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Theorem ipcau2 21405
Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a complex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tchval.n  |-  G  =  (toCHil `  W )
tchcph.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
tchcph.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
tchcph.1  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
tchcph.2  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
tchcph.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
tchcph.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  K  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  K )
tchcph.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
tchcph.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
ipcau2.n  |-  N  =  ( norm `  G
)
ipcau2.c  |-  C  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
ipcau2.3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
ipcau2.4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
ipcau2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( N `
 X )  x.  ( N `  Y
) ) )
Distinct variable groups:    x,  .,    x, F   
x, G    x, V    x, C    ph, x    x, W    x, X    x, Y
Allowed substitution hints:    K( x)    N( x)

Proof of Theorem ipcau2
StepHypRef Expression
1 oveq2 6283 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  ( 0g `  W )  ->  ( X  .,  Y )  =  ( X  .,  ( 0g `  W ) ) )
21oveq1d 6290 . . . . . 6  |-  ( Y  =  ( 0g `  W )  ->  (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  =  ( ( X 
.,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y  .,  X
) ) )
32breq1d 4450 . . . . 5  |-  ( Y  =  ( 0g `  W )  ->  (
( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  <_  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) )  <->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
4 tchval.n . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  (toCHil `  W )
5 tchcph.v . . . . . . . . . . . . 13  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 tchcph.f . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  (Scalar `  W )
7 tchcph.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  W  e.  PreHil )
8 tchcph.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  (flds  K ) )
94, 5, 6, 7, 8tchclm 21403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e. CMod )
10 tchcph.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  ( Base `  F
)
116, 10clmsscn 21307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( W  e. CMod  ->  K  C_  CC )
129, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  C_  CC )
13 ipcau2.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
14 ipcau2.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
15 tchcph.h . . . . . . . . . . . . 13  |-  .,  =  ( .i `  W )
166, 15, 5, 10ipcl 18428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .,  Y )  e.  K )
177, 13, 14, 16syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  K )
1812, 17sseldd 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  .,  Y
)  e.  CC )
1918adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  Y )  e.  CC )
206, 15, 5, 10ipcl 18428 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( Y  .,  X )  e.  K )
217, 14, 13, 20syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  K )
2212, 21sseldd 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  X
)  e.  CC )
2322adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  X )  e.  CC )
244, 5, 6, 7, 8, 15tchcphlem3 21404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
2514, 24mpdan 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  RR )
2625recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  CC )
2726adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  CC )
286clm0 21300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( W  e. CMod  ->  0  =  ( 0g `  F ) )
299, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  =  ( 0g
`  F ) )
3029eqeq2d 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =  0  <-> 
( Y  .,  Y
)  =  ( 0g
`  F ) ) )
31 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
32 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
336, 15, 5, 31, 32ipeq0 18433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V )  ->  (
( Y  .,  Y
)  =  ( 0g
`  F )  <->  Y  =  ( 0g `  W ) ) )
347, 14, 33syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =  ( 0g `  F )  <-> 
Y  =  ( 0g
`  W ) ) )
3530, 34bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =  0  <-> 
Y  =  ( 0g
`  W ) ) )
3635necon3bid 2718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  .,  Y )  =/=  0  <->  Y  =/=  ( 0g `  W ) ) )
3736biimpar 485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  =/=  0
)
3819, 23, 27, 37divassd 10344 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
39 ipcau2.c . . . . . . . . 9  |-  C  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
4039oveq2i 6286 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) )
4138, 40syl6eqr 2519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  C
) )
42 phllmod 18425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
437, 42syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  W  e.  LMod )
4513adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  X  e.  V )
4639fveq2i 5860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( * `
 C )  =  ( * `  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) )
4723, 27, 37cjdivd 13006 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) ) )  =  ( ( * `  ( Y 
.,  X ) )  /  ( * `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
4846, 47syl5eq 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  =  ( ( * `  ( Y  .,  X ) )  /  ( * `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
498fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( *r `  F )  =  ( *r `  (flds  K )
) )
50 fvex 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Base `  F )  e.  _V
5110, 50eqeltri 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  K  e. 
_V
52 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (flds  K )  =  (flds  K )
53 cnfldcj 18191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  *  =  ( *r ` fld )
5452, 53ressstarv 14598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( K  e.  _V  ->  *  =  ( *r `  (flds  K ) ) )
5551, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  *  =  ( *r `  (flds  K
) )
5649, 55syl6eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( *r `  F )  =  * )
5756fveq1d 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( *r `  F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( * `
 ( X  .,  Y ) ) )
58 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( *r `  F )  =  ( *r `  F )
596, 15, 5, 58ipcj 18429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
607, 13, 14, 59syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( *r `  F ) `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y 
.,  X ) )
6157, 60eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( * `  ( X  .,  Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( X  .,  Y
) )  =  ( Y  .,  X ) )
6362fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( * `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( * `
 ( Y  .,  X ) ) )
6419cjcjd 12982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( * `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( X 
.,  Y ) )
6563, 64eqtr3d 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( Y  .,  X
) )  =  ( X  .,  Y ) )
6625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  RR )
6766cjred 13009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  ( Y  .,  Y
) )  =  ( Y  .,  Y ) )
6865, 67oveq12d 6293 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  ( Y  .,  X ) )  / 
( * `  ( Y  .,  Y ) ) )  =  ( ( X  .,  Y )  /  ( Y  .,  Y ) ) )
6919, 27, 37divrecd 10312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  / 
( Y  .,  Y
) )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) ) )
7048, 68, 693eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) ) )
719adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  W  e. CMod )
7217adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  Y )  e.  K
)
736, 15, 5, 10ipcl 18428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  Y  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  K )
747, 14, 14, 73syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Y  .,  Y
)  e.  K )
7574adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  Y )  e.  K
)
768adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  F  =  (flds  K
) )
77 phllvec 18424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LVec )
787, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
796lvecdrng 17527 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  e.  DivRing )
8180adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  F  e.  DivRing )
8210, 76, 81cphreccllem 21353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W
) )  /\  ( Y  .,  Y )  e.  K  /\  ( Y 
.,  Y )  =/=  0 )  ->  (
1  /  ( Y 
.,  Y ) )  e.  K )
8375, 37, 82mpd3an23 1321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )
846, 10clmmcl 21312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  Y )  e.  K  /\  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )  ->  (
( X  .,  Y
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
8571, 72, 83, 84syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
8670, 85eqeltrd 2548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  e.  K
)
8714adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  Y  e.  V )
88 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
895, 6, 88, 10lmodvscl 17305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
* `  C )  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y )  e.  V )
9044, 86, 87, 89syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )
( .s `  W
) Y )  e.  V )
91 eqid 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
925, 91lmodvsubcl 17331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y )  e.  V )  -> 
( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) )  e.  V )
9344, 45, 90, 92syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X
( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  e.  V
)
94 tchcph.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
9594ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x ) )
9695adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  A. x  e.  V  0  <_  ( x  .,  x ) )
97 oveq12 6284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  /\  x  =  ( X
( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) )  -> 
( x  .,  x
)  =  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) ) )
9897anidms 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  ->  (
x  .,  x )  =  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) ) )
9998breq2d 4452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( ( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) 
.,  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) ) )
10099rspcv 3203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  V  ->  ( A. x  e.  V  0  <_  ( x  .,  x
)  ->  0  <_  ( ( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) 
.,  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) ) )
10193, 96, 100sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <_  ( ( X ( -g `  W ) ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) 
.,  ( X (
-g `  W )
( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) )
102 eqid 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
103 eqid 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  F )
1047adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  W  e.  PreHil )
1056, 15, 5, 91, 102, 103, 104, 45, 90, 45, 90ip2subdi 18439 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F
) ( ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y )  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X ) ) ) )
10676fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( +g  `  F )  =  ( +g  `  (flds  K ) ) )
107 cnfldadd 18189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  +  =  ( +g  ` fld )
10852, 107ressplusg 14586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  (flds  K )
) )
10951, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +  =  ( +g  `  (flds  K ) )
110106, 109syl6eqr 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( +g  `  F )  =  +  )
111 eqidd 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  =  ( X  .,  X ) )
112 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
1136, 15, 5, 10, 88, 112ipass 18440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( * `  C
)  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y )  e.  V ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) ) )
114104, 86, 87, 90, 113syl13anc 1225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y ) ) ) )
11576fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( .r `  F )  =  ( .r `  (flds  K ) ) )
116 cnfldmul 18190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x.  =  ( .r ` fld )
11752, 116ressmulr 14597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  (flds  K
) ) )
11851, 117ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x.  =  ( .r `  (flds  K ) )
119115, 118syl6eqr 2519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( .r `  F )  =  x.  )
120 eqidd 2461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( * `  C )  =  ( * `  C ) )
12123, 27, 37divrecd 10312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  X )  / 
( Y  .,  Y
) )  =  ( ( Y  .,  X
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) ) )
12239, 121syl5eq 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  C  =  ( ( Y  .,  X )  x.  (
1  /  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
12321adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  X )  e.  K
)
1246, 10clmmcl 21312 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( Y  .,  X )  e.  K  /\  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  K )  ->  (
( Y  .,  X
)  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
12571, 123, 83, 124syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  X )  x.  ( 1  /  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  K )
126122, 125eqeltrd 2548 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  C  e.  K )
1276, 15, 5, 10, 88, 112, 58ipassr2 18442 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( Y  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( Y  .,  ( ( ( *r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
128104, 87, 87, 126, 127syl13anc 1225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( Y  .,  ( ( ( *r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
129119oveqd 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( ( Y  .,  Y
)  x.  C ) )
13039oveq2i 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y  .,  Y )  x.  C )  =  ( ( Y  .,  Y )  x.  (
( Y  .,  X
)  /  ( Y 
.,  Y ) ) )
13123, 27, 37divcan2d 10311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y )  x.  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) ) )  =  ( Y 
.,  X ) )
132130, 131syl5eq 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y )  x.  C )  =  ( Y  .,  X ) )
133129, 132eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( Y  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( Y  .,  X ) )
13456adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( *r `  F )  =  * )
135134fveq1d 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
*r `  F
) `  C )  =  ( * `  C ) )
136135oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( *r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y )  =  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )
137136oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  ( ( ( *r `  F ) `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( Y  .,  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
138128, 133, 1373eqtr3rd 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  =  ( Y  .,  X ) )
139119, 120, 138oveq123d 6296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )
( .r `  F
) ( Y  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
140114, 139eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
141110, 111, 140oveq123d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  X ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y )  .,  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )
1426, 15, 5, 10, 88, 112, 58ipassr2 18442 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( X  e.  V  /\  Y  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( X  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( X  .,  ( ( ( *r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
143104, 45, 87, 126, 142syl13anc 1225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( X  .,  ( ( ( *r `  F ) `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
144119oveqd 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y ) ( .r `  F ) C )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  C ) )
145136oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  ( ( ( *r `  F ) `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( X  .,  (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) ) )
146143, 144, 1453eqtr3rd 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) )  =  ( ( X  .,  Y
)  x.  C ) )
1476, 15, 5, 10, 88, 112ipass 18440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  (
( * `  C
)  e.  K  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  V )
)  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  X ) ) )
148104, 86, 87, 45, 147syl13anc 1225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X )  =  ( ( * `  C ) ( .r
`  F ) ( Y  .,  X ) ) )
149119oveqd 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )
( .r `  F
) ( Y  .,  X ) )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
150148, 149eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X )  =  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
151110, 146, 150oveq123d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y )  .,  X
) )  =  ( ( ( X  .,  Y )  x.  C
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )
152141, 151oveq12d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
) ( +g  `  F
) ( ( ( * `  C ) ( .s `  W
) Y )  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ) (
-g `  F )
( ( X  .,  ( ( * `  C ) ( .s
`  W ) Y ) ) ( +g  `  F ) ( ( ( * `  C
) ( .s `  W ) Y ) 
.,  X ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ( -g `  F
) ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
1536, 15, 5, 10ipcl 18428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  K )
154104, 45, 45, 153syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  e.  K
)
1556, 10clmmcl 21312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
* `  C )  e.  K  /\  ( Y  .,  X )  e.  K )  ->  (
( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )
15671, 86, 123, 155syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )  x.  ( Y  .,  X
) )  e.  K
)
1576, 10clmacl 21311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  X )  e.  K  /\  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) )  e.  K )  ->  (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K )
15871, 154, 156, 157syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  X )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K )
1596, 10clmmcl 21312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e. CMod  /\  ( X  .,  Y )  e.  K  /\  C  e.  K )  ->  (
( X  .,  Y
)  x.  C )  e.  K )
16071, 72, 126, 159syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  e.  K
)
1616, 10clmacl 21311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( X  .,  Y
)  x.  C )  e.  K  /\  (
( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  e.  K )  -> 
( ( ( X 
.,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) ) )  e.  K )
16271, 160, 156, 161syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  C )  +  ( ( * `
 C )  x.  ( Y  .,  X
) ) )  e.  K )
1636, 10clmsub 21308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e. CMod  /\  (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K  /\  (
( ( X  .,  Y )  x.  C
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  e.  K )  -> 
( ( ( X 
.,  X )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  -  ( ( ( X  .,  Y
)  x.  C )  +  ( ( * `
 C )  x.  ( Y  .,  X
) ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( ( * `
 C )  x.  ( Y  .,  X
) ) ) (
-g `  F )
( ( ( X 
.,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) ) ) ) )
16471, 158, 162, 163syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  -  ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( ( X  .,  X )  +  ( ( * `  C
)  x.  ( Y 
.,  X ) ) ) ( -g `  F
) ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ) )
1654, 5, 6, 7, 8, 15tchcphlem3 21404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
16613, 165mpdan 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  RR )
167166recnd 9611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  .,  X
)  e.  CC )
168167adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  e.  CC )
16918absvalsqd 13222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  (
* `  ( X  .,  Y ) ) ) )
17061oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  (
* `  ( X  .,  Y ) ) )  =  ( ( X 
.,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) ) )
171169, 170eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) ) )
17218abscld 13216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  e.  RR )
173172resqcld 12291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  e.  RR )
174171, 173eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  e.  RR )
175174adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  e.  RR )
176175, 66, 37redivcld 10361 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
17741, 176eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  e.  RR )
178177recnd 9611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  e.  CC )
17971, 11syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  K  C_  CC )
180179, 156sseldd 3498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
* `  C )  x.  ( Y  .,  X
) )  e.  CC )
181168, 178, 180pnpcan2d 9957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) )  -  ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C ) ) )
182164, 181eqtr3d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  X
)  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) ( -g `  F
) ( ( ( X  .,  Y )  x.  C )  +  ( ( * `  C )  x.  ( Y  .,  X ) ) ) )  =  ( ( X  .,  X
)  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C ) ) )
183105, 152, 1823eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) )  .,  ( X ( -g `  W
) ( ( * `
 C ) ( .s `  W ) Y ) ) )  =  ( ( X 
.,  X )  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C
) ) )
184101, 183breqtrd 4464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <_  ( ( X  .,  X
)  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C ) ) )
185166adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( X  .,  X )  e.  RR )
186185, 177subge0d 10131 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( 0  <_  ( ( X 
.,  X )  -  ( ( X  .,  Y )  x.  C
) )  <->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  <_  ( X  .,  X ) ) )
187184, 186mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  C )  <_  ( X  .,  X ) )
18841, 187eqbrtrd 4460 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( X  .,  Y
)  x.  ( Y 
.,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  <_ 
( X  .,  X
) )
189 oveq12 6284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  Y  /\  x  =  Y )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( Y 
.,  Y ) )
190189anidms 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  .,  x )  =  ( Y  .,  Y ) )
191190breq2d 4452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( Y  .,  Y ) ) )
192191rspcv 3203 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y
) ) )
19314, 95, 192sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
194193adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <_  ( Y  .,  Y ) )
19566, 194, 37ne0gt0d 9710 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  0  <  ( Y  .,  Y ) )
196 ledivmul2 10411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  e.  RR  /\  ( X  .,  X )  e.  RR  /\  ( ( Y  .,  Y )  e.  RR  /\  0  <  ( Y  .,  Y
) ) )  -> 
( ( ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  / 
( Y  .,  Y
) )  <_  ( X  .,  X )  <->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
197175, 185, 66, 195, 196syl112anc 1227 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( (
( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  /  ( Y  .,  Y ) )  <_ 
( X  .,  X
)  <->  ( ( X 
.,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) ) )
198188, 197mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =/=  ( 0g `  W ) )  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X
) )  <_  (
( X  .,  X
)  x.  ( Y 
.,  Y ) ) )
1996, 15, 5, 31, 32ip0r 18432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  X  e.  V )  ->  ( X  .,  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  F
) )
2007, 13, 199syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  .,  ( 0g `  W ) )  =  ( 0g `  F ) )
201200, 29eqtr4d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  .,  ( 0g `  W ) )  =  0 )
202201oveq1d 6290 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y 
.,  X ) )  =  ( 0  x.  ( Y  .,  X
) ) )
20322mul02d 9766 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  ( Y  .,  X ) )  =  0 )
204202, 203eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y 
.,  X ) )  =  0 )
205 oveq12 6284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  X  /\  x  =  X )  ->  ( x  .,  x
)  =  ( X 
.,  X ) )
206205anidms 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .,  x )  =  ( X  .,  X ) )
207206breq2d 4452 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
0  <_  ( x  .,  x )  <->  0  <_  ( X  .,  X ) ) )
208207rspcv 3203 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ( A. x  e.  V 
0  <_  ( x  .,  x )  ->  0  <_  ( X  .,  X
) ) )
20913, 95, 208sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( X  .,  X ) )
210166, 25, 209, 193mulge0d 10118 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( X  .,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
211204, 210eqbrtrd 4460 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  ( 0g `  W ) )  x.  ( Y 
.,  X ) )  <_  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
2123, 198, 211pm2.61ne 2775 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  .,  Y )  x.  ( Y  .,  X ) )  <_  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
213166, 209resqrcld 13198 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  RR )
214213recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( X  .,  X ) )  e.  CC )
21525, 193resqrcld 13198 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  RR )
216215recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) )  e.  CC )
217214, 216sqmuld 12277 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) ) ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ^ 2 ) ) )
218167sqsqrd 13219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) ) ^ 2 )  =  ( X  .,  X
) )
21926sqsqrd 13219 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ^ 2 )  =  ( Y  .,  Y
) )
220218, 219oveq12d 6293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) ) ^ 2 )  x.  ( ( sqr `  ( Y 
.,  Y ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( X 
.,  X )  x.  ( Y  .,  Y
) ) )
221217, 220eqtrd 2501 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( X  .,  X )  x.  ( Y  .,  Y ) ) )
222212, 171, 2213brtr4d 4470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 ) )
223213, 215remulcld 9613 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  e.  RR )
22418absge0d 13224 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  ( X  .,  Y
) ) )
225166, 209sqrge0d 13201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
22625, 193sqrge0d 13201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
227213, 215, 225, 226mulge0d 10118 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
228172, 223, 224, 227le2sqd 12300 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) )  <-> 
( ( abs `  ( X  .,  Y ) ) ^ 2 )  <_ 
( ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) ^ 2 ) ) )
229222, 228mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( sqr `  ( X  .,  X
) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
230 lmodgrp 17295 . . . . 5  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
23143, 230syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  Grp )
232 ipcau2.n . . . . 5  |-  N  =  ( norm `  G
)
2334, 232, 5, 15tchnmval 21400 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  X
)  =  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
234231, 13, 233syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  X
)  =  ( sqr `  ( X  .,  X
) ) )
2354, 232, 5, 15tchnmval 21400 . . . 4  |-  ( ( W  e.  Grp  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y
)  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
236231, 14, 235syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N `  Y
)  =  ( sqr `  ( Y  .,  Y
) ) )
237234, 236oveq12d 6293 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( N `  X )  x.  ( N `  Y )
)  =  ( ( sqr `  ( X 
.,  X ) )  x.  ( sqr `  ( Y  .,  Y ) ) ) )
238229, 237breqtrrd 4466 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_  ( ( N `
 X )  x.  ( N `  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   _Vcvv 3106    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794    / cdiv 10195   2c2 10574   ^cexp 12122   *ccj 12879   sqrcsqr 13016   abscabs 13017   Basecbs 14479   ↾s cress 14480   +g cplusg 14544   .rcmulr 14545   *rcstv 14546  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   .icip 14549   0gc0g 14684   Grpcgrp 15716   -gcsg 15719   DivRingcdr 17172   LModclmod 17288   LVecclvec 17524  ℂfldccnfld 18184   PreHilcphl 18419   normcnm 20825  CModcclm 21290  toCHilctch 21342
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-seq 12064  df-exp 12123  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-subg 15986  df-ghm 16053  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-rnghom 17141  df-drng 17174  df-subrg 17203  df-staf 17270  df-srng 17271  df-lmod 17290  df-lmhm 17444  df-lvec 17525  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-cnfld 18185  df-phl 18421  df-nm 20831  df-tng 20833  df-clm 21291  df-tch 21344
This theorem is referenced by:  tchcphlem1  21406  ipcau  21409
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