MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassi Structured version   Unicode version

Theorem ipassi 25429
Description: Associative law for inner product. Equation I2 of [Ponnusamy] p. 363. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ip1i.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
Assertion
Ref Expression
ipassi  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A S B ) P C )  =  ( A  x.  ( B P C ) ) )

Proof of Theorem ipassi
StepHypRef Expression
1 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A S B )  =  ( A S if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
21oveq1d 6297 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A S B ) P C )  =  ( ( A S if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) ) ) P C ) )
3 oveq1 6289 . . . . . . 7  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( B P C )  =  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) ) P C ) )
43oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A  x.  ( B P C ) )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) ) )
52, 4eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( A S B ) P C )  =  ( A  x.  ( B P C ) )  <->  ( ( A S if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) ) ) P C )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) ) ) )
65imbi2d 316 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A  e.  CC  ->  ( ( A S B ) P C )  =  ( A  x.  ( B P C ) ) )  <-> 
( A  e.  CC  ->  ( ( A S if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) ) ) ) )
7 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A S if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) P C )  =  ( ( A S if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
8 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C )  =  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) )
98oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) ) ) )
107, 9eqeq12d 2489 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( ( A S if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) )  <->  ( ( A S if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U
) ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) ) ) ) )
1110imbi2d 316 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) )  ->  (
( A  e.  CC  ->  ( ( A S if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P C )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P C ) ) )  <-> 
( A  e.  CC  ->  ( ( A S if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B , 
( 0vec `  U )
) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) ) ) ) ) ) )
12 ip1i.1 . . . . 5  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
13 ip1i.2 . . . . 5  |-  G  =  ( +v `  U
)
14 ip1i.4 . . . . 5  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
15 ip1i.7 . . . . 5  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
16 ip1i.9 . . . . 5  |-  U  e.  CPreHil
OLD
17 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( 0vec `  U )  =  (
0vec `  U )
1812, 17, 16elimph 25408 . . . . 5  |-  if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
1912, 17, 16elimph 25408 . . . . 5  |-  if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U ) )  e.  X
2012, 13, 14, 15, 16, 18, 19ipasslem11 25428 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A S if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) ) P if ( C  e.  X ,  C ,  ( 0vec `  U
) ) )  =  ( A  x.  ( if ( B  e.  X ,  B ,  ( 0vec `  U ) ) P if ( C  e.  X ,  C , 
( 0vec `  U )
) ) ) )
216, 11, 20dedth2h 3992 . . 3  |-  ( ( B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A  e.  CC  ->  ( ( A S B ) P C )  =  ( A  x.  ( B P C ) ) ) )
2221com12 31 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( B  e.  X  /\  C  e.  X
)  ->  ( ( A S B ) P C )  =  ( A  x.  ( B P C ) ) ) )
23223impib 1194 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( A S B ) P C )  =  ( A  x.  ( B P C ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3939   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486    x. cmul 9493   +vcpv 25151   BaseSetcba 25152   .sOLDcns 25153   0veccn0v 25154   .iOLDcdip 25283   CPreHil OLDccphlo 25400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-sum 13465  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-hom 14572  df-cco 14573  df-rest 14671  df-topn 14672  df-0g 14690  df-gsum 14691  df-topgen 14692  df-pt 14693  df-prds 14696  df-xrs 14750  df-qtop 14755  df-imas 14756  df-xps 14758  df-mre 14834  df-mrc 14835  df-acs 14837  df-mnd 15725  df-submnd 15775  df-mulg 15858  df-cntz 16147  df-cmn 16593  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-topsp 19167  df-cld 19283  df-ntr 19284  df-cls 19285  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-t1 19578  df-haus 19579  df-tx 19795  df-hmeo 19988  df-xms 20555  df-ms 20556  df-tms 20557  df-grpo 24866  df-gid 24867  df-ginv 24868  df-gdiv 24869  df-ablo 24957  df-vc 25112  df-nv 25158  df-va 25161  df-ba 25162  df-sm 25163  df-0v 25164  df-vs 25165  df-nmcv 25166  df-ims 25167  df-dip 25284  df-ph 25401
This theorem is referenced by:  dipass  25433  ipblnfi  25444
  Copyright terms: Public domain W3C validator