Theorem ipasslem9 9839

Description: Lemma for ipassi 9842. Conclude from ipasslem8 9838 the inner product associative law for real numbers.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = (BaseSet` U)
ip1i.2	|- G = (+v` U)
ip1i.4	|- S = (.s` U)
ip1i.7	|- P = (.i` U)
ip1i.9	|- U e. CPreHil
ipasslem9.a	|- A e. X
ipasslem9.b	|- B e. X

Assertion

Ref	Expression
ipasslem9	|- (C e. RR -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))

Proof of Theorem ipasslem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (w = C -> (wSA) = (CSA))
2	1	opreq1d 4897	. . . . 5 |- (w = C -> ((wSA)PB) = ((CSA)PB))
3		opreq1 4889	. . . . 5 |- (w = C -> (w x. (APB)) = (C x. (APB)))
4	2, 3	opreq12d 4900	. . . 4 |- (w = C -> (((wSA)PB) - (w x. (APB))) = (((CSA)PB) - (C x. (APB))))
5		eqid 1884	. . . 4 |- {<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))} = {<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))}
6		oprex 4907	. . . 4 |- (((CSA)PB) - (C x. (APB))) e. _V
7	4, 5, 6	fvopab4 4743	. . 3 |- (C e. RR -> ({<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))}` C) = (((CSA)PB) - (C x. (APB))))
8		ip1i.1	. . . . 5 |- X = (BaseSet` U)
9		ip1i.2	. . . . 5 |- G = (+v` U)
10		ip1i.4	. . . . 5 |- S = (.s` U)
11		ip1i.7	. . . . 5 |- P = (.i` U)
12		ip1i.9	. . . . 5 |- U e. CPreHil
13		ipasslem9.a	. . . . 5 |- A e. X
14		ipasslem9.b	. . . . 5 |- B e. X
15	8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 5	ipasslem8 9838	. . . 4 |- {<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))}:RR-->{0}
16		fvconst 4814	. . . 4 |- (({<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))}:RR-->{0} /\ C e. RR) -> ({<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))}` C) = 0)
17	15, 16	mpan 759	. . 3 |- (C e. RR -> ({<.w, v>. | (w e. RR /\ v = (((wSA)PB) - (w x. (APB))))}` C) = 0)
18	7, 17	eqtr3d 1927	. 2 |- (C e. RR -> (((CSA)PB) - (C x. (APB))) = 0)
19		recn 6466	. . 3 |- (C e. RR -> C e. CC)
20	12	phnvi 9816	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
21	8, 10	nvscl 9579	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ C e. CC /\ A e. X) -> (CSA) e. X)
22	20, 13, 21	mp3an13 1182	. . . . 5 |- (C e. CC -> (CSA) e. X)
23	8, 11	ipcl 9704	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ (CSA) e. X /\ B e. X) -> ((CSA)PB) e. CC)
24	20, 14, 23	mp3an13 1182	. . . . 5 |- ((CSA) e. X -> ((CSA)PB) e. CC)
25	22, 24	syl 12	. . . 4 |- (C e. CC -> ((CSA)PB) e. CC)
26	8, 11	ipcl 9704	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)
27	20, 13, 14, 26	mp3an 1191	. . . . 5 |- (APB) e. CC
28		mulcl 6456	. . . . 5 |- ((C e. CC /\ (APB) e. CC) -> (C x. (APB)) e. CC)
29	27, 28	mpan2 760	. . . 4 |- (C e. CC -> (C x. (APB)) e. CC)
30		subeq0 6563	. . . 4 |- ((((CSA)PB) e. CC /\ (C x. (APB)) e. CC) -> ((((CSA)PB) - (C x. (APB))) = 0 <-> ((CSA)PB) = (C x. (APB))))
31	25, 29, 30	syl11anc 524	. . 3 |- (C e. CC -> ((((CSA)PB) - (C x. (APB))) = 0 <-> ((CSA)PB) = (C x. (APB))))
32	19, 31	syl 12	. 2 |- (C e. RR -> ((((CSA)PB) - (C x. (APB))) = 0 <-> ((CSA)PB) = (C x. (APB))))
33	18, 32	mpbid 212	1 |- (C e. RR -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {csn 3044  {copab 3395  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   x. cmul 6391   - cmin 6445  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  .icip 9688  CPreHilcphl 9812

This theorem is referenced by:  ipasslem11 9841

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813

Copyright terms: Public domain