MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassr2 Structured version   Unicode version

Theorem ipassr2 18442
Description: "Associative" law for inner product. Conjugate version of ipassr 18441. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ipdir.f  |-  K  =  ( Base `  F
)
ipass.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
ipass.p  |-  .X.  =  ( .r `  F )
ipassr.i  |-  .*  =  ( *r `  F )
Assertion
Ref Expression
ipassr2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  C )  =  ( A  .,  ( (  .*  `  C ) 
.x.  B ) ) )

Proof of Theorem ipassr2
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  W  e.  PreHil )
2 simpr1 997 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  A  e.  V )
3 simpr2 998 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  B  e.  V )
4 phlsrng.f . . . . . 6  |-  F  =  (Scalar `  W )
54phlsrng 18426 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  F  e.  *Ring )
65adantr 465 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  F  e.  *Ring
)
7 simpr3 999 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  C  e.  K )
8 ipassr.i . . . . 5  |-  .*  =  ( *r `  F )
9 ipdir.f . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
108, 9srngcl 17280 . . . 4  |-  ( ( F  e.  *Ring  /\  C  e.  K )  ->  (  .*  `  C )  e.  K )
116, 7, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  (  .*  `  C )  e.  K
)
12 phllmhm.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
13 phllmhm.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
14 ipass.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
15 ipass.p . . . 4  |-  .X.  =  ( .r `  F )
164, 12, 13, 9, 14, 15, 8ipassr 18441 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  (  .*  `  C )  e.  K ) )  ->  ( A  .,  ( (  .*  `  C )  .x.  B
) )  =  ( ( A  .,  B
)  .X.  (  .*  `  (  .*  `  C
) ) ) )
171, 2, 3, 11, 16syl13anc 1225 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( A  .,  ( (  .*  `  C )  .x.  B
) )  =  ( ( A  .,  B
)  .X.  (  .*  `  (  .*  `  C
) ) ) )
188, 9srngnvl 17281 . . . 4  |-  ( ( F  e.  *Ring  /\  C  e.  K )  ->  (  .*  `  (  .*  `  C ) )  =  C )
196, 7, 18syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  (  .*  `  (  .*  `  C
) )  =  C )
2019oveq2d 6291 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  (  .*  `  (  .* 
`  C ) ) )  =  ( ( A  .,  B ) 
.X.  C ) )
2117, 20eqtr2d 2502 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  ( A  e.  V  /\  B  e.  V  /\  C  e.  K )
)  ->  ( ( A  .,  B )  .X.  C )  =  ( A  .,  ( (  .*  `  C ) 
.x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   .rcmulr 14545   *rcstv 14546  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548   .icip 14549   *Ringcsr 17269   PreHilcphl 18419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-ghm 16053  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-rnghom 17141  df-staf 17270  df-srng 17271  df-lmod 17290  df-lmhm 17444  df-lvec 17525  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-phl 18421
This theorem is referenced by:  ipcau2  21405
  Copyright terms: Public domain W3C validator