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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ipcn | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The inner product operation of a complex pre-Hilbert space is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.) |
Ref | Expression |
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ipcn.f |
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ipcn.j |
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ipcn |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | cphphl 22227 |
. . . . 5
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2 | eqid 2471 |
. . . . . 6
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3 | ipcn.f |
. . . . . 6
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4 | eqid 2471 |
. . . . . 6
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5 | eqid 2471 |
. . . . . 6
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6 | 2, 3, 4, 5 | phlipf 19296 |
. . . . 5
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7 | 1, 6 | syl 17 |
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8 | cphclm 22245 |
. . . . 5
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9 | 4, 5 | clmsscn 22188 |
. . . . 5
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10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . 4
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11 | 7, 10 | fssd 5750 |
. . 3
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12 | eqid 2471 |
. . . . . . 7
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13 | eqid 2471 |
. . . . . . 7
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14 | eqid 2471 |
. . . . . . 7
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15 | eqid 2471 |
. . . . . . 7
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16 | eqid 2471 |
. . . . . . 7
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17 | simpll 768 |
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18 | simplrl 778 |
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19 | simplrr 779 |
. . . . . . 7
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20 | simpr 468 |
. . . . . . 7
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21 | 2, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20 | ipcnlem1 22294 |
. . . . . 6
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22 | 21 | ralrimiva 2809 |
. . . . 5
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23 | simplrl 778 |
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25 | 23, 24 | ovresd 6456 |
. . . . . . . . . . 11
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26 | 25 | breq1d 4405 |
. . . . . . . . . 10
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27 | simplrr 779 |
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29 | 27, 28 | ovresd 6456 |
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30 | 29 | breq1d 4405 |
. . . . . . . . . 10
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31 | 26, 30 | anbi12d 725 |
. . . . . . . . 9
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32 | 11 | ad2antrr 740 |
. . . . . . . . . . . . 13
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33 | 32, 23, 27 | fovrnd 6460 |
. . . . . . . . . . . 12
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34 | 32, 24, 28 | fovrnd 6460 |
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35 | eqid 2471 |
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36 | 35 | cnmetdval 21869 |
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37 | 33, 34, 36 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . 11
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38 | 2, 12, 3 | ipfval 19293 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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39 | 23, 27, 38 | syl2anc 673 |
. . . . . . . . . . . . 13
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40 | 2, 12, 3 | ipfval 19293 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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41 | 40 | adantl 473 |
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42 | 39, 41 | oveq12d 6326 |
. . . . . . . . . . . 12
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43 | 42 | fveq2d 5883 |
. . . . . . . . . . 11
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44 | 37, 43 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . . 10
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45 | 44 | breq1d 4405 |
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46 | 31, 45 | imbi12d 327 |
. . . . . . . 8
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47 | 46 | 2ralbidva 2831 |
. . . . . . 7
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48 | 47 | rexbidv 2892 |
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49 | 48 | ralbidv 2829 |
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50 | 22, 49 | mpbird 240 |
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51 | 50 | ralrimivva 2814 |
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52 | cphngp 22229 |
. . . . . . 7
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53 | ngpms 21692 |
. . . . . . 7
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54 | 52, 53 | syl 17 |
. . . . . 6
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55 | msxms 21547 |
. . . . . 6
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56 | 54, 55 | syl 17 |
. . . . 5
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57 | eqid 2471 |
. . . . . 6
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58 | 2, 57 | xmsxmet 21549 |
. . . . 5
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59 | 56, 58 | syl 17 |
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60 | cnxmet 21871 |
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61 | 60 | a1i 11 |
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62 | eqid 2471 |
. . . . 5
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63 | ipcn.k |
. . . . . 6
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64 | 63 | cnfldtopn 21880 |
. . . . 5
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65 | 62, 62, 64 | txmetcn 21641 |
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66 | 59, 59, 61, 65 | syl3anc 1292 |
. . 3
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67 | 11, 51, 66 | mpbir2and 936 |
. 2
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68 | ipcn.j |
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69 | 68, 2, 57 | mstopn 21545 |
. . . . 5
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70 | 54, 69 | syl 17 |
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71 | 70, 70 | oveq12d 6326 |
. . 3
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72 | 71 | oveq1d 6323 |
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73 | 67, 72 | eleqtrrd 2552 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-inf2 8164 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 ax-pre-sup 9635 ax-addf 9636 ax-mulf 9637 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-iin 4272 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-se 4799 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-isom 5598 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-of 6550 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-supp 6934 df-tpos 6991 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-2o 7201 df-oadd 7204 df-er 7381 df-map 7492 df-ixp 7541 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-fin 7591 df-fsupp 7902 df-fi 7943 df-sup 7974 df-inf 7975 df-oi 8043 df-card 8391 df-cda 8616 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-nn 10632 df-2 10690 df-3 10691 df-4 10692 df-5 10693 df-6 10694 df-7 10695 df-8 10696 df-9 10697 df-10 10698 df-n0 10894 df-z 10962 df-dec 11075 df-uz 11183 df-q 11288 df-rp 11326 df-xneg 11432 df-xadd 11433 df-xmul 11434 df-ico 11666 df-icc 11667 df-fz 11811 df-fzo 11943 df-seq 12252 df-exp 12311 df-hash 12554 df-cj 13239 df-re 13240 df-im 13241 df-sqrt 13375 df-abs 13376 df-struct 15201 df-ndx 15202 df-slot 15203 df-base 15204 df-sets 15205 df-ress 15206 df-plusg 15281 df-mulr 15282 df-starv 15283 df-sca 15284 df-vsca 15285 df-ip 15286 df-tset 15287 df-ple 15288 df-ds 15290 df-unif 15291 df-hom 15292 df-cco 15293 df-rest 15399 df-topn 15400 df-0g 15418 df-gsum 15419 df-topgen 15420 df-pt 15421 df-prds 15424 df-xrs 15478 df-qtop 15484 df-imas 15485 df-xps 15488 df-mre 15570 df-mrc 15571 df-acs 15573 df-mgm 16566 df-sgrp 16605 df-mnd 16615 df-mhm 16660 df-submnd 16661 df-grp 16751 df-minusg 16752 df-sbg 16753 df-mulg 16754 df-subg 16892 df-ghm 16959 df-cntz 17049 df-cmn 17510 df-abl 17511 df-mgp 17802 df-ur 17814 df-ring 17860 df-cring 17861 df-oppr 17929 df-dvdsr 17947 df-unit 17948 df-invr 17978 df-dvr 17989 df-rnghom 18021 df-drng 18055 df-subrg 18084 df-staf 18151 df-srng 18152 df-lmod 18171 df-lmhm 18323 df-lvec 18404 df-sra 18473 df-rgmod 18474 df-psmet 19039 df-xmet 19040 df-met 19041 df-bl 19042 df-mopn 19043 df-cnfld 19048 df-phl 19270 df-ipf 19271 df-top 19998 df-bases 19999 df-topon 20000 df-topsp 20001 df-cn 20320 df-cnp 20321 df-tx 20654 df-hmeo 20847 df-xms 21413 df-ms 21414 df-tms 21415 df-nm 21675 df-ngp 21676 df-tng 21677 df-nlm 21679 df-clm 22172 df-cph 22224 df-tch 22225 |
This theorem is referenced by: cnmpt1ip 22296 cnmpt2ip 22297 |
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