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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ipasslem1 | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Lemma for ipassi 26563. Show the inner product associative law for nonnegative integers. (Contributed by NM, 27-Apr-2007.) (New usage is discouraged.) |
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ip1i.1 |
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ip1i.2 |
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ip1i.4 |
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ip1i.7 |
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ip1i.9 |
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ipasslem1.b |
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ipasslem1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | nn0cn 10903 |
. . . . . . . . . . 11
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2 | ax-1cn 9615 |
. . . . . . . . . . . 12
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3 | ip1i.9 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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4 | 3 | phnvi 26538 |
. . . . . . . . . . . . 13
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5 | ip1i.1 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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6 | ip1i.2 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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7 | ip1i.4 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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8 | 5, 6, 7 | nvdir 26333 |
. . . . . . . . . . . . 13
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9 | 4, 8 | mpan 684 |
. . . . . . . . . . . 12
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10 | 2, 9 | mp3an2 1378 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 1, 10 | sylan 479 |
. . . . . . . . . 10
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12 | 5, 7 | nvsid 26329 |
. . . . . . . . . . . . 13
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13 | 4, 12 | mpan 684 |
. . . . . . . . . . . 12
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14 | 13 | adantl 473 |
. . . . . . . . . . 11
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15 | 14 | oveq2d 6324 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 11, 15 | eqtrd 2505 |
. . . . . . . . 9
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17 | 16 | oveq1d 6323 |
. . . . . . . 8
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18 | ipasslem1.b |
. . . . . . . . . . . . 13
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19 | ip1i.7 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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20 | 5, 19 | dipcl 26432 |
. . . . . . . . . . . . 13
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21 | 4, 18, 20 | mp3an13 1381 |
. . . . . . . . . . . 12
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22 | 21 | mulid2d 9679 |
. . . . . . . . . . 11
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23 | 22 | adantl 473 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 23 | oveq2d 6324 |
. . . . . . . . 9
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25 | 5, 7 | nvscl 26328 |
. . . . . . . . . . . 12
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26 | 4, 25 | mp3an1 1377 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 1, 26 | sylan 479 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 5, 6, 7, 19, 3 | ipdiri 26552 |
. . . . . . . . . . 11
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29 | 18, 28 | mp3an3 1379 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 27, 29 | sylancom 680 |
. . . . . . . . 9
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31 | 24, 30 | eqtr4d 2508 |
. . . . . . . 8
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32 | 17, 31 | eqtr4d 2508 |
. . . . . . 7
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33 | oveq1 6315 |
. . . . . . 7
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34 | 32, 33 | sylan9eq 2525 |
. . . . . 6
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35 | adddir 9652 |
. . . . . . . . 9
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36 | 2, 35 | mp3an2 1378 |
. . . . . . . 8
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37 | 1, 21, 36 | syl2an 485 |
. . . . . . 7
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38 | 37 | adantr 472 |
. . . . . 6
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39 | 34, 38 | eqtr4d 2508 |
. . . . 5
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40 | 39 | exp31 615 |
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41 | 40 | a2d 28 |
. . 3
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42 | eqid 2471 |
. . . . . 6
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43 | 5, 42, 19 | dip0l 26438 |
. . . . 5
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44 | 4, 18, 43 | mp2an 686 |
. . . 4
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45 | 5, 7, 42 | nv0 26339 |
. . . . . 6
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46 | 4, 45 | mpan 684 |
. . . . 5
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47 | 46 | oveq1d 6323 |
. . . 4
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48 | 21 | mul02d 9849 |
. . . 4
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49 | 44, 47, 48 | 3eqtr4a 2531 |
. . 3
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50 | oveq1 6315 |
. . . . . 6
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51 | 50 | oveq1d 6323 |
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52 | oveq1 6315 |
. . . . 5
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53 | 51, 52 | eqeq12d 2486 |
. . . 4
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54 | 53 | imbi2d 323 |
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55 | oveq1 6315 |
. . . . . 6
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56 | 55 | oveq1d 6323 |
. . . . 5
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57 | oveq1 6315 |
. . . . 5
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58 | 56, 57 | eqeq12d 2486 |
. . . 4
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59 | 58 | imbi2d 323 |
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61 | 60 | oveq1d 6323 |
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63 | 61, 62 | eqeq12d 2486 |
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64 | 63 | imbi2d 323 |
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65 | oveq1 6315 |
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66 | 65 | oveq1d 6323 |
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68 | 66, 67 | eqeq12d 2486 |
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69 | 68 | imbi2d 323 |
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70 | 41, 49, 54, 59, 64, 69 | nn0indALT 11054 |
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71 | 70 | imp 436 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1677 ax-4 1690 ax-5 1766 ax-6 1813 ax-7 1859 ax-8 1906 ax-9 1913 ax-10 1932 ax-11 1937 ax-12 1950 ax-13 2104 ax-ext 2451 ax-rep 4508 ax-sep 4518 ax-nul 4527 ax-pow 4579 ax-pr 4639 ax-un 6602 ax-inf2 8164 ax-cnex 9613 ax-resscn 9614 ax-1cn 9615 ax-icn 9616 ax-addcl 9617 ax-addrcl 9618 ax-mulcl 9619 ax-mulrcl 9620 ax-mulcom 9621 ax-addass 9622 ax-mulass 9623 ax-distr 9624 ax-i2m1 9625 ax-1ne0 9626 ax-1rid 9627 ax-rnegex 9628 ax-rrecex 9629 ax-cnre 9630 ax-pre-lttri 9631 ax-pre-lttrn 9632 ax-pre-ltadd 9633 ax-pre-mulgt0 9634 ax-pre-sup 9635 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 377 df-an 378 df-3or 1008 df-3an 1009 df-tru 1455 df-fal 1458 df-ex 1672 df-nf 1676 df-sb 1806 df-eu 2323 df-mo 2324 df-clab 2458 df-cleq 2464 df-clel 2467 df-nfc 2601 df-ne 2643 df-nel 2644 df-ral 2761 df-rex 2762 df-reu 2763 df-rmo 2764 df-rab 2765 df-v 3033 df-sbc 3256 df-csb 3350 df-dif 3393 df-un 3395 df-in 3397 df-ss 3404 df-pss 3406 df-nul 3723 df-if 3873 df-pw 3944 df-sn 3960 df-pr 3962 df-tp 3964 df-op 3966 df-uni 4191 df-int 4227 df-iun 4271 df-br 4396 df-opab 4455 df-mpt 4456 df-tr 4491 df-eprel 4750 df-id 4754 df-po 4760 df-so 4761 df-fr 4798 df-se 4799 df-we 4800 df-xp 4845 df-rel 4846 df-cnv 4847 df-co 4848 df-dm 4849 df-rn 4850 df-res 4851 df-ima 4852 df-pred 5387 df-ord 5433 df-on 5434 df-lim 5435 df-suc 5436 df-iota 5553 df-fun 5591 df-fn 5592 df-f 5593 df-f1 5594 df-fo 5595 df-f1o 5596 df-fv 5597 df-isom 5598 df-riota 6270 df-ov 6311 df-oprab 6312 df-mpt2 6313 df-om 6712 df-1st 6812 df-2nd 6813 df-wrecs 7046 df-recs 7108 df-rdg 7146 df-1o 7200 df-oadd 7204 df-er 7381 df-en 7588 df-dom 7589 df-sdom 7590 df-fin 7591 df-sup 7974 df-oi 8043 df-card 8391 df-pnf 9695 df-mnf 9696 df-xr 9697 df-ltxr 9698 df-le 9699 df-sub 9882 df-neg 9883 df-div 10292 df-nn 10632 df-2 10690 df-3 10691 df-4 10692 df-n0 10894 df-z 10962 df-uz 11183 df-rp 11326 df-fz 11811 df-fzo 11943 df-seq 12252 df-exp 12311 df-hash 12554 df-cj 13239 df-re 13240 df-im 13241 df-sqrt 13375 df-abs 13376 df-clim 13629 df-sum 13830 df-grpo 26000 df-gid 26001 df-ginv 26002 df-ablo 26091 df-vc 26246 df-nv 26292 df-va 26295 df-ba 26296 df-sm 26297 df-0v 26298 df-nmcv 26300 df-dip 26418 df-ph 26535 |
This theorem is referenced by: ipasslem2 26554 ipasslem3 26555 ipasslem4 26556 |
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