MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip1ilem Structured version   Unicode version

Theorem ip1ilem 25433
Description: Lemma for ip1i 25434. (Contributed by NM, 21-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
ip1i.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
ip1i.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
ip1i.7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
ip1i.9  |-  U  e.  CPreHil
OLD
ip1i.a  |-  A  e.  X
ip1i.b  |-  B  e.  X
ip1i.c  |-  C  e.  X
ip1i.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
ip0i.j  |-  J  e.  CC
Assertion
Ref Expression
ip1ilem  |-  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  =  ( 2  x.  ( A P C ) )

Proof of Theorem ip1ilem
StepHypRef Expression
1 ip1i.9 . . . . . . 7  |-  U  e.  CPreHil
OLD
21phnvi 25423 . . . . . 6  |-  U  e.  NrmCVec
3 ip1i.a . . . . . 6  |-  A  e.  X
4 ip1i.c . . . . . 6  |-  C  e.  X
5 ip1i.1 . . . . . . 7  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
6 ip1i.2 . . . . . . 7  |-  G  =  ( +v `  U
)
7 ip1i.4 . . . . . . 7  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
8 ip1i.6 . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
9 ip1i.7 . . . . . . 7  |-  P  =  ( .iOLD `  U )
105, 6, 7, 8, 94ipval2 25310 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
4  x.  ( A P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
112, 3, 4, 10mp3an 1324 . . . . 5  |-  ( 4  x.  ( A P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
1211oveq2i 6294 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( 4  x.  ( A P C ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( ( N `
 ( A G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
13 2cn 10605 . . . . 5  |-  2  e.  CC
14 4cn 10612 . . . . 5  |-  4  e.  CC
155, 9dipcl 25317 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A P C )  e.  CC )
162, 3, 4, 15mp3an 1324 . . . . 5  |-  ( A P C )  e.  CC
1713, 14, 16mul12i 9773 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( 4  x.  ( A P C ) ) )  =  ( 4  x.  (
2  x.  ( A P C ) ) )
185, 6nvgcl 25205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( A G C )  e.  X )
192, 3, 4, 18mp3an 1324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A G C )  e.  X
205, 8, 2, 19nvcli 25255 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 ( A G C ) )  e.  RR
2120resqcli 12220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  e.  RR
2221recni 9607 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  e.  CC
23 ax-1cn 9549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
2423negcli 9886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  e.  CC
255, 7nvscl 25213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( -u 1 S C )  e.  X )
262, 24, 4, 25mp3an 1324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1 S C )  e.  X
275, 6nvgcl 25205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S C )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S C ) )  e.  X
)
282, 3, 26, 27mp3an 1324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A G ( -u 1 S C ) )  e.  X
295, 8, 2, 28nvcli 25255 . . . . . . . . . 10  |-  ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) )  e.  RR
3029resqcli 12220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
3130recni 9607 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
3222, 31subcli 9894 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
33 ax-icn 9550 . . . . . . . 8  |-  _i  e.  CC
345, 7nvscl 25213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  _i  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  (
_i S C )  e.  X )
352, 33, 4, 34mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( _i S C )  e.  X
365, 6nvgcl 25205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  (
_i S C )  e.  X )  -> 
( A G ( _i S C ) )  e.  X )
372, 3, 35, 36mp3an 1324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A G ( _i S C ) )  e.  X
385, 8, 2, 37nvcli 25255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) )  e.  RR
3938resqcli 12220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
4039recni 9607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
4133negcli 9886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -u _i  e.  CC
425, 7nvscl 25213 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u _i  e.  CC  /\  C  e.  X )  ->  ( -u _i S C )  e.  X )
432, 41, 4, 42mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -u _i S C )  e.  X
445, 6nvgcl 25205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u _i S C )  e.  X )  -> 
( A G (
-u _i S C ) )  e.  X
)
452, 3, 43, 44mp3an 1324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A G ( -u _i S C ) )  e.  X
465, 8, 2, 45nvcli 25255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A G ( -u _i S C ) ) )  e.  RR
4746resqcli 12220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
4847recni 9607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
4940, 48subcli 9894 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
5033, 49mulcli 9600 . . . . . . 7  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
5113, 32, 50adddii 9605 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  (
_i  x.  ( (
( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
52 ip1i.b . . . . . . . . 9  |-  B  e.  X
535, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 23ip0i 25432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
545, 7nvsid 25214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  C  e.  X )  ->  (
1 S C )  =  C )
552, 4, 54mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 S C )  =  C
5655oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) )  =  ( ( A G B ) G C )
5756fveq2i 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) )  =  ( N `  (
( A G B ) G C ) )
5857oveq1i 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )
5958oveq1i 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )
6055oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) )  =  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C )
6160fveq2i 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) )  =  ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G C ) )
6261oveq1i 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )
6362oveq1i 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )
6459, 63oveq12i 6295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
6555oveq2i 6294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A G ( 1 S C ) )  =  ( A G C )
6665fveq2i 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N `
 ( A G ( 1 S C ) ) )  =  ( N `  ( A G C ) )
6766oveq1i 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )
6867oveq1i 6293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )
6968oveq2i 6294 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( 1 S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  (
( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
7053, 64, 693eqtr3i 2504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
715, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 33ip0i 25432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
7271oveq2i 6294 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  ( ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
735, 6nvgcl 25205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A G B )  e.  X )
742, 3, 52, 73mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A G B )  e.  X
755, 6nvgcl 25205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G B ) G ( _i S C ) )  e.  X )
762, 74, 35, 75mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G B ) G ( _i S C ) )  e.  X
775, 8, 2, 76nvcli 25255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) )  e.  RR
7877resqcli 12220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
7978recni 9607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
805, 6nvgcl 25205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( -u _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G B ) G ( -u _i S C ) )  e.  X )
812, 74, 43, 80mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) )  e.  X
825, 8, 2, 81nvcli 25255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) )  e.  RR
8382resqcli 12220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
8483recni 9607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
8579, 84subcli 9894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
865, 7nvscl 25213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  B  e.  X )  ->  ( -u 1 S B )  e.  X )
872, 24, 52, 86mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -u
1 S B )  e.  X
885, 6nvgcl 25205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  ( -u 1 S B )  e.  X )  -> 
( A G (
-u 1 S B ) )  e.  X
)
892, 3, 87, 88mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X
905, 6nvgcl 25205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G ( _i S C ) )  e.  X )
912, 89, 35, 90mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) )  e.  X
925, 8, 2, 91nvcli 25255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) )  e.  RR
9392resqcli 12220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
9493recni 9607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
955, 6nvgcl 25205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( -u _i S C )  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) )  e.  X
)
962, 89, 43, 95mp3an 1324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) )  e.  X
975, 8, 2, 96nvcli 25255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) )  e.  RR
9897resqcli 12220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
9998recni 9607 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
10094, 99subcli 9894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
10133, 85, 100adddii 9605 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  ( ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10233, 13, 49mul12i 9773 . . . . . . . 8  |-  ( _i  x.  ( 2  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10372, 101, 1023eqtr3i 2504 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
10470, 103oveq12i 6295 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( 2  x.  (
( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( A G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( A G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
10551, 104eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  ( 2  x.  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1065, 6nvgcl 25205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G B ) G C )  e.  X )
1072, 74, 4, 106mp3an 1324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G B ) G C )  e.  X
1085, 8, 2, 107nvcli 25255 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G C ) )  e.  RR
109108resqcli 12220 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  e.  RR
110109recni 9607 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  e.  CC
1115, 6nvgcl 25205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  ( -u
1 S C )  e.  X )  -> 
( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) )  e.  X
)
1122, 74, 26, 111mp3an 1324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) )  e.  X
1135, 8, 2, 112nvcli 25255 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) )  e.  RR
114113resqcli 12220 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
115114recni 9607 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
116110, 115subcli 9894 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  (
( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
1175, 6nvgcl 25205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G C )  e.  X )
1182, 89, 4, 117mp3an 1324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C )  e.  X
1195, 8, 2, 118nvcli 25255 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) )  e.  RR
120119resqcli 12220 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  e.  RR
121120recni 9607 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  e.  CC
1225, 6nvgcl 25205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  ( -u
1 S C )  e.  X )  -> 
( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) )  e.  X )
1232, 89, 26, 122mp3an 1324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) )  e.  X
1245, 8, 2, 123nvcli 25255 . . . . . . . . 9  |-  ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) )  e.  RR
125124resqcli 12220 . . . . . . . 8  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  RR
126125recni 9607 . . . . . . 7  |-  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 )  e.  CC
127121, 126subcli 9894 . . . . . 6  |-  ( ( ( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  e.  CC
12833, 85mulcli 9600 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) )  e.  CC
12933, 100mulcli 9600 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) )  e.  CC
130116, 127, 128, 129add4i 9798 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( ( _i  x.  ( ( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )
1315, 9dipcl 25317 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G B ) P C )  e.  CC )
1322, 74, 4, 131mp3an 1324 . . . . . . 7  |-  ( ( A G B ) P C )  e.  CC
1335, 9dipcl 25317 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
( A G (
-u 1 S B ) ) P C )  e.  CC )
1342, 89, 4, 133mp3an 1324 . . . . . . 7  |-  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) P C )  e.  CC
13514, 132, 134adddii 9605 . . . . . 6  |-  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  =  ( ( 4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  +  ( 4  x.  (
( A G (
-u 1 S B ) ) P C ) ) )
1365, 6, 7, 8, 94ipval2 25310 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G B )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  (
( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
1372, 74, 4, 136mp3an 1324 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
1385, 6, 7, 8, 94ipval2 25310 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A G ( -u 1 S B ) )  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  (
4  x.  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )
1392, 89, 4, 138mp3an 1324 . . . . . . 7  |-  ( 4  x.  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  =  ( ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) )
140137, 139oveq12i 6295 . . . . . 6  |-  ( ( 4  x.  ( ( A G B ) P C ) )  +  ( 4  x.  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  =  ( ( ( ( ( N `  ( ( A G B ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( ( A G B ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( ( N `  ( ( A G ( -u
1 S B ) ) G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u 1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )
141135, 140eqtr2i 2497 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( N `
 ( ( A G B ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G B ) G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  (
( A G B ) G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `
 ( ( A G B ) G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( ( ( N `
 ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G C ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u 1 S C ) ) ) ^
2 ) )  +  ( _i  x.  (
( ( N `  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( _i S C ) ) ) ^
2 )  -  (
( N `  (
( A G (
-u 1 S B ) ) G (
-u _i S C ) ) ) ^
2 ) ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )
142105, 130, 1413eqtri 2500 . . . 4  |-  ( 2  x.  ( ( ( ( N `  ( A G C ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u
1 S C ) ) ) ^ 2 ) )  +  ( _i  x.  ( ( ( N `  ( A G ( _i S C ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( N `  ( A G ( -u _i S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )  =  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G (
-u 1 S B ) ) P C ) ) )
14312, 17, 1423eqtr3ri 2505 . . 3  |-  ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  =  ( 4  x.  ( 2  x.  ( A P C ) ) )
144143oveq1i 6293 . 2  |-  ( ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  /  4 )  =  ( ( 4  x.  ( 2  x.  ( A P C ) ) )  /  4 )
145132, 134addcli 9599 . . 3  |-  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  e.  CC
146 4ne0 10631 . . 3  |-  4  =/=  0
147145, 14, 146divcan3i 10289 . 2  |-  ( ( 4  x.  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) ) )  /  4 )  =  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G (
-u 1 S B ) ) P C ) )
14813, 16mulcli 9600 . . 3  |-  ( 2  x.  ( A P C ) )  e.  CC
149148, 14, 146divcan3i 10289 . 2  |-  ( ( 4  x.  ( 2  x.  ( A P C ) ) )  /  4 )  =  ( 2  x.  ( A P C ) )
150144, 147, 1493eqtr3i 2504 1  |-  ( ( ( A G B ) P C )  +  ( ( A G ( -u 1 S B ) ) P C ) )  =  ( 2  x.  ( A P C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   1c1 9492   _ici 9493    + caddc 9494    x. cmul 9496    - cmin 9804   -ucneg 9805    / cdiv 10205   2c2 10584   4c4 10586   ^cexp 12133   NrmCVeccnv 25169   +vcpv 25170   BaseSetcba 25171   .sOLDcns 25172   normCVcnmcv 25175   .iOLDcdip 25302   CPreHil OLDccphlo 25419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-sum 13471  df-grpo 24885  df-ablo 24976  df-vc 25131  df-nv 25177  df-va 25180  df-ba 25181  df-sm 25182  df-0v 25183  df-nmcv 25185  df-dip 25303  df-ph 25420
This theorem is referenced by:  ip1i  25434
  Copyright terms: Public domain W3C validator