MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcau Structured version   Unicode version

Theorem ipcau 21863
Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a complex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcau.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcau.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
ipcau.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
Assertion
Ref Expression
ipcau  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( N `  X )  x.  ( N `  Y )
) )

Proof of Theorem ipcau
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2400 . . 3  |-  (toCHil `  W )  =  (toCHil `  W )
2 ipcau.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2400 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 simp1 995 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  CPreHil )
5 cphphl 21800 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
64, 5syl 17 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  PreHil )
7 eqid 2400 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
83, 7cphsca 21808 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  (Scalar `  W )  =  (flds  (
Base `  (Scalar `  W
) ) ) )
94, 8syl 17 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (Scalar `  W )  =  (flds  ( Base `  (Scalar `  W )
) ) )
10 ipcau.h . . 3  |-  .,  =  ( .i `  W )
113, 7cphsqrtcl 21813 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x
) )  ->  ( sqr `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
124, 11sylan 469 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
132, 10ipge0 21827 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
144, 13sylan 469 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  V
)  ->  0  <_  ( x  .,  x ) )
15 eqid 2400 . . 3  |-  ( norm `  (toCHil `  W )
)  =  ( norm `  (toCHil `  W )
)
16 eqid 2400 . . 3  |-  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
17 simp2 996 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  V )
18 simp3 997 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  V )
191, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 14, 7, 15, 16, 17, 18ipcau2 21859 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  X )  x.  ( ( norm `  (toCHil `  W ) ) `  Y ) ) )
20 ipcau.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  W
)
211, 20cphtchnm 21855 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  N  =  (
norm `  (toCHil `  W
) ) )
224, 21syl 17 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  N  =  ( norm `  (toCHil `  W ) ) )
2322fveq1d 5805 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  X )  =  ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  X )
)
2422fveq1d 5805 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y )  =  ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  Y )
)
2523, 24oveq12d 6250 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( N `  X
)  x.  ( N `
 Y ) )  =  ( ( (
norm `  (toCHil `  W
) ) `  X
)  x.  ( (
norm `  (toCHil `  W
) ) `  Y
) ) )
2619, 25breqtrrd 4418 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( N `  X )  x.  ( N `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 972    = wceq 1403    e. wcel 1840   class class class wbr 4392   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   RRcr 9439   0cc0 9440    x. cmul 9445    <_ cle 9577    / cdiv 10165   sqrcsqrt 13120   abscabs 13121   Basecbs 14731   ↾s cress 14732  Scalarcsca 14802   .icip 14804  ℂfldccnfld 18630   PreHilcphl 18847   normcnm 21279   CPreHilccph 21795  toCHilctch 21796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519  ax-mulf 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-tpos 6910  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ico 11504  df-fz 11642  df-seq 12060  df-exp 12119  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-ress 14738  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-0g 14946  df-topgen 14948  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-mhm 16180  df-grp 16271  df-minusg 16272  df-sbg 16273  df-subg 16412  df-ghm 16479  df-cmn 17014  df-abl 17015  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-cring 17411  df-oppr 17482  df-dvdsr 17500  df-unit 17501  df-invr 17531  df-dvr 17542  df-rnghom 17574  df-drng 17608  df-subrg 17637  df-staf 17704  df-srng 17705  df-lmod 17724  df-lmhm 17878  df-lvec 17959  df-sra 18028  df-rgmod 18029  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-cnfld 18631  df-phl 18849  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-topsp 19585  df-xms 21005  df-ms 21006  df-nm 21285  df-ngp 21286  df-tng 21287  df-nlm 21289  df-clm 21745  df-cph 21797  df-tch 21798
This theorem is referenced by:  ipcnlem2  21866
  Copyright terms: Public domain W3C validator