Theorem ipasslem11 9841

Description: Lemma for ipassi 9842. Show the inner product associative law for all complex numbers.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = (BaseSet` U)
ip1i.2	|- G = (+v` U)
ip1i.4	|- S = (.s` U)
ip1i.7	|- P = (.i` U)
ip1i.9	|- U e. CPreHil
ipasslem11.a	|- A e. X
ipasslem11.b	|- B e. X

Assertion

Ref	Expression
ipasslem11	|- (C e. CC -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))

Proof of Theorem ipasslem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcnre 6439	. 2 |- (C e. CC -> E.x e. RR E.y e. RR C = (x + (_i x. y)))
2		recn 6466	. . . . . . . 8 |- (y e. RR -> y e. CC)
3		axicn 6423	. . . . . . . . 9 |- _i e. CC
4		mulcom 6459	. . . . . . . . 9 |- ((_i e. CC /\ y e. CC) -> (_i x. y) = (y x. _i))
5	3, 4	mpan 759	. . . . . . . 8 |- (y e. CC -> (_i x. y) = (y x. _i))
6	2, 5	syl 12	. . . . . . 7 |- (y e. RR -> (_i x. y) = (y x. _i))
7	6	adantl 424	. . . . . 6 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (_i x. y) = (y x. _i))
8	7	opreq2d 4898	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x + (_i x. y)) = (x + (y x. _i)))
9	8	eqeq2d 1895	. . . 4 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (C = (x + (_i x. y)) <-> C = (x + (y x. _i))))
10		opreq1 4889	. . . . . . 7 |- (C = (x + (y x. _i)) -> (CSA) = ((x + (y x. _i))SA))
11	10	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (C = (x + (y x. _i)) -> ((CSA)PB) = (((x + (y x. _i))SA)PB))
12		opreq1 4889	. . . . . 6 |- (C = (x + (y x. _i)) -> (C x. (APB)) = ((x + (y x. _i)) x. (APB)))
13	11, 12	eqeq12d 1899	. . . . 5 |- (C = (x + (y x. _i)) -> (((CSA)PB) = (C x. (APB)) <-> (((x + (y x. _i))SA)PB) = ((x + (y x. _i)) x. (APB))))
14		ipasslem11.a	. . . . . . . . . 10 |- A e. X
15		ip1i.9	. . . . . . . . . . . 12 |- U e. CPreHil
16	15	phnvi 9816	. . . . . . . . . . 11 |- U e. NrmCVec
17		ip1i.1	. . . . . . . . . . . 12 |- X = (BaseSet` U)
18		ip1i.2	. . . . . . . . . . . 12 |- G = (+v` U)
19		ip1i.4	. . . . . . . . . . . 12 |- S = (.s` U)
20	17, 18, 19	nvdir 9584	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ (x e. CC /\ (y x. _i) e. CC /\ A e. X)) -> ((x + (y x. _i))SA) = ((xSA)G((y x. _i)SA)))
21	16, 20	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. CC /\ (y x. _i) e. CC /\ A e. X) -> ((x + (y x. _i))SA) = ((xSA)G((y x. _i)SA)))
22	14, 21	mp3an3 1180	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ (y x. _i) e. CC) -> ((x + (y x. _i))SA) = ((xSA)G((y x. _i)SA)))
23		recn 6466	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR -> x e. CC)
24		mulcl 6456	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. CC /\ _i e. CC) -> (y x. _i) e. CC)
25	3, 24	mpan2 760	. . . . . . . . . 10 |- (y e. CC -> (y x. _i) e. CC)
26	2, 25	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (y e. RR -> (y x. _i) e. CC)
27	22, 23, 26	syl2an 503	. . . . . . . 8 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> ((x + (y x. _i))SA) = ((xSA)G((y x. _i)SA)))
28	27	opreq1d 4897	. . . . . . 7 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (((x + (y x. _i))SA)PB) = (((xSA)G((y x. _i)SA))PB))
29		ipasslem11.b	. . . . . . . . 9 |- B e. X
30		ip1i.7	. . . . . . . . . 10 |- P = (.i` U)
31	17, 18, 19, 30, 15	ipdiri 9830	. . . . . . . . 9 |- (((xSA) e. X /\ ((y x. _i)SA) e. X /\ B e. X) -> (((xSA)G((y x. _i)SA))PB) = (((xSA)PB) + (((y x. _i)SA)PB)))
32	29, 31	mp3an3 1180	. . . . . . . 8 |- (((xSA) e. X /\ ((y x. _i)SA) e. X) -> (((xSA)G((y x. _i)SA))PB) = (((xSA)PB) + (((y x. _i)SA)PB)))
33	17, 19	nvscl 9579	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ x e. CC /\ A e. X) -> (xSA) e. X)
34	16, 14, 33	mp3an13 1182	. . . . . . . . 9 |- (x e. CC -> (xSA) e. X)
35	23, 34	syl 12	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> (xSA) e. X)
36	17, 19	nvscl 9579	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ (y x. _i) e. CC /\ A e. X) -> ((y x. _i)SA) e. X)
37	16, 14, 36	mp3an13 1182	. . . . . . . . 9 |- ((y x. _i) e. CC -> ((y x. _i)SA) e. X)
38	26, 37	syl 12	. . . . . . . 8 |- (y e. RR -> ((y x. _i)SA) e. X)
39	32, 35, 38	syl2an 503	. . . . . . 7 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (((xSA)G((y x. _i)SA))PB) = (((xSA)PB) + (((y x. _i)SA)PB)))
40	17, 18, 19, 30, 15, 14, 29	ipasslem9 9839	. . . . . . . 8 |- (x e. RR -> ((xSA)PB) = (x x. (APB)))
41	17, 19	nvscl 9579	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ _i e. CC /\ A e. X) -> (_iSA) e. X)
42	16, 3, 14, 41	mp3an 1191	. . . . . . . . . 10 |- (_iSA) e. X
43	17, 18, 19, 30, 15, 42, 29	ipasslem9 9839	. . . . . . . . 9 |- (y e. RR -> ((yS(_iSA))PB) = (y x. ((_iSA)PB)))
44	17, 19	nvsass 9581	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ (y e. CC /\ _i e. CC /\ A e. X)) -> ((y x. _i)SA) = (yS(_iSA)))
45	16, 44	mpan 759	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CC /\ _i e. CC /\ A e. X) -> ((y x. _i)SA) = (yS(_iSA)))
46	3, 14, 45	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. CC -> ((y x. _i)SA) = (yS(_iSA)))
47	2, 46	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (y e. RR -> ((y x. _i)SA) = (yS(_iSA)))
48	47	opreq1d 4897	. . . . . . . . 9 |- (y e. RR -> (((y x. _i)SA)PB) = ((yS(_iSA))PB))
49	17, 30	ipcl 9704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X) -> (APB) e. CC)
50	16, 14, 29, 49	mp3an 1191	. . . . . . . . . . . 12 |- (APB) e. CC
51		mulass 6461	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. CC /\ _i e. CC /\ (APB) e. CC) -> ((y x. _i) x. (APB)) = (y x. (_i x. (APB))))
52	3, 50, 51	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. CC -> ((y x. _i) x. (APB)) = (y x. (_i x. (APB))))
53	2, 52	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (y e. RR -> ((y x. _i) x. (APB)) = (y x. (_i x. (APB))))
54		eqid 1884	. . . . . . . . . . . 12 |- (norm` U) = (norm` U)
55	17, 18, 19, 30, 15, 14, 29, 54	ipasslem10 9840	. . . . . . . . . . 11 |- ((_iSA)PB) = (_i x. (APB))
56	55	opreq2i 4893	. . . . . . . . . 10 |- (y x. ((_iSA)PB)) = (y x. (_i x. (APB)))
57	53, 56	syl6eqr 1946	. . . . . . . . 9 |- (y e. RR -> ((y x. _i) x. (APB)) = (y x. ((_iSA)PB)))
58	43, 48, 57	3eqtr4d 1937	. . . . . . . 8 |- (y e. RR -> (((y x. _i)SA)PB) = ((y x. _i) x. (APB)))
59	40, 58	opreqan12d 4902	. . . . . . 7 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (((xSA)PB) + (((y x. _i)SA)PB)) = ((x x. (APB)) + ((y x. _i) x. (APB))))
60	28, 39, 59	3eqtrd 1929	. . . . . 6 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (((x + (y x. _i))SA)PB) = ((x x. (APB)) + ((y x. _i) x. (APB))))
61		adddir 6472	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ (y x. _i) e. CC /\ (APB) e. CC) -> ((x + (y x. _i)) x. (APB)) = ((x x. (APB)) + ((y x. _i) x. (APB))))
62	50, 61	mp3an3 1180	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ (y x. _i) e. CC) -> ((x + (y x. _i)) x. (APB)) = ((x x. (APB)) + ((y x. _i) x. (APB))))
63	62, 23, 26	syl2an 503	. . . . . 6 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> ((x + (y x. _i)) x. (APB)) = ((x x. (APB)) + ((y x. _i) x. (APB))))
64	60, 63	eqtr4d 1928	. . . . 5 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (((x + (y x. _i))SA)PB) = ((x + (y x. _i)) x. (APB)))
65	13, 64	syl5cbir 228	. . . 4 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (C = (x + (y x. _i)) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB))))
66	9, 65	sylbid 220	. . 3 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (C = (x + (_i x. y)) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB))))
67	66	r19.23aivv 2217	. 2 |- (E.x e. RR E.y e. RR C = (x + (_i x. y)) -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))
68	1, 67	syl 12	1 |- (C e. CC -> ((CSA)PB) = (C x. (APB)))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wrex 2106  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  normcnm 9541  .icip 9688  CPreHilcphl 9812

This theorem is referenced by:  ipassi 9842

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813

Copyright terms: Public domain