MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem3 Structured version   Unicode version

Theorem ipasslem3 26148
Description: Lemma for ipassi 26156. Show the inner product associative law for all integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ip1i.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ipasslem1.b  |-  B  e.  X
Assertion
Ref Expression
ipasslem3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( N S A ) P B )  =  ( N  x.  ( A P B ) ) )

Proof of Theorem ipasslem3
StepHypRef Expression
1 elznn0nn 10918 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) ) )
2 ip1i.1 . . . 4  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
3 ip1i.2 . . . 4  |-  G  =  ( +v `  U
)
4 ip1i.4 . . . 4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
5 ip1i.7 . . . 4  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
6 ip1i.9 . . . 4  |-  U  e.  CPreHil
OLD
7 ipasslem1.b . . . 4  |-  B  e.  X
82, 3, 4, 5, 6, 7ipasslem1 26146 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  X )  ->  ( ( N S A ) P B )  =  ( N  x.  ( A P B ) ) )
9 nnnn0 10842 . . . . . 6  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  NN0 )
102, 3, 4, 5, 6, 7ipasslem2 26147 . . . . . 6  |-  ( (
-u N  e.  NN0  /\  A  e.  X )  ->  ( ( -u -u N S A ) P B )  =  ( -u -u N  x.  ( A P B ) ) )
119, 10sylan 469 . . . . 5  |-  ( (
-u N  e.  NN  /\  A  e.  X )  ->  ( ( -u -u N S A ) P B )  =  ( -u -u N  x.  ( A P B ) ) )
1211adantll 712 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( -u -u N S A ) P B )  =  ( -u -u N  x.  ( A P B ) ) )
13 recn 9611 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  CC )
1413negnegd 9957 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  -u -u N  =  N )
1514oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u N S A )  =  ( N S A ) )
1615oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
( -u -u N S A ) P B )  =  ( ( N S A ) P B ) )
1716ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( -u -u N S A ) P B )  =  ( ( N S A ) P B ) )
1814oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( -u -u N  x.  ( A P B ) )  =  ( N  x.  ( A P B ) ) )
1918ad2antrr 724 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  A  e.  X
)  ->  ( -u -u N  x.  ( A P B ) )  =  ( N  x.  ( A P B ) ) )
2012, 17, 193eqtr3d 2451 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN )  /\  A  e.  X
)  ->  ( ( N S A ) P B )  =  ( N  x.  ( A P B ) ) )
218, 20jaoian 785 . 2  |-  ( ( ( N  e.  NN0  \/  ( N  e.  RR  /\  -u N  e.  NN ) )  /\  A  e.  X )  ->  (
( N S A ) P B )  =  ( N  x.  ( A P B ) ) )
221, 21sylanb 470 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  X )  ->  ( ( N S A ) P B )  =  ( N  x.  ( A P B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520    x. cmul 9526   -ucneg 9841   NNcn 10575   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   +vcpv 25878   BaseSetcba 25879   .sOLDcns 25880   .iOLDcdip 26010   CPreHil OLDccphlo 26127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-grpo 25593  df-gid 25594  df-ginv 25595  df-ablo 25684  df-vc 25839  df-nv 25885  df-va 25888  df-ba 25889  df-sm 25890  df-0v 25891  df-nmcv 25893  df-dip 26011  df-ph 26128
This theorem is referenced by:  ipasslem5  26150
  Copyright terms: Public domain W3C validator