MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcau Structured version   Unicode version

Theorem ipcau 21411
Description: The Cauchy-Schwarz inequality for a complex pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipcau.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipcau.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
ipcau.n  |-  N  =  ( norm `  W
)
Assertion
Ref Expression
ipcau  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( N `  X )  x.  ( N `  Y )
) )

Proof of Theorem ipcau
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . 3  |-  (toCHil `  W )  =  (toCHil `  W )
2 ipcau.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2462 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
4 simp1 991 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  CPreHil )
5 cphphl 21348 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  W  e.  PreHil )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  W  e.  PreHil )
7 eqid 2462 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
83, 7cphsca 21356 . . . 4  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  (Scalar `  W )  =  (flds  (
Base `  (Scalar `  W
) ) ) )
94, 8syl 16 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (Scalar `  W )  =  (flds  ( Base `  (Scalar `  W )
) ) )
10 ipcau.h . . 3  |-  .,  =  ( .i `  W )
113, 7cphsqrcl 21361 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  (
x  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x
) )  ->  ( sqr `  x )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
124, 11sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  ( x  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )  -> 
( sqr `  x
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
132, 10ipge0 21375 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  x  e.  V )  ->  0  <_  ( x  .,  x
) )
144, 13sylan 471 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  /\  x  e.  V
)  ->  0  <_  ( x  .,  x ) )
15 eqid 2462 . . 3  |-  ( norm `  (toCHil `  W )
)  =  ( norm `  (toCHil `  W )
)
16 eqid 2462 . . 3  |-  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )  =  ( ( Y  .,  X )  /  ( Y  .,  Y ) )
17 simp2 992 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  X  e.  V )
18 simp3 993 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  Y  e.  V )
191, 2, 3, 6, 9, 10, 12, 14, 7, 15, 16, 17, 18ipcau2 21407 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  X )  x.  ( ( norm `  (toCHil `  W ) ) `  Y ) ) )
20 ipcau.n . . . . . 6  |-  N  =  ( norm `  W
)
211, 20cphtchnm 21403 . . . . 5  |-  ( W  e.  CPreHil  ->  N  =  (
norm `  (toCHil `  W
) ) )
224, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  N  =  ( norm `  (toCHil `  W ) ) )
2322fveq1d 5861 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  X )  =  ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  X )
)
2422fveq1d 5861 . . 3  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  Y )  =  ( ( norm `  (toCHil `  W )
) `  Y )
)
2523, 24oveq12d 6295 . 2  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( N `  X
)  x.  ( N `
 Y ) )  =  ( ( (
norm `  (toCHil `  W
) ) `  X
)  x.  ( (
norm `  (toCHil `  W
) ) `  Y
) ) )
2619, 25breqtrrd 4468 1  |-  ( ( W  e.  CPreHil  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( abs `  ( X  .,  Y ) )  <_ 
( ( N `  X )  x.  ( N `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483    x. cmul 9488    <_ cle 9620    / cdiv 10197   sqrcsqr 13018   abscabs 13019   Basecbs 14481   ↾s cress 14482  Scalarcsca 14549   .icip 14551  ℂfldccnfld 18186   PreHilcphl 18421   normcnm 20827   CPreHilccph 21343  toCHilctch 21344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-tpos 6947  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ico 11526  df-fz 11664  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-sets 14487  df-ress 14488  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-sca 14562  df-vsca 14563  df-ip 14564  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-0g 14688  df-topgen 14690  df-mnd 15723  df-mhm 15772  df-grp 15853  df-minusg 15854  df-sbg 15855  df-subg 15988  df-ghm 16055  df-cmn 16591  df-abl 16592  df-mgp 16927  df-ur 16939  df-rng 16983  df-cring 16984  df-oppr 17051  df-dvdsr 17069  df-unit 17070  df-invr 17100  df-dvr 17111  df-rnghom 17143  df-drng 17176  df-subrg 17205  df-staf 17272  df-srng 17273  df-lmod 17292  df-lmhm 17446  df-lvec 17527  df-sra 17596  df-rgmod 17597  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-cnfld 18187  df-phl 18423  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-xms 20553  df-ms 20554  df-nm 20833  df-ngp 20834  df-tng 20835  df-nlm 20837  df-clm 21293  df-cph 21345  df-tch 21346
This theorem is referenced by:  ipcnlem2  21414
  Copyright terms: Public domain W3C validator