MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassr2 Structured version   Unicode version

Theorem ipassr2 18187
Description: "Associative" law for inner product. Conjugate version of ipassr 18186. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipdir.f  |-  K  =  ( Base `  F
)
ipass.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
ipass.p  |-  .X.  =  ( .r `  F )
ipassr.i  |-  .*  =  ( *r `  F )
Assertion
Ref Expression
ipassr2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  C )  =  ( A  .,  ( (  .*  `  C ) 
.x.  B ) ) )

Proof of Theorem ipassr2
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  W  e.  PreHil )
2 simpr1 994 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  A  e.  V )
3 simpr2 995 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  B  e.  V )
4 phlsrng.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
54phlsrng 18171 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  F  e.  *Ring )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  F  e.  *Ring
)
7 simpr3 996 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  C  e.  K )
8 ipassr.i . . . . 5  |-  .*  =  ( *r `  F )
9 ipdir.f . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
108, 9srngcl 17048 . . . 4  |-  ( ( F  e.  *Ring  /\  C  e.  K )  ->  (  .*  `  C )  e.  K )
116, 7, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  (  .*  `  C )  e.  K
)
12 phllmhm.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
13 phllmhm.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
14 ipass.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
15 ipass.p . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  F )
164, 12, 13, 9, 14, 15, 8ipassr 18186 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  (  .*  `  C )  e.  K ) )  ->  ( A  .,  ( (  .*  `  C )  .x.  B
) )  =  ( ( A  .,  B
)  .X.  (  .*  `  (  .*  `  C
) ) ) )
171, 2, 3, 11, 16syl13anc 1221 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( A  .,  ( (  .*  `  C )  .x.  B
) )  =  ( ( A  .,  B
)  .X.  (  .*  `  (  .*  `  C
) ) ) )
188, 9srngnvl 17049 . . . 4  |-  ( ( F  e.  *Ring  /\  C  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  C ) )  =  C )
196, 7, 18syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  (  .*  `  (  .*  `  C
) )  =  C )
2019oveq2d 6208 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  (  .*  `  (  .* 
`  C ) ) )  =  ( ( A  .,  B ) 
.X.  C ) )
2117, 20eqtr2d 2493 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  C )  =  ( A  .,  ( (  .*  `  C ) 
.x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Basecbs 14278   .rcmulr 14343   *rcstv 14344  Scalarcsca 14345   .scvsca 14346   .icip 14347   *Ringcsr 17037   PreHilcphl 18164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-tpos 6847  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-0g 14484  df-mnd 15519  df-mhm 15568  df-ghm 15849  df-mgp 16699  df-ur 16711  df-rng 16755  df-oppr 16823  df-rnghom 16914  df-staf 17038  df-srng 17039  df-lmod 17058  df-lmhm 17211  df-lvec 17292  df-sra 17361  df-rgmod 17362  df-phl 18166
This theorem is referenced by:  ipcau2  20867
  Copyright terms: Public domain W3C validator