MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem8 Structured version   Unicode version

Theorem ipasslem8 24242
Description: Lemma for ipassi 24246. By ipasslem5 24240, 
F is 0 for all  QQ; since it is continuous and 
QQ is dense in  RR by qdensere2 20379, we conclude  F is 0 for all  RR. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ip1i.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem7.a  |-  A  e.  X
ipasslem7.b  |-  B  e.  X
ipasslem7.f  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ipasslem8  |-  F : RR
--> { 0 }
Distinct variable groups:    w, B    w, P    w, S    w, U    w, X    w, A
Allowed substitution hints:    F( w)    G( w)

Proof of Theorem ipasslem8
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9383 . 2  |-  0  e.  CC
2 qre 10963 . . . . . 6  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
3 oveq1 6103 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  (
w S A )  =  ( x S A ) )
43oveq1d 6111 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
( w S A ) P B )  =  ( ( x S A ) P B ) )
5 oveq1 6103 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  (
w  x.  ( A P B ) )  =  ( x  x.  ( A P B ) ) )
64, 5oveq12d 6114 . . . . . . 7  |-  ( w  =  x  ->  (
( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
7 ipasslem7.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
8 ovex 6121 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) )  e. 
_V
96, 7, 8fvmpt 5779 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
102, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  QQ  ->  ( F `  x )  =  ( ( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) ) )
11 ipasslem7.a . . . . . 6  |-  A  e.  X
12 qcn 10972 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  CC )
13 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e.  CPreHil
OLD
1413phnvi 24221 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
15 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
16 ip1i.4 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
1715, 16nvscl 24011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  (
x S A )  e.  X )
1814, 17mp3an1 1301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  A  e.  X )  ->  ( x S A )  e.  X )
1912, 18sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( x S A )  e.  X )
20 ipasslem7.b . . . . . . . . 9  |-  B  e.  X
21 ip1i.7 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
2215, 21dipcl 24115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x S A )  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  (
( x S A ) P B )  e.  CC )
2314, 20, 22mp3an13 1305 . . . . . . . 8  |-  ( ( x S A )  e.  X  ->  (
( x S A ) P B )  e.  CC )
2419, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( x S A ) P B )  e.  CC )
25 ip1i.2 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( +v `  U
)
2615, 25, 16, 21, 13, 20ipasslem5 24240 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( x S A ) P B )  =  ( x  x.  ( A P B ) ) )
2724, 26subeq0bd 9779 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  QQ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( ( x S A ) P B )  -  (
x  x.  ( A P B ) ) )  =  0 )
2811, 27mpan2 671 . . . . 5  |-  ( x  e.  QQ  ->  (
( ( x S A ) P B )  -  ( x  x.  ( A P B ) ) )  =  0 )
2910, 28eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( x  e.  QQ  ->  ( F `  x )  =  0 )
3029rgen 2786 . . 3  |-  A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0
317funmpt2 5460 . . . 4  |-  Fun  F
32 qssre 10968 . . . . 5  |-  QQ  C_  RR
33 ovex 6121 . . . . . 6  |-  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) )  e. 
_V
3433, 7dmmpti 5545 . . . . 5  |-  dom  F  =  RR
3532, 34sseqtr4i 3394 . . . 4  |-  QQ  C_  dom  F
36 funconstss 5826 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  QQ  C_ 
dom  F )  -> 
( A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0  <-> 
QQ  C_  ( `' F " { 0 } ) ) )
3731, 35, 36mp2an 672 . . 3  |-  ( A. x  e.  QQ  ( F `  x )  =  0  <->  QQ  C_  ( `' F " { 0 } ) )
3830, 37mpbi 208 . 2  |-  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )
39 qdensere 20354 . 2  |-  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR
40 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
4140cnfldhaus 20369 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Haus
42 haust1 18961 . . . 4  |-  ( (
TopOpen ` fld )  e.  Haus  ->  (
TopOpen ` fld )  e.  Fre )
4341, 42ax-mp 5 . . 3  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  Fre
44 eqid 2443 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
4515, 25, 16, 21, 13, 11, 20, 7, 44, 40ipasslem7 24241 . . 3  |-  F  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )  Cn  ( TopOpen ` fld )
)
46 uniretop 20346 . . . 4  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
4740cnfldtopon 20367 . . . . 5  |-  ( TopOpen ` fld )  e.  (TopOn `  CC )
4847toponunii 18542 . . . 4  |-  CC  =  U. ( TopOpen ` fld )
4946, 48dnsconst 18987 . . 3  |-  ( ( ( ( TopOpen ` fld )  e.  Fre  /\  F  e.  ( (
topGen `  ran  (,) )  Cn  ( TopOpen ` fld ) ) )  /\  ( 0  e.  CC  /\  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )  /\  ( ( cls `  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) `  QQ )  =  RR ) )  ->  F : RR --> { 0 } )
5043, 45, 49mpanl12 682 . 2  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  QQ  C_  ( `' F " { 0 } )  /\  ( ( cls `  ( topGen `  ran  (,) )
) `  QQ )  =  RR )  ->  F : RR --> { 0 } )
511, 38, 39, 50mp3an 1314 1  |-  F : RR
--> { 0 }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720    C_ wss 3333   {csn 3882    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848   Fun wfun 5417   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   0cc0 9287    x. cmul 9292    - cmin 9600   QQcq 10958   (,)cioo 11305   TopOpenctopn 14365   topGenctg 14381  ℂfldccnfld 17823   clsccl 18627    Cn ccn 18833   Frect1 18916   Hauscha 18917   NrmCVeccnv 23967   +vcpv 23968   BaseSetcba 23969   .sOLDcns 23970   .iOLDcdip 24100   CPreHil OLDccphlo 24217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-ixp 7269  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-hom 14267  df-cco 14268  df-rest 14366  df-topn 14367  df-0g 14385  df-gsum 14386  df-topgen 14387  df-pt 14388  df-prds 14391  df-xrs 14445  df-qtop 14450  df-imas 14451  df-xps 14453  df-mre 14529  df-mrc 14530  df-acs 14532  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-mulg 15553  df-cntz 15840  df-cmn 16284  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-cnfld 17824  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-topsp 18512  df-cld 18628  df-ntr 18629  df-cls 18630  df-cn 18836  df-cnp 18837  df-t1 18923  df-haus 18924  df-tx 19140  df-hmeo 19333  df-xms 19900  df-ms 19901  df-tms 19902  df-grpo 23683  df-gid 23684  df-ginv 23685  df-gdiv 23686  df-ablo 23774  df-vc 23929  df-nv 23975  df-va 23978  df-ba 23979  df-sm 23980  df-0v 23981  df-vs 23982  df-nmcv 23983  df-ims 23984  df-dip 24101  df-ph 24218
This theorem is referenced by:  ipasslem9  24243
  Copyright terms: Public domain W3C validator