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Theorem ipcau2 22192
Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a complex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
tchcph.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
ipcau2.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
ipcau2.c  |-  C  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
ipcau2.3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
ipcau2.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
ipcau2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( N `
 X )  x.  ( N `  Y
) ) )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, F   
x, G    x, V    x, C    ph, x    x, W    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    K( x)    N( x)

Proof of Theorem ipcau2
StepHypRef Expression
1 oveq2 6309 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( 0g `  W )  ->  ( X  .,  Y )  =  ( X  .,  ( 0g `  W ) ) )
21oveq1d 6316 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( 0g `  W )  ->  (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  =  ( ( X 
.,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y  .,  X
) ) )
32breq1d 4430 . . . . 5  |-  ( Y  =  ( 0g `  W )  ->  (
( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  <_  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) )  <->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
4 tchval.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  (toCHil `  W )
5 tchcph.v . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 tchcph.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  (Scalar `  W )
7 tchcph.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
8 tchcph.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
94, 5, 6, 7, 8tchclm 22190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
10 tchcph.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( Base `  F
)
116, 10clmsscn 22094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
129, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
13 ipcau2.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 ipcau2.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
15 tchcph.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  .,  =  ( .i `  W )
166, 15, 5, 10ipcl 19184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .,  Y )  e.  K )
177, 13, 14, 16syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  K )
1812, 17sseldd 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  CC )
1918adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  Y )  e.  CC )
206, 15, 5, 10ipcl 19184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( Y  .,  X )  e.  K )
217, 14, 13, 20syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  K )
2212, 21sseldd 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  CC )
2322adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  X )  e.  CC )
244, 5, 6, 7, 8, 15tchcphlem3 22191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
2514, 24mpdan 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  RR )
2625recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  CC )
2726adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  CC )
286clm0 22087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  F ) )
299, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  =  ( 0g
`  F ) )
3029eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =  0  <-> 
( Y  .,  Y
)  =  ( 0g
`  F ) ) )
31 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
32 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
336, 15, 5, 31, 32ipeq0 19189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V )  ->  (
( Y  .,  Y
)  =  ( 0g
`  F )  <->  Y  =  ( 0g `  W ) ) )
347, 14, 33syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =  ( 0g `  F )  <-> 
Y  =  ( 0g
`  W ) ) )
3530, 34bitrd 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =  0  <-> 
Y  =  ( 0g
`  W ) ) )
3635necon3bid 2682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =/=  0  <->  Y  =/=  ( 0g `  W ) ) )
3736biimpar 487 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  =/=  0
)
3819, 23, 27, 37divassd 10418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
39 ipcau2.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
4039oveq2i 6312 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) )
4138, 40syl6eqr 2481 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  C
) )
42 phllmod 19181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
437, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4443adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  W  e.  LMod )
4513adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  X  e.  V )
4639fveq2i 5880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( * `
 C )  =  ( * `  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) )
4723, 27, 37cjdivd 13272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) ) )  =  ( ( * `  ( Y 
.,  X ) )  /  ( * `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
4846, 47syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  =  ( ( * `  ( Y  .,  X ) )  /  ( * `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
498fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( *r `  F )  =  ( *r `  (flds  K )
) )
50 fvex 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Base `  F )  e.  _V
5110, 50eqeltri 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  K  e. 
_V
52 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
53 cnfldcj 18962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  *  =  ( *r ` fld )
5452, 53ressstarv 15236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( K  e.  _V  ->  *  =  ( *r `  (flds  K ) ) )
5551, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  *  =  ( *r `  (flds  K
) )
5649, 55syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( *r `  F )  =  * )
5756fveq1d 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( *r `  F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( * `
 ( X  .,  Y ) ) )
58 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( *r `  F )  =  ( *r `  F )
596, 15, 5, 58ipcj 19185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
607, 13, 14, 59syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( *r `  F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y 
.,  X ) )
6157, 60eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
6261adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( X  .,  Y
) )  =  ( Y  .,  X ) )
6362fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( * `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( * `
 ( Y  .,  X ) ) )
6419cjcjd 13248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( * `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( X 
.,  Y ) )
6563, 64eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( Y  .,  X
) )  =  ( X  .,  Y ) )
6625adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
6766cjred 13275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( Y  .,  Y
) )  =  ( Y  .,  Y ) )
6865, 67oveq12d 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  ( Y  .,  X ) )  / 
( * `  ( Y  .,  Y ) ) )  =  ( ( X  .,  Y )  /  ( Y  .,  Y ) ) )
6919, 27, 37divrecd 10386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  / 
( Y  .,  Y
) )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) ) )
7048, 68, 693eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) ) )
719adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  W  e. CMod )
7217adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  Y )  e.  K
)
736, 15, 5, 10ipcl 19184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  K )
747, 14, 14, 73syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  K )
7574adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  K
)
768adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  F  =  (flds  K
) )
77 phllvec 19180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
787, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
796lvecdrng 18313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  DivRing )
8180adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  F  e.  DivRing )
8210, 76, 81cphreccllem 22140 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W
) )  /\  ( Y  .,  Y )  e.  K  /\  ( Y 
.,  Y )  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( Y 
.,  Y ) )  e.  K )
8375, 37, 82mpd3an23 1362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )
846, 10clmmcl 22099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  Y )  e.  K  /\  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )  ->  (
( X  .,  Y
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
8571, 72, 83, 84syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
8670, 85eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  e.  K
)
8714adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  Y  e.  V )
88 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
895, 6, 88, 10lmodvscl 18093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
* `  C )  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y )  e.  V )
9044, 86, 87, 89syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )
( .s `  W
) Y )  e.  V )
91 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
925, 91lmodvsubcl 18118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y )  e.  V )  -> 
( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) )  e.  V )
9344, 45, 90, 92syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X
( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  e.  V
)
94 tchcph.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
9594ralrimiva 2839 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x ) )
9695adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  A. x  e.  V  0  <_  ( x  .,  x ) )
97 oveq12 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  /\  x  =  ( X
( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) )  -> 
( x  .,  x
)  =  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) ) )
9897anidms 649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  ->  (
x  .,  x )  =  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) ) )
9998breq2d 4432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( ( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) 
.,  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) ) )
10099rspcv 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  0  <_  ( x  .,  x
)  ->  0  <_  ( ( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) 
.,  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) ) )
10193, 96, 100sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <_  ( ( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) 
.,  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) )
102 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
103 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
1047adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  W  e.  PreHil )
1056, 15, 5, 91, 102, 103, 104, 45, 90, 45, 90ip2subdi 19195 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y )  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X ) ) ) )
10676fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  (flds  K ) ) )
107 cnfldadd 18960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  +  =  ( +g  ` fld )
10852, 107ressplusg 15224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  (flds  K )
) )
10951, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +  =  ( +g  `  (flds  K ) )
110106, 109syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( +g  `  F )  =  +  )
111 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  =  ( X  .,  X ) )
112 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
1136, 15, 5, 10, 88, 112ipass 19196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( * `  C
)  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y )  e.  V ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) ) )
114104, 86, 87, 90, 113syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) ) )
11576fveq2d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( .r `  F )  =  ( .r `  (flds  K ) ) )
116 cnfldmul 18961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x.  =  ( .r ` fld )
11752, 116ressmulr 15235 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  (flds  K
) ) )
11851, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x.  =  ( .r `  (flds  K ) )
119115, 118syl6eqr 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( .r `  F )  =  x.  )
120 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  =  ( * `  C ) )
12123, 27, 37divrecd 10386 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  X )  / 
( Y  .,  Y
) )  =  ( ( Y  .,  X
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) ) )
12239, 121syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  C  =  ( ( Y  .,  X )  x.  (
1  /  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
12321adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  X )  e.  K
)
1246, 10clmmcl 22099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( Y  .,  X )  e.  K  /\  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )  ->  (
( Y  .,  X
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
12571, 123, 83, 124syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  X )  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
126122, 125eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  C  e.  K )
1276, 15, 5, 10, 88, 112, 58ipassr2 19198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( Y  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( Y  .,  ( ( ( *r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
128104, 87, 87, 126, 127syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( Y  .,  ( ( ( *r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
129119oveqd 6318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( ( Y  .,  Y
)  x.  C ) )
13039oveq2i 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  .,  Y )  x.  C )  =  ( ( Y  .,  Y )  x.  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) )
13123, 27, 37divcan2d 10385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y )  x.  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) ) )  =  ( Y 
.,  X ) )
132130, 131syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y )  x.  C )  =  ( Y  .,  X ) )
133129, 132eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( Y  .,  X ) )
13456adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( *r `  F )  =  * )
135134fveq1d 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
*r `  F
) `  C )  =  ( * `  C ) )
136135oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( *r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y )  =  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )
137136oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  ( ( ( *r `  F ) `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( Y  .,  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
138128, 133, 1373eqtr3rd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
139119, 120, 138oveq123d 6322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )
( .r `  F
) ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
140114, 139eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
141110, 111, 140oveq123d 6322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y )  .,  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )
1426, 15, 5, 10, 88, 112, 58ipassr2 19198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( X  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( X  .,  ( ( ( *r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
143104, 45, 87, 126, 142syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( X  .,  ( ( ( *r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
144119oveqd 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  C ) )
145136oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  ( ( ( *r `  F ) `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( X  .,  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
146143, 144, 1453eqtr3rd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  C ) )
1476, 15, 5, 10, 88, 112ipass 19196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( * `  C
)  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  X ) ) )
148104, 86, 87, 45, 147syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  X ) ) )
149119oveqd 6318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )
( .r `  F
) ( Y  .,  X ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
150148, 149eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
151110, 146, 150oveq123d 6322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y )  .,  X
) )  =  ( ( ( X  .,  Y )  x.  C
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )
152141, 151oveq12d 6319 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
) ( +g  `  F
) ( ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y )  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ( -g `  F
) ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
1536, 15, 5, 10ipcl 19184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  K )
154104, 45, 45, 153syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  e.  K
)
1556, 10clmmcl 22099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
* `  C )  e.  K  /\  ( Y  .,  X )  e.  K )  ->  (
( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )
15671, 86, 123, 155syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )  x.  ( Y  .,  X
) )  e.  K
)
1576, 10clmacl 22098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  X )  e.  K  /\  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) )  e.  K )  ->  (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K )
15871, 154, 156, 157syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K )
1596, 10clmmcl 22099 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  Y )  e.  K  /\  C  e.  K )  ->  (
( X  .,  Y
)  x.  C )  e.  K )
16071, 72, 126, 159syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  e.  K
)
1616, 10clmacl 22098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( X  .,  Y
)  x.  C )  e.  K  /\  (
( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )  -> 
( ( ( X 
.,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) ) )  e.  K )
16271, 160, 156, 161syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  C )  +  ( ( * `
 C )  x.  ( Y  .,  X
) ) )  e.  K )
1636, 10clmsub 22095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K  /\  (
( ( X  .,  Y )  x.  C
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K )  -> 
( ( ( X 
.,  X )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  -  ( ( ( X  .,  Y
)  x.  C )  +  ( ( * `
 C )  x.  ( Y  .,  X
) ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( ( * `
 C )  x.  ( Y  .,  X
) ) ) (
-g `  F )
( ( ( X 
.,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) ) ) ) )
16471, 158, 162, 163syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  -  ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( ( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) ) ) ( -g `  F
) ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
1654, 5, 6, 7, 8, 15tchcphlem3 22191 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
16613, 165mpdan 672 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  RR )
167166recnd 9669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  CC )
168167adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  e.  CC )
16918absvalsqd 13489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  (
* `  ( X  .,  Y ) ) ) )
17061oveq2d 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  (
* `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( X 
.,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) ) )
171169, 170eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
17218abscld 13483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  RR )
173172resqcld 12441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  e.  RR )
174171, 173eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  e.  RR )
175174adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  e.  RR )
176175, 66, 37redivcld 10435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
17741, 176eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  e.  RR )
178177recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  e.  CC )
17971, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  K  C_  CC )
180179, 156sseldd 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )  x.  ( Y  .,  X
) )  e.  CC )
181168, 178, 180pnpcan2d 10024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  -  ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C ) ) )
182164, 181eqtr3d 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ( -g `  F
) ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C ) ) )
183105, 152, 1823eqtrd 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) )  =  ( ( X 
.,  X )  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C
) ) )
184101, 183breqtrd 4445 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <_  ( ( X  .,  X
)  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C ) ) )
185166adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
186185, 177subge0d 10203 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( 0  <_  ( ( X 
.,  X )  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C
) )  <->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  <_  ( X  .,  X ) ) )
187184, 186mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  <_  ( X  .,  X ) )
18841, 187eqbrtrd 4441 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  <_ 
( X  .,  X
) )
189 oveq12 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  Y  /\  x  =  Y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( Y 
.,  Y ) )
190189anidms 649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .,  x )  =  ( Y  .,  Y ) )
191190breq2d 4432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( Y  .,  Y ) ) )
192191rspcv 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y
) ) )
19314, 95, 192sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
194193adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
19566, 194, 37ne0gt0d 9772 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <  ( Y  .,  Y ) )
196 ledivmul2 10484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  e.  RR  /\  ( X  .,  X )  e.  RR  /\  ( ( Y  .,  Y )  e.  RR  /\  0  <  ( Y  .,  Y
) ) )  -> 
( ( ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  / 
( Y  .,  Y
) )  <_  ( X  .,  X )  <->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
197175, 185, 66, 195, 196syl112anc 1268 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  <_ 
( X  .,  X
)  <->  ( ( X 
.,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
198188, 197mpbid 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) )
1996, 15, 5, 31, 32ip0r 19188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  F
) )
2007, 13, 199syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  .,  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  F ) )
201200, 29eqtr4d 2466 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  .,  ( 0g `  W ) )  =  0 )
202201oveq1d 6316 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y 
.,  X ) )  =  ( 0  x.  ( Y  .,  X
) ) )
20322mul02d 9831 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  ( Y  .,  X ) )  =  0 )
204202, 203eqtrd 2463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y 
.,  X ) )  =  0 )
205 oveq12 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  X  /\  x  =  X )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( X 
.,  X ) )
206205anidms 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .,  x )  =  ( X  .,  X ) )
207206breq2d 4432 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( X  .,  X ) ) )
208207rspcv 3178 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( X  .,  X
) ) )
20913, 95, 208sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  .,  X ) )
210166, 25, 209, 193mulge0d 10190 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  .,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
211204, 210eqbrtrd 4441 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y 
.,  X ) )  <_  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
2123, 198, 211pm2.61ne 2739 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  <_  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
213166, 209resqrtcld 13465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  RR )
214213recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  CC )
21525, 193resqrtcld 13465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
216215recnd 9669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )
217214, 216sqmuld 12427 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) ) ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ^ 2 ) ) )
218167sqsqrtd 13486 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  =  ( X  .,  X
) )
21926sqsqrtd 13486 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( Y  .,  Y
) )
220218, 219oveq12d 6319 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) ) ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
221217, 220eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .,  X )  x.  ( Y  .,  Y ) ) )
222212, 171, 2213brtr4d 4451 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 ) )
223213, 215remulcld 9671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )
22418absge0d 13491 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( X  .,  Y
) ) )
225166, 209sqrtge0d 13468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
22625, 193sqrtge0d 13468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
227213, 215, 225, 226mulge0d 10190 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
228172, 223, 224, 227le2sqd 12450 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 ) ) )
229222, 228mpbird 235 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
230 lmodgrp 18083 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
23143, 230syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
232 ipcau2.n . . . . 5  |-  N  =  ( norm `  G
)
2334, 232, 5, 15tchnmval 22187 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X
)  =  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
234231, 13, 233syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
2354, 232, 5, 15tchnmval 22187 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y
)  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
236231, 14, 235syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
237234, 236oveq12d 6319 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  x.  ( N `  Y )
)  =  ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
238229, 237breqtrrd 4447 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( N `
 X )  x.  ( N `  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   class class class wbr 4420   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860    / cdiv 10269   2c2 10659   ^cexp 12271   *ccj 13145   sqrcsqrt 13282   abscabs 13283   Basecbs 15106   ↾s cress 15107   +g cplusg 15175   .rcmulr 15176   *rcstv 15177  Scalarcsca 15178   .scvsca 15179   .icip 15180   0gc0g 15323   Grpcgrp 16654   -gcsg 16656   DivRingcdr 17960   LModclmod 18076   LVecclvec 18310  ℂfldccnfld 18955   PreHilcphl 19175   normcnm 21575  CModcclm 22077  toCHilctch 22129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-tpos 6977  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-sup 7958  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-seq 12213  df-exp 12272  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-struct 15108  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-mulr 15189  df-starv 15190  df-sca 15191  df-vsca 15192  df-ip 15193  df-tset 15194  df-ple 15195  df-ds 15197  df-unif 15198  df-0g 15325  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-mhm 16567  df-grp 16658  df-minusg 16659  df-sbg 16660  df-subg 16799  df-ghm 16866  df-cmn 17417  df-abl 17418  df-mgp 17709  df-ur 17721  df-ring 17767  df-cring 17768  df-oppr 17836  df-dvdsr 17854  df-unit 17855  df-invr 17885  df-dvr 17896  df-rnghom 17928  df-drng 17962  df-subrg 17991  df-staf 18058  df-srng 18059  df-lmod 18078  df-lmhm 18230  df-lvec 18311  df-sra 18380  df-rgmod 18381  df-cnfld 18956  df-phl 19177  df-nm 21581  df-tng 21583  df-clm 22078  df-tch 22131
This theorem is referenced by:  tchcphlem1  22193  ipcau  22196
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