl 16812  df-ipf 16813  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-nm 18583  df-ngp 18584  df-tng 18585  df-nlm 18587  df-clm 19041  df-cph 19084  df-tch 19085