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Theorem ipblnfi 24079
Description: A function  F generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector  A) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to  CC. (Contributed by NM, 12-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ipblnfi.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ipblnfi.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ipblnfi.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipblnfi.c  |-  C  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
ipblnfi.l  |-  B  =  ( U  BLnOp  C )
ipblnfi.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( x P A ) )
Assertion
Ref Expression
ipblnfi  |-  ( A  e.  X  ->  F  e.  B )
Distinct variable groups:    x, A    x, U    x, X    x, P
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    F( x)

Proof of Theorem ipblnfi
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ipblnfi.9 . . . . . . 7  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 24039 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
3 ipblnfi.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 ipblnfi.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
53, 4dipcl 23933 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  (
x P A )  e.  CC )
62, 5mp3an1 1294 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( x P A )  e.  CC )
76ancoms 450 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x P A )  e.  CC )
8 ipblnfi.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( x P A ) )
97, 8fmptd 5855 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  F : X --> CC )
10 eqid 2433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .sOLD `  U )  =  ( .sOLD `  U )
113, 10nvscl 23829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  (
y ( .sOLD `  U ) z )  e.  X )
122, 11mp3an1 1294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  ( y ( .sOLD `  U ) z )  e.  X
)
1312ad2ant2lr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( y ( .sOLD `  U ) z )  e.  X
)
14 simprr 749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  w  e.  X )
15 simpll 746 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  ->  A  e.  X )
16 eqid 2433 . . . . . . . . . 10  |-  ( +v
`  U )  =  ( +v `  U
)
173, 16, 4dipdir 24065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  CPreHil OLD  /\  ( ( y ( .sOLD `  U
) z )  e.  X  /\  w  e.  X  /\  A  e.  X ) )  -> 
( ( ( y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v `  U
) w ) P A )  =  ( ( ( y ( .sOLD `  U
) z ) P A )  +  ( w P A ) ) )
181, 17mpan 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y ( .sOLD `  U ) z )  e.  X  /\  w  e.  X  /\  A  e.  X
)  ->  ( (
( y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v
`  U ) w ) P A )  =  ( ( ( y ( .sOLD `  U ) z ) P A )  +  ( w P A ) ) )
1913, 14, 15, 18syl3anc 1211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( ( y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v `  U
) w ) P A )  =  ( ( ( y ( .sOLD `  U
) z ) P A )  +  ( w P A ) ) )
20 simplr 747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
y  e.  CC )
21 simprl 748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
z  e.  X )
223, 16, 10, 4, 1ipassi 24064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( ( y ( .sOLD `  U
) z ) P A )  =  ( y  x.  ( z P A ) ) )
2320, 21, 15, 22syl3anc 1211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( y ( .sOLD `  U
) z ) P A )  =  ( y  x.  ( z P A ) ) )
2423oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( ( y ( .sOLD `  U ) z ) P A )  +  ( w P A ) )  =  ( ( y  x.  (
z P A ) )  +  ( w P A ) ) )
2519, 24eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( ( y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v `  U
) w ) P A )  =  ( ( y  x.  (
z P A ) )  +  ( w P A ) ) )
2612adantll 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  z  e.  X
)  ->  ( y
( .sOLD `  U ) z )  e.  X )
273, 16nvgcl 23821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
y ( .sOLD `  U ) z )  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  (
( y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v
`  U ) w )  e.  X )
282, 27mp3an1 1294 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y ( .sOLD `  U ) z )  e.  X  /\  w  e.  X
)  ->  ( (
y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v `  U
) w )  e.  X )
2926, 28sylan 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  z  e.  X )  /\  w  e.  X )  ->  (
( y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v
`  U ) w )  e.  X )
3029anasss 640 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( y ( .sOLD `  U
) z ) ( +v `  U ) w )  e.  X
)
31 oveq1 6087 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v `  U
) w )  -> 
( x P A )  =  ( ( ( y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v
`  U ) w ) P A ) )
32 ovex 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v
`  U ) w ) P A )  e.  _V
3331, 8, 32fvmpt 5762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v
`  U ) w )  e.  X  -> 
( F `  (
( y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v
`  U ) w ) )  =  ( ( ( y ( .sOLD `  U
) z ) ( +v `  U ) w ) P A ) )
3430, 33syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v
`  U ) w ) )  =  ( ( ( y ( .sOLD `  U
) z ) ( +v `  U ) w ) P A ) )
35 oveq1 6087 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x P A )  =  ( z P A ) )
36 ovex 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( z P A )  e. 
_V
3735, 8, 36fvmpt 5762 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  X  ->  ( F `  z )  =  ( z P A ) )
3837ad2antrl 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  z
)  =  ( z P A ) )
3938oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( y  x.  ( F `  z )
)  =  ( y  x.  ( z P A ) ) )
40 oveq1 6087 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
x P A )  =  ( w P A ) )
41 ovex 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( w P A )  e. 
_V
4240, 8, 41fvmpt 5762 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  X  ->  ( F `  w )  =  ( w P A ) )
4342ad2antll 721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  w
)  =  ( w P A ) )
4439, 43oveq12d 6098 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( y  x.  ( F `  z
) )  +  ( F `  w ) )  =  ( ( y  x.  ( z P A ) )  +  ( w P A ) ) )
4525, 34, 443eqtr4d 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X ) )  -> 
( F `  (
( y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v
`  U ) w ) )  =  ( ( y  x.  ( F `  z )
)  +  ( F `
 w ) ) )
4645ralrimivva 2798 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  CC )  ->  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( F `  ( ( y ( .sOLD `  U ) z ) ( +v `  U
) w ) )  =  ( ( y  x.  ( F `  z ) )  +  ( F `  w
) ) )
4746ralrimiva 2789 . . 3  |-  ( A  e.  X  ->  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( F `  ( ( y ( .sOLD `  U
) z ) ( +v `  U ) w ) )  =  ( ( y  x.  ( F `  z
) )  +  ( F `  w ) ) )
48 ipblnfi.c . . . . 5  |-  C  = 
<. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
4948cnnv 23890 . . . 4  |-  C  e.  NrmCVec
5048cnnvba 23892 . . . . 5  |-  CC  =  ( BaseSet `  C )
5148cnnvg 23891 . . . . 5  |-  +  =  ( +v `  C )
5248cnnvs 23894 . . . . 5  |-  x.  =  ( .sOLD `  C
)
53 eqid 2433 . . . . 5  |-  ( U 
LnOp  C )  =  ( U  LnOp  C )
543, 50, 16, 51, 10, 52, 53islno 23976 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  NrmCVec )  ->  ( F  e.  ( U  LnOp  C )  <->  ( F : X --> CC  /\  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( F `  ( ( y ( .sOLD `  U
) z ) ( +v `  U ) w ) )  =  ( ( y  x.  ( F `  z
) )  +  ( F `  w ) ) ) ) )
552, 49, 54mp2an 665 . . 3  |-  ( F  e.  ( U  LnOp  C )  <->  ( F : X
--> CC  /\  A. y  e.  CC  A. z  e.  X  A. w  e.  X  ( F `  ( ( y ( .sOLD `  U
) z ) ( +v `  U ) w ) )  =  ( ( y  x.  ( F `  z
) )  +  ( F `  w ) ) ) )
569, 47, 55sylanbrc 657 . 2  |-  ( A  e.  X  ->  F  e.  ( U  LnOp  C
) )
57 eqid 2433 . . . 4  |-  ( normCV `  U )  =  (
normCV
`  U )
583, 57nvcl 23870 . . 3  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  A )  e.  RR )
592, 58mpan 663 . 2  |-  ( A  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  A )  e.  RR )
603, 57, 4, 1sii 24077 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( abs `  (
z P A ) )  <_  ( (
( normCV `  U ) `  z )  x.  (
( normCV `  U ) `  A ) ) )
6160ancoms 450 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( abs `  (
z P A ) )  <_  ( (
( normCV `  U ) `  z )  x.  (
( normCV `  U ) `  A ) ) )
6237adantl 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( F `  z
)  =  ( z P A ) )
6362fveq2d 5683 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  =  ( abs `  ( z P A ) ) )
6459recnd 9400 . . . . 5  |-  ( A  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  A )  e.  CC )
653, 57nvcl 23870 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR )
662, 65mpan 663 . . . . . 6  |-  ( z  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  RR )
6766recnd 9400 . . . . 5  |-  ( z  e.  X  ->  (
( normCV `  U ) `  z )  e.  CC )
68 mulcom 9356 . . . . 5  |-  ( ( ( ( normCV `  U
) `  A )  e.  CC  /\  ( (
normCV
`  U ) `  z )  e.  CC )  ->  ( ( (
normCV
`  U ) `  A )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  z
)  x.  ( (
normCV
`  U ) `  A ) ) )
6964, 67, 68syl2an 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( ( normCV `  U ) `  A
)  x.  ( (
normCV
`  U ) `  z ) )  =  ( ( ( normCV `  U ) `  z
)  x.  ( (
normCV
`  U ) `  A ) ) )
7061, 63, 693brtr4d 4310 . . 3  |-  ( ( A  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( (
( normCV `  U ) `  A )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )
7170ralrimiva 2789 . 2  |-  ( A  e.  X  ->  A. z  e.  X  ( abs `  ( F `  z
) )  <_  (
( ( normCV `  U
) `  A )  x.  ( ( normCV `  U
) `  z )
) )
7248cnnvnm 23895 . . 3  |-  abs  =  ( normCV `  C )
73 ipblnfi.l . . 3  |-  B  =  ( U  BLnOp  C )
743, 57, 72, 53, 73, 2, 49blo3i 24025 . 2  |-  ( ( F  e.  ( U 
LnOp  C )  /\  (
( normCV `  U ) `  A )  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( ( (
normCV
`  U ) `  A )  x.  (
( normCV `  U ) `  z ) ) )  ->  F  e.  B
)
7556, 59, 71, 74syl3anc 1211 1  |-  ( A  e.  X  ->  F  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   A.wral 2705   <.cop 3871   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269    + caddc 9273    x. cmul 9275    <_ cle 9407   abscabs 12707   NrmCVeccnv 23785   +vcpv 23786   BaseSetcba 23787   .sOLDcns 23788   normCVcnmcv 23791   .iOLDcdip 23918    LnOp clno 23963    BLnOp cblo 23965   CPreHil OLDccphlo 24035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-t1 18760  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-grpo 23501  df-gid 23502  df-ginv 23503  df-gdiv 23504  df-ablo 23592  df-vc 23747  df-nv 23793  df-va 23796  df-ba 23797  df-sm 23798  df-0v 23799  df-vs 23800  df-nmcv 23801  df-ims 23802  df-dip 23919  df-lno 23967  df-nmoo 23968  df-blo 23969  df-0o 23970  df-ph 24036
This theorem is referenced by:  htthlem  24142
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