MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem8 Structured version   Unicode version

Theorem ipasslem8 25456
Description: Lemma for ipassi 25460. By ipasslem5 25454, 
F is 0 for all  QQ; since it is continuous and 
QQ is dense in  RR by qdensere2 21065, we conclude  F is 0 for all  RR. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ip1i.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem7.a  |-  A  e.  X
ipasslem7.b  |-  B  e.  X
ipasslem7.f  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ipasslem8  |-  F : RR
--> { 0 }
Distinct variable groups:    w, B    w, P    w, S    w, U    w, X    w, A
Allowed substitution hints:    F( w)    G( w)

Proof of Theorem ipasslem8
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9588 . 2  |-  0  e.  CC
2 qre 11187 . . . . . 6  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
3 oveq1 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w S A )  =  ( x S A ) )
43oveq1d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w S A ) P B )  =  ( ( x S A ) P B ) )
5 oveq1 6291 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w  x.  ( A P B ) )  =  ( x  x.  ( A P B ) ) )
64, 5oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
7 ipasslem7.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
8 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5950 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
102, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  QQ  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
11 ipasslem7.a . . . . . 6  |-  A  e.  X
12 qcn 11196 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  CC )
13 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e.  CPreHil
OLD
1413phnvi 25435 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
15 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
16 ip1i.4 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
1715, 16nvscl 25225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
x S A )  e.  X )
1814, 17mp3an1 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( x S A )  e.  X )
1912, 18sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( x S A )  e.  X )
20 ipasslem7.b . . . . . . . . 9  |-  B  e.  X
21 ip1i.7 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
2215, 21dipcl 25329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x S A )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( x S A ) P B )  e.  CC )
2314, 20, 22mp3an13 1315 . . . . . . . 8  |-  ( ( x S A )  e.  X  ->  (
( x S A ) P B )  e.  CC )
2419, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( x S A ) P B )  e.  CC )
25 ip1i.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( +v `  U
)
2615, 25, 16, 21, 13, 20ipasslem5 25454 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( x S A ) P B )  =  ( x  x.  ( A P B ) ) )
2724, 26subeq0bd 9985 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( x S A ) P B )  -  (
x  x.  ( A P B ) ) )  =  0 )
2811, 27mpan2 671 . . . . 5  |-  ( x  e.  QQ  ->  (
( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) )  =  0 )
2910, 28eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( x  e.  QQ  ->  ( F `  x )  =  0 )
3029rgen 2824 . . 3  |-  A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0
317funmpt2 5625 . . . 4  |-  Fun  F
32 qssre 11192 . . . . 5  |-  QQ  C_  RR
33 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) )  e. 
_V
3433, 7dmmpti 5710 . . . . 5  |-  dom  F  =  RR
3532, 34sseqtr4i 3537 . . . 4  |-  QQ  C_  dom  F
36 funconstss 5999 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  QQ  C_ 
dom  F )  -> 
( A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0  <-> 
QQ  C_  ( `' F " { 0 } ) ) )
3731, 35, 36mp2an 672 . . 3  |-  ( A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0  <->  QQ  C_  ( `' F " { 0 } ) )
3830, 37mpbi 208 . 2  |-  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )
39 qdensere 21040 . 2  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
40 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4140cnfldhaus 21055 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
42 haust1 19647 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Haus  ->  (
TopOpen ` fld )  e.  Fre )
4341, 42ax-mp 5 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Fre
44 eqid 2467 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
4515, 25, 16, 21, 13, 11, 20, 7, 44, 40ipasslem7 25455 . . 3  |-  F  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
)
46 uniretop 21032 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
4740cnfldtopon 21053 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
4847toponunii 19228 . . . 4  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
4946, 48dnsconst 19673 . . 3  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Fre  /\  F  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )  /\  ( 0  e.  CC  /\  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )  /\  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR ) )  ->  F : RR --> { 0 } )
5043, 45, 49mpanl12 682 . 2  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )  /\  ( ( cls `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  QQ )  =  RR )  ->  F : RR --> { 0 } )
511, 38, 39, 50mp3an 1324 1  |-  F : RR
--> { 0 }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   {csn 4027    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492    x. cmul 9497    - cmin 9805   QQcq 11182   (,)cioo 11529   TopOpenctopn 14677   topGenctg 14693  ℂfldccnfld 18219   clsccl 19313    Cn ccn 19519   Frect1 19602   Hauscha 19603   NrmCVeccnv 25181   +vcpv 25182   BaseSetcba 25183   .sOLDcns 25184   .iOLDcdip 25314   CPreHil OLDccphlo 25431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-t1 19609  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-gdiv 24900  df-ablo 24988  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-vs 25196  df-nmcv 25197  df-ims 25198  df-dip 25315  df-ph 25432
This theorem is referenced by:  ipasslem9  25457
  Copyright terms: Public domain W3C validator