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Theorem ip1ilem 25942
Description: Lemma for ip1i 25943. (Contributed by NM, 21-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ip1i.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ip1i.a  |-  A  e.  X
ip1i.b  |-  B  e.  X
ip1i.c  |-  C  e.  X
ip1i.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
ip0i.j  |-  J  e.  CC
Assertion
Ref Expression
ip1ilem  |-  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  =  ( 2  x.  ( A P C ) )

Proof of Theorem ip1ilem
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . . 7  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 25932 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
3 ip1i.a . . . . . 6  |-  A  e.  X
4 ip1i.c . . . . . 6  |-  C  e.  X
5 ip1i.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
6 ip1i.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( +v `  U
)
7 ip1i.4 . . . . . . 7  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
8 ip1i.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
9 ip1i.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
105, 6, 7, 8, 94ipval2 25819 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
4  x.  ( A P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
112, 3, 4, 10mp3an 1322 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( A P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
1211oveq2i 6281 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( 4  x.  ( A P C ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( ( N `
 ( A G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
13 2cn 10602 . . . . 5  |-  2  e.  CC
14 4cn 10609 . . . . 5  |-  4  e.  CC
155, 9dipcl 25826 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A P C )  e.  CC )
162, 3, 4, 15mp3an 1322 . . . . 5  |-  ( A P C )  e.  CC
1713, 14, 16mul12i 9764 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( 4  x.  ( A P C ) ) )  =  ( 4  x.  (
2  x.  ( A P C ) ) )
185, 6nvgcl 25714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A G C )  e.  X )
192, 3, 4, 18mp3an 1322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A G C )  e.  X
205, 8, 2, 19nvcli 25764 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 ( A G C ) )  e.  RR
2120resqcli 12238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  e.  RR
2221recni 9597 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  e.  CC
23 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
2423negcli 9878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  e.  CC
255, 7nvscl 25722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( -u 1 S C )  e.  X )
262, 24, 4, 25mp3an 1322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 S C )  e.  X
275, 6nvgcl 25714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S C )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S C ) )  e.  X
)
282, 3, 26, 27mp3an 1322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A G ( -u 1 S C ) )  e.  X
295, 8, 2, 28nvcli 25764 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) )  e.  RR
3029resqcli 12238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
3130recni 9597 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
3222, 31subcli 9886 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
33 ax-icn 9540 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
345, 7nvscl 25722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  (
_i S C )  e.  X )
352, 33, 4, 34mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i S C )  e.  X
365, 6nvgcl 25714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  (
_i S C )  e.  X )  -> 
( A G ( _i S C ) )  e.  X )
372, 3, 35, 36mp3an 1322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A G ( _i S C ) )  e.  X
385, 8, 2, 37nvcli 25764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) )  e.  RR
3938resqcli 12238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
4039recni 9597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
4133negcli 9878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u _i  e.  CC
425, 7nvscl 25722 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( -u _i S C )  e.  X )
432, 41, 4, 42mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u _i S C )  e.  X
445, 6nvgcl 25714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u _i S C )  e.  X )  -> 
( A G (
-u _i S C ) )  e.  X
)
452, 3, 43, 44mp3an 1322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A G ( -u _i S C ) )  e.  X
465, 8, 2, 45nvcli 25764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A G ( -u _i S C ) ) )  e.  RR
4746resqcli 12238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
4847recni 9597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
4940, 48subcli 9886 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
5033, 49mulcli 9590 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
5113, 32, 50adddii 9595 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
52 ip1i.b . . . . . . . . 9  |-  B  e.  X
535, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 23ip0i 25941 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
545, 7nvsid 25723 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X )  ->  (
1 S C )  =  C )
552, 4, 54mp2an 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 S C )  =  C
5655oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) )  =  ( ( A G B ) G C )
5756fveq2i 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) )  =  ( N `  (
( A G B ) G C ) )
5857oveq1i 6280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )
5958oveq1i 6280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )
6055oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) )  =  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C )
6160fveq2i 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) )  =  ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G C ) )
6261oveq1i 6280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )
6362oveq1i 6280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )
6459, 63oveq12i 6282 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
6555oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A G ( 1 S C ) )  =  ( A G C )
6665fveq2i 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A G ( 1 S C ) ) )  =  ( N `  ( A G C ) )
6766oveq1i 6280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )
6867oveq1i 6280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )
6968oveq2i 6281 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
7053, 64, 693eqtr3i 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
715, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 33ip0i 25941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
7271oveq2i 6281 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  ( ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
735, 6nvgcl 25714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
742, 3, 52, 73mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A G B )  e.  X
755, 6nvgcl 25714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G B ) G ( _i S C ) )  e.  X )
762, 74, 35, 75mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G B ) G ( _i S C ) )  e.  X
775, 8, 2, 76nvcli 25764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) )  e.  RR
7877resqcli 12238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
7978recni 9597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
805, 6nvgcl 25714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( -u _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G B ) G ( -u _i S C ) )  e.  X )
812, 74, 43, 80mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) )  e.  X
825, 8, 2, 81nvcli 25764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) )  e.  RR
8382resqcli 12238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
8483recni 9597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
8579, 84subcli 9886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
865, 7nvscl 25722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
872, 24, 52, 86mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1 S B )  e.  X
885, 6nvgcl 25714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S B ) )  e.  X
)
892, 3, 87, 88mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X
905, 6nvgcl 25714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G ( _i S C ) )  e.  X )
912, 89, 35, 90mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) )  e.  X
925, 8, 2, 91nvcli 25764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) )  e.  RR
9392resqcli 12238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
9493recni 9597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
955, 6nvgcl 25714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( -u _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) )  e.  X
)
962, 89, 43, 95mp3an 1322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) )  e.  X
975, 8, 2, 96nvcli 25764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) )  e.  RR
9897resqcli 12238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
9998recni 9597 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
10094, 99subcli 9886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
10133, 85, 100adddii 9595 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  ( ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10233, 13, 49mul12i 9764 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10372, 101, 1023eqtr3i 2491 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10470, 103oveq12i 6282 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  (
( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
10551, 104eqtr4i 2486 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1065, 6nvgcl 25714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G B ) G C )  e.  X )
1072, 74, 4, 106mp3an 1322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G B ) G C )  e.  X
1085, 8, 2, 107nvcli 25764 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G C ) )  e.  RR
109108resqcli 12238 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  e.  RR
110109recni 9597 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  e.  CC
1115, 6nvgcl 25714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( -u
1 S C )  e.  X )  -> 
( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) )  e.  X
)
1122, 74, 26, 111mp3an 1322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) )  e.  X
1135, 8, 2, 112nvcli 25764 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) )  e.  RR
114113resqcli 12238 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
115114recni 9597 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
116110, 115subcli 9886 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
1175, 6nvgcl 25714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G C )  e.  X )
1182, 89, 4, 117mp3an 1322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C )  e.  X
1195, 8, 2, 118nvcli 25764 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) )  e.  RR
120119resqcli 12238 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  e.  RR
121120recni 9597 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  e.  CC
1225, 6nvgcl 25714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( -u
1 S C )  e.  X )  -> 
( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) )  e.  X )
1232, 89, 26, 122mp3an 1322 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) )  e.  X
1245, 8, 2, 123nvcli 25764 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) )  e.  RR
125124resqcli 12238 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
126125recni 9597 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
127121, 126subcli 9886 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
12833, 85mulcli 9590 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) )  e.  CC
12933, 100mulcli 9590 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
130116, 127, 128, 129add4i 9789 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )
1315, 9dipcl 25826 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G B ) P C )  e.  CC )
1322, 74, 4, 131mp3an 1322 . . . . . . 7  |-  ( ( A G B ) P C )  e.  CC
1335, 9dipcl 25826 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) P C )  e.  CC )
1342, 89, 4, 133mp3an 1322 . . . . . . 7  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) P C )  e.  CC
13514, 132, 134adddii 9595 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  +  ( 4  x.  (
( A G (
-u 1 S B ) ) P C ) ) )
1365, 6, 7, 8, 94ipval2 25819 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  (
( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1372, 74, 4, 136mp3an 1322 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
1385, 6, 7, 8, 94ipval2 25819 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )
1392, 89, 4, 138mp3an 1322 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) )
140137, 139oveq12i 6282 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  +  ( 4  x.  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  =  ( ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )
141135, 140eqtr2i 2484 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )
142105, 130, 1413eqtri 2487 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G (
-u 1 S B ) ) P C ) ) )
14312, 17, 1423eqtr3ri 2492 . . 3  |-  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  =  ( 4  x.  ( 2  x.  ( A P C ) ) )
144143oveq1i 6280 . 2  |-  ( ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  /  4 )  =  ( ( 4  x.  ( 2  x.  ( A P C ) ) )  /  4 )
145132, 134addcli 9589 . . 3  |-  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  e.  CC
146 4ne0 10628 . . 3  |-  4  =/=  0
147145, 14, 146divcan3i 10286 . 2  |-  ( ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  /  4 )  =  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G (
-u 1 S B ) ) P C ) )
14813, 16mulcli 9590 . . 3  |-  ( 2  x.  ( A P C ) )  e.  CC
149148, 14, 146divcan3i 10286 . 2  |-  ( ( 4  x.  ( 2  x.  ( A P C ) ) )  /  4 )  =  ( 2  x.  ( A P C ) )
150144, 147, 1493eqtr3i 2491 1  |-  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  =  ( 2  x.  ( A P C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   1c1 9482   _ici 9483    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   2c2 10581   4c4 10583   ^cexp 12151   NrmCVeccnv 25678   +vcpv 25679   BaseSetcba 25680   .sOLDcns 25681   normCVcnmcv 25684   .iOLDcdip 25811   CPreHil OLDccphlo 25928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-sum 13594  df-grpo 25394  df-ablo 25485  df-vc 25640  df-nv 25686  df-va 25689  df-ba 25690  df-sm 25691  df-0v 25692  df-nmcv 25694  df-dip 25812  df-ph 25929
This theorem is referenced by:  ip1i  25943
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