MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem7 Structured version   Unicode version

Theorem ipasslem7 25893
Description: Lemma for ipassi 25898. Show that  ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) is continuous on  RR. (Contributed by NM, 23-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ip1i.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem7.a  |-  A  e.  X
ipasslem7.b  |-  B  e.  X
ipasslem7.f  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
ipasslem7.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
ipasslem7.k  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
ipasslem7  |-  F  e.  ( J  Cn  K
)
Distinct variable groups:    w, B    w, K    w, P    w, S    w, U    w, X    w, A
Allowed substitution hints:    F( w)    G( w)    J( w)

Proof of Theorem ipasslem7
StepHypRef Expression
1 ipasslem7.f . 2  |-  F  =  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )
2 ipasslem7.j . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
3 ipasslem7.k . . . . . 6  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
43tgioo2 21416 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( Kt  RR )
52, 4eqtri 2425 . . . 4  |-  J  =  ( Kt  RR )
63cnfldtopon 21398 . . . . 5  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
76a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
8 ax-resscn 9482 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
98a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  RR  C_  CC )
107cnmptid 20270 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( w  e.  CC  |->  w )  e.  ( K  Cn  K ) )
11 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11  |-  U  e.  CPreHil
OLD
1211phnvi 25873 . . . . . . . . . 10  |-  U  e.  NrmCVec
13 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
14 eqid 2396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( IndMet `  U )  =  (
IndMet `  U )
1513, 14imsxmet 25740 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  U
)  e.  ( *Met `  X ) )
1612, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( IndMet `  U )  e.  ( *Met `  X
)
17 eqid 2396 . . . . . . . . . 10  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)
1817mopntopon 21050 . . . . . . . . 9  |-  ( (
IndMet `  U )  e.  ( *Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  ( IndMet `  U
) )  e.  (TopOn `  X ) )
1916, 18mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) )  e.  (TopOn `  X )
)
20 ipasslem7.a . . . . . . . . 9  |-  A  e.  X
2120a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( T. 
->  A  e.  X
)
227, 19, 21cnmptc 20271 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( w  e.  CC  |->  A )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
23 ip1i.4 . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
2414, 17, 23, 3smcn 25750 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  S  e.  ( ( K  tX  ( MetOpen
`  ( IndMet `  U
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) ) ) )
2512, 24mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  S  e.  (
( K  tX  ( MetOpen
`  ( IndMet `  U
) ) )  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U ) ) ) )
267, 10, 22, 25cnmpt12f 20275 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( w S A ) )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
27 ipasslem7.b . . . . . . . 8  |-  B  e.  X
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  B  e.  X
)
297, 19, 28cnmptc 20271 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( w  e.  CC  |->  B )  e.  ( K  Cn  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
) ) )
30 ip1i.7 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
3130, 14, 17, 3dipcn 25775 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  P  e.  ( ( ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) )  Cn  K ) )
3212, 31mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  P  e.  (
( ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) 
tX  ( MetOpen `  ( IndMet `
 U ) ) )  Cn  K ) )
337, 26, 29, 32cnmpt12f 20275 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( ( w S A ) P B ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
3413, 30dipcl 25767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A P B )  e.  CC )
3512, 20, 27, 34mp3an 1322 . . . . . . . 8  |-  ( A P B )  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( T. 
->  ( A P B )  e.  CC )
377, 7, 36cnmptc 20271 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( A P B ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
383mulcn 21479 . . . . . . 7  |-  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
3938a1i 11 . . . . . 6  |-  ( T. 
->  x.  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
407, 10, 37, 39cnmpt12f 20275 . . . . 5  |-  ( T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( w  x.  ( A P B ) ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
413subcn 21478 . . . . . 6  |-  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K
)
4241a1i 11 . . . . 5  |-  ( T. 
->  -  e.  ( ( K  tX  K )  Cn  K ) )
437, 33, 40, 42cnmpt12f 20275 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( w  e.  CC  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( K  Cn  K ) )
445, 7, 9, 43cnmpt1res 20285 . . 3  |-  ( T. 
->  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  (
w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( J  Cn  K ) )
4544trud 1408 . 2  |-  ( w  e.  RR  |->  ( ( ( w S A ) P B )  -  ( w  x.  ( A P B ) ) ) )  e.  ( J  Cn  K )
461, 45eqeltri 2480 1  |-  F  e.  ( J  Cn  K
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1399   T. wtru 1400    e. wcel 1836    C_ wss 3406    |-> cmpt 4442   ran crn 4931   ` cfv 5513  (class class class)co 6218   CCcc 9423   RRcr 9424    x. cmul 9430    - cmin 9740   (,)cioo 11472   ↾t crest 14851   TopOpenctopn 14852   topGenctg 14868   *Metcxmt 18539   MetOpencmopn 18544  ℂfldccnfld 18556  TopOnctopon 19503    Cn ccn 19834    tX ctx 20169   NrmCVeccnv 25619   +vcpv 25620   BaseSetcba 25621   .sOLDcns 25622   IndMetcims 25626   .iOLDcdip 25752   CPreHil OLDccphlo 25869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503  ax-addf 9504  ax-mulf 9505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-iin 4263  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-of 6461  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-supp 6840  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-2o 7071  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-ixp 7411  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-fsupp 7767  df-fi 7808  df-sup 7838  df-oi 7872  df-card 8255  df-cda 8483  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-10 10541  df-n0 10735  df-z 10804  df-dec 10918  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xneg 11261  df-xadd 11262  df-xmul 11263  df-ioo 11476  df-icc 11479  df-fz 11616  df-fzo 11740  df-seq 12034  df-exp 12093  df-hash 12331  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-clim 13336  df-sum 13534  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-sets 14663  df-ress 14664  df-plusg 14738  df-mulr 14739  df-starv 14740  df-sca 14741  df-vsca 14742  df-ip 14743  df-tset 14744  df-ple 14745  df-ds 14747  df-unif 14748  df-hom 14749  df-cco 14750  df-rest 14853  df-topn 14854  df-0g 14872  df-gsum 14873  df-topgen 14874  df-pt 14875  df-prds 14878  df-xrs 14932  df-qtop 14937  df-imas 14938  df-xps 14940  df-mre 15016  df-mrc 15017  df-acs 15019  df-mgm 16012  df-sgrp 16051  df-mnd 16061  df-submnd 16107  df-mulg 16200  df-cntz 16495  df-cmn 16940  df-psmet 18547  df-xmet 18548  df-met 18549  df-bl 18550  df-mopn 18551  df-cnfld 18557  df-top 19507  df-bases 19509  df-topon 19510  df-topsp 19511  df-cn 19837  df-cnp 19838  df-tx 20171  df-hmeo 20364  df-xms 20931  df-ms 20932  df-tms 20933  df-grpo 25335  df-gid 25336  df-ginv 25337  df-gdiv 25338  df-ablo 25426  df-vc 25581  df-nv 25627  df-va 25630  df-ba 25631  df-sm 25632  df-0v 25633  df-vs 25634  df-nmcv 25635  df-ims 25636  df-dip 25753  df-ph 25870
This theorem is referenced by:  ipasslem8  25894
  Copyright terms: Public domain W3C validator