MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem9 Structured version   Unicode version

Theorem ipasslem9 24417
Description: Lemma for ipassi 24420. Conclude from ipasslem8 24416 the inner product associative law for real numbers. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ip1i.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem9.a  |-  A  e.  X
ipasslem9.b  |-  B  e.  X
Assertion
Ref Expression
ipasslem9  |-  ( C  e.  RR  ->  (
( C S A ) P B )  =  ( C  x.  ( A P B ) ) )

Proof of Theorem ipasslem9
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6210 . . . . . 6  |-  ( w  =  C  ->  (
w S A )  =  ( C S A ) )
21oveq1d 6218 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  (
( w S A ) P B )  =  ( ( C S A ) P B ) )
3 oveq1 6210 . . . . 5  |-  ( w  =  C  ->  (
w  x.  ( A P B ) )  =  ( C  x.  ( A P B ) ) )
42, 3oveq12d 6221 . . . 4  |-  ( w  =  C  ->  (
( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) )  =  ( ( ( C S A ) P B )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
5 eqid 2454 . . . 4  |-  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) ) )  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) ) )
6 ovex 6228 . . . 4  |-  ( ( ( C S A ) P B )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  e.  _V
74, 5, 6fvmpt 5886 . . 3  |-  ( C  e.  RR  ->  (
( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) ) `  C
)  =  ( ( ( C S A ) P B )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
8 ip1i.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
9 ip1i.2 . . . . 5  |-  G  =  ( +v `  U
)
10 ip1i.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
11 ip1i.7 . . . . 5  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
12 ip1i.9 . . . . 5  |-  U  e.  CPreHil
OLD
13 ipasslem9.a . . . . 5  |-  A  e.  X
14 ipasslem9.b . . . . 5  |-  B  e.  X
158, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 5ipasslem8 24416 . . . 4  |-  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) ) ) : RR --> { 0 }
16 fvconst 6009 . . . 4  |-  ( ( ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) ) : RR --> { 0 }  /\  C  e.  RR )  ->  ( ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) ) ) `  C
)  =  0 )
1715, 16mpan 670 . . 3  |-  ( C  e.  RR  ->  (
( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) ) `  C
)  =  0 )
187, 17eqtr3d 2497 . 2  |-  ( C  e.  RR  ->  (
( ( C S A ) P B )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  =  0 )
19 recn 9487 . . 3  |-  ( C  e.  RR  ->  C  e.  CC )
2012phnvi 24395 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
218, 10nvscl 24185 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( C S A )  e.  X )
2220, 13, 21mp3an13 1306 . . . . 5  |-  ( C  e.  CC  ->  ( C S A )  e.  X )
238, 11dipcl 24289 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( C S A )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( C S A ) P B )  e.  CC )
2420, 14, 23mp3an13 1306 . . . . 5  |-  ( ( C S A )  e.  X  ->  (
( C S A ) P B )  e.  CC )
2522, 24syl 16 . . . 4  |-  ( C  e.  CC  ->  (
( C S A ) P B )  e.  CC )
268, 11dipcl 24289 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  e.  CC )
2720, 13, 14, 26mp3an 1315 . . . . 5  |-  ( A P B )  e.  CC
28 mulcl 9481 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( A P B )  e.  CC )  -> 
( C  x.  ( A P B ) )  e.  CC )
2927, 28mpan2 671 . . . 4  |-  ( C  e.  CC  ->  ( C  x.  ( A P B ) )  e.  CC )
3025, 29subeq0ad 9844 . . 3  |-  ( C  e.  CC  ->  (
( ( ( C S A ) P B )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  =  0  <->  ( ( C S A ) P B )  =  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
3119, 30syl 16 . 2  |-  ( C  e.  RR  ->  (
( ( ( C S A ) P B )  -  ( C  x.  ( A P B ) ) )  =  0  <->  ( ( C S A ) P B )  =  ( C  x.  ( A P B ) ) ) )
3218, 31mpbid 210 1  |-  ( C  e.  RR  ->  (
( C S A ) P B )  =  ( C  x.  ( A P B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   {csn 3988    |-> cmpt 4461   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9395   RRcr 9396   0cc0 9397    x. cmul 9402    - cmin 9710   NrmCVeccnv 24141   +vcpv 24142   BaseSetcba 24143   .sOLDcns 24144   .iOLDcdip 24274   CPreHil OLDccphlo 24391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7776  df-sup 7806  df-oi 7839  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-q 11069  df-rp 11107  df-xneg 11204  df-xadd 11205  df-xmul 11206  df-ioo 11419  df-icc 11422  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-exp 11987  df-hash 12225  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-clim 13088  df-sum 13286  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-hom 14385  df-cco 14386  df-rest 14484  df-topn 14485  df-0g 14503  df-gsum 14504  df-topgen 14505  df-pt 14506  df-prds 14509  df-xrs 14563  df-qtop 14568  df-imas 14569  df-xps 14571  df-mre 14647  df-mrc 14648  df-acs 14650  df-mnd 15538  df-submnd 15588  df-mulg 15671  df-cntz 15958  df-cmn 16404  df-psmet 17944  df-xmet 17945  df-met 17946  df-bl 17947  df-mopn 17948  df-cnfld 17954  df-top 18645  df-bases 18647  df-topon 18648  df-topsp 18649  df-cld 18765  df-ntr 18766  df-cls 18767  df-cn 18973  df-cnp 18974  df-t1 19060  df-haus 19061  df-tx 19277  df-hmeo 19470  df-xms 20037  df-ms 20038  df-tms 20039  df-grpo 23857  df-gid 23858  df-ginv 23859  df-gdiv 23860  df-ablo 23948  df-vc 24103  df-nv 24149  df-va 24152  df-ba 24153  df-sm 24154  df-0v 24155  df-vs 24156  df-nmcv 24157  df-ims 24158  df-dip 24275  df-ph 24392
This theorem is referenced by:  ipasslem11  24419
  Copyright terms: Public domain W3C validator