Theorem ipblnfi 9857

Description: A function F generated by varying the first argument of an inner product (with its second argument a fixed vector A) is a bounded linear functional, i.e. a bounded linear operator from the vector space to CC.

Hypotheses

Ref	Expression
ipblnfi.1	|- X = (BaseSet` U)
ipblnfi.7	|- P = (.i` U)
ipblnfi.9	|- U e. CPreHil
ipblnfi.c	|- C = <.<. + , x. >., abs>.
ipblnfi.l	|- B = (U BLnOp C)
ipblnfi.f	|- F = {<.x, y>. | (x e. X /\ y = (xPA))}

Assertion

Ref	Expression
ipblnfi	|- (A e. X -> F e. B)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,P,y   x,U,y   x,X,y

Proof of Theorem ipblnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ipblnfi.9	. . . . 5 |- U e. CPreHil
2	1	phnvi 9816	. . . 4 |- U e. NrmCVec
3		ipblnfi.c	. . . . 5 |- C = <.<. + , x. >., abs>.
4	3	cnnv 9639	. . . 4 |- C e. NrmCVec
5		ipblnfi.1	. . . . 5 |- X = (BaseSet` U)
6	3	cnnvba 9641	. . . . 5 |- CC = (BaseSet` C)
7		eqid 1884	. . . . 5 |- (+v` U) = (+v` U)
8	3	cnnvg 9640	. . . . 5 |- + = (+v` C)
9		eqid 1884	. . . . 5 |- (.s` U) = (.s` U)
10	3	cnnvs 9643	. . . . 5 |- x. = (.s` C)
11		eqid 1884	. . . . 5 |- (U LnOp C) = (U LnOp C)
12	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	islno 9753	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ C e. NrmCVec) -> (F e. (U LnOp C) <-> (F:X-->CC /\ A.z e. X A.w e. CC A.v e. X (F` (z(+v` U)(w(.s` U)v))) = ((F` z) + (w x. (F` v))))))
13	2, 4, 12	mp2an 761	. . 3 |- (F e. (U LnOp C) <-> (F:X-->CC /\ A.z e. X A.w e. CC A.v e. X (F` (z(+v` U)(w(.s` U)v))) = ((F` z) + (w x. (F` v)))))
14		ipblnfi.7	. . . . . . . 8 |- P = (.i` U)
15	5, 14	ipcl 9704	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. X /\ A e. X) -> (xPA) e. CC)
16	2, 15	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- ((x e. X /\ A e. X) -> (xPA) e. CC)
17	16	ancoms 484	. . . . 5 |- ((A e. X /\ x e. X) -> (xPA) e. CC)
18	17	r19.21aiva 2176	. . . 4 |- (A e. X -> A.x e. X (xPA) e. CC)
19		ipblnfi.f	. . . . 5 |- F = {<.x, y>. | (x e. X /\ y = (xPA))}
20	19	fopab2 4796	. . . 4 |- (A.x e. X (xPA) e. CC <-> F:X-->CC)
21	18, 20	sylib 215	. . 3 |- (A e. X -> F:X-->CC)
22	5, 7, 14	ipdir 9843	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. CPreHil /\ (z e. X /\ (w(.s` U)v) e. X /\ A e. X)) -> ((z(+v` U)(w(.s` U)v))PA) = ((zPA) + ((w(.s` U)v)PA)))
23	1, 22	mpan 759	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. X /\ (w(.s` U)v) e. X /\ A e. X) -> ((z(+v` U)(w(.s` U)v))PA) = ((zPA) + ((w(.s` U)v)PA)))
24	5, 9	nvscl 9579	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ w e. CC /\ v e. X) -> (w(.s` U)v) e. X)
25	2, 24	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. CC /\ v e. X) -> (w(.s` U)v) e. X)
26	23, 25	syl3an2 1131	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. X /\ (w e. CC /\ v e. X) /\ A e. X) -> ((z(+v` U)(w(.s` U)v))PA) = ((zPA) + ((w(.s` U)v)PA)))
27	26	3expa 1067	. . . . . . . . 9 |- (((z e. X /\ (w e. CC /\ v e. X)) /\ A e. X) -> ((z(+v` U)(w(.s` U)v))PA) = ((zPA) + ((w(.s` U)v)PA)))
28	5, 7	nvgcl 9571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ z e. X /\ (w(.s` U)v) e. X) -> (z(+v` U)(w(.s` U)v)) e. X)
29	2, 28	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. X /\ (w(.s` U)v) e. X) -> (z(+v` U)(w(.s` U)v)) e. X)
30	29, 25	sylan2 500	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. X /\ (w e. CC /\ v e. X)) -> (z(+v` U)(w(.s` U)v)) e. X)
31		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (z(+v` U)(w(.s` U)v)) -> (xPA) = ((z(+v` U)(w(.s` U)v))PA))
32		oprex 4907	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z(+v` U)(w(.s` U)v))PA) e. _V
33	31, 19, 32	fvopab4 4743	. . . . . . . . . . 11 |- ((z(+v` U)(w(.s` U)v)) e. X -> (F` (z(+v` U)(w(.s` U)v))) = ((z(+v` U)(w(.s` U)v))PA))
34	30, 33	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. X /\ (w e. CC /\ v e. X)) -> (F` (z(+v` U)(w(.s` U)v))) = ((z(+v` U)(w(.s` U)v))PA))
35	34	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- (((z e. X /\ (w e. CC /\ v e. X)) /\ A e. X) -> (F` (z(+v` U)(w(.s` U)v))) = ((z(+v` U)(w(.s` U)v))PA))
36		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = z -> (xPA) = (zPA))
37		oprex 4907	. . . . . . . . . . . 12 |- (zPA) e. _V
38	36, 19, 37	fvopab4 4743	. . . . . . . . . . 11 |- (z e. X -> (F` z) = (zPA))
39	38	ad2antrr 440	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. X /\ (w e. CC /\ v e. X)) /\ A e. X) -> (F` z) = (zPA))
40		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = v -> (xPA) = (vPA))
41		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (vPA) e. _V
42	40, 19, 41	fvopab4 4743	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (v e. X -> (F` v) = (vPA))
43	42	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v e. X -> (w x. (F` v)) = (w x. (vPA)))
44	43	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. CC /\ v e. X) -> (w x. (F` v)) = (w x. (vPA)))
45	44	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . 11 |- (((z e. X /\ (w e. CC /\ v e. X)) /\ A e. X) -> (w x. (F` v)) = (w x. (vPA)))
46	5, 7, 9, 14, 1	ipassi 9842	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. CC /\ v e. X /\ A e. X) -> ((w(.s` U)v)PA) = (w x. (vPA)))
47	46	3expa 1067	. . . . . . . . . . . 12 |- (((w e. CC /\ v e. X) /\ A e. X) -> ((w(.s` U)v)PA) = (w x. (vPA)))
48	47	adantll 428	. . . . . . . . . . 11 |- (((z e. X /\ (w e. CC /\ v e. X)) /\ A e. X) -> ((w(.s` U)v)PA) = (w x. (vPA)))
49	45, 48	eqtr4d 1928	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. X /\ (w e. CC /\ v e. X)) /\ A e. X) -> (w x. (F` v)) = ((w(.s` U)v)PA))
50	39, 49	opreq12d 4900	. . . . . . . . 9 |- (((z e. X /\ (w e. CC /\ v e. X)) /\ A e. X) -> ((F` z) + (w x. (F` v))) = ((zPA) + ((w(.s` U)v)PA)))
51	27, 35, 50	3eqtr4d 1937	. . . . . . . 8 |- (((z e. X /\ (w e. CC /\ v e. X)) /\ A e. X) -> (F` (z(+v` U)(w(.s` U)v))) = ((F` z) + (w x. (F` v))))
52	51	exp42 414	. . . . . . 7 |- (z e. X -> (w e. CC -> (v e. X -> (A e. X -> (F` (z(+v` U)(w(.s` U)v))) = ((F` z) + (w x. (F` v)))))))
53	52	com4r 45	. . . . . 6 |- (A e. X -> (z e. X -> (w e. CC -> (v e. X -> (F` (z(+v` U)(w(.s` U)v))) = ((F` z) + (w x. (F` v)))))))
54	53	imp3a 388	. . . . 5 |- (A e. X -> ((z e. X /\ w e. CC) -> (v e. X -> (F` (z(+v` U)(w(.s` U)v))) = ((F` z) + (w x. (F` v))))))
55	54	r19.21adv 2181	. . . 4 |- (A e. X -> ((z e. X /\ w e. CC) -> A.v e. X (F` (z(+v` U)(w(.s` U)v))) = ((F` z) + (w x. (F` v)))))
56	55	r19.21aivv 2183	. . 3 |- (A e. X -> A.z e. X A.w e. CC A.v e. X (F` (z(+v` U)(w(.s` U)v))) = ((F` z) + (w x. (F` v))))
57	13, 21, 56	sylanbrc 527	. 2 |- (A e. X -> F e. (U LnOp C))
58		eqid 1884	. . . 4 |- (norm` U) = (norm` U)
59	5, 58	nvcl 9619	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((norm` U)` A) e. RR)
60	2, 59	mpan 759	. 2 |- (A e. X -> ((norm` U)` A) e. RR)
61	5, 58, 14, 1	sii 9855	. . . . 5 |- ((z e. X /\ A e. X) -> (abs` (zPA)) <_ (((norm` U)` z) x. ((norm` U)` A)))
62	61	ancoms 484	. . . 4 |- ((A e. X /\ z e. X) -> (abs` (zPA)) <_ (((norm` U)` z) x. ((norm` U)` A)))
63	38	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. X /\ z e. X) -> (F` z) = (zPA))
64	63	fveq2d 4685	. . . 4 |- ((A e. X /\ z e. X) -> (abs` (F` z)) = (abs` (zPA)))
65		mulcom 6459	. . . . 5 |- ((((norm` U)` A) e. CC /\ ((norm` U)` z) e. CC) -> (((norm` U)` A) x. ((norm` U)` z)) = (((norm` U)` z) x. ((norm` U)` A)))
66	60	recnd 6468	. . . . 5 |- (A e. X -> ((norm` U)` A) e. CC)
67	5, 58	nvcl 9619	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ z e. X) -> ((norm` U)` z) e. RR)
68	2, 67	mpan 759	. . . . . 6 |- (z e. X -> ((norm` U)` z) e. RR)
69	68	recnd 6468	. . . . 5 |- (z e. X -> ((norm` U)` z) e. CC)
70	65, 66, 69	syl2an 503	. . . 4 |- ((A e. X /\ z e. X) -> (((norm` U)` A) x. ((norm` U)` z)) = (((norm` U)` z) x. ((norm` U)` A)))
71	62, 64, 70	3brtr4d 3367	. . 3 |- ((A e. X /\ z e. X) -> (abs` (F` z)) <_ (((norm` U)` A) x. ((norm` U)` z)))
72	71	r19.21aiva 2176	. 2 |- (A e. X -> A.z e. X (abs` (F` z)) <_ (((norm` U)` A) x. ((norm` U)` z)))
73	3	cnnvnm 9644	. . 3 |- abs = (norm` C)
74		ipblnfi.l	. . 3 |- B = (U BLnOp C)
75	5, 58, 73, 11, 74, 2, 4	blo3i 9802	. 2 |- ((F e. (U LnOp C) /\ ((norm` U)` A) e. RR /\ A.z e. X (abs` (F` z)) <_ (((norm` U)` A) x. ((norm` U)` z))) -> F e. B)
76	57, 60, 72, 75	syl111anc 1100	1 |- (A e. X -> F e. B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  <.cop 3046   class class class wbr 3338  {copab 3395  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385   + caddc 6389   x. cmul 6391   <_ cle 6448  abscabs 8000  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  normcnm 9541  .icip 9688   LnOp clno 9740   BLnOp cblo 9742  CPreHilcphl 9812

This theorem is referenced by:  htthlem5 9971

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-lno 9744  df-nmo 9745  df-blo 9746  df-0o 9747  df-ph 9813

Copyright terms: Public domain