Theorem ip1cnilem6 9717

Description: Lemma for ip1cni 9718.

Hypotheses

Ref	Expression
ip1cni.1	|- X = (BaseSet` U)
ip1cni.2	|- G = (+v` U)
ip1cni.7	|- P = (.i` U)
ip1cni.8	|- C = (IndMet` U)
ip1cni.d	|- D = (abs o. - )
ip1cni.j	|- J = (Open` C)
ip1cni.k	|- K = (Open` D)
ip1cni.f	|- F = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wPA))}
ip1cni.9	|- U e. NrmCVec
ip1cni.a	|- A e. X
ip1cnilem.4	|- S = (.s` U)
ip1cnilem.6	|- N = (norm` U)
ip1cnilem.16	|- H = {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (((_i^k) x. ((N` (uG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)))}

Assertion

Ref	Expression
ip1cnilem6	|- F e. (J Cn K)

Distinct variable groups:   t,k,u,v,w,A   u,C,w   u,D,w   k,G,t,u,v,w   v,H,w   k,J,u,w   k,K,u,w   k,N,t,u,v,w   S,k,t,u,v,w   U,k,t,u,v,w   k,X,t,u,v,w

Proof of Theorem ip1cnilem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4nn 7186	. 2 |- 4 e. NN
2		ip1cni.9	. . . 4 |- U e. NrmCVec
3		ip1cni.8	. . . . 5 |- C = (IndMet` U)
4	3	imsmet 9656	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> C e. Met)
5	2, 4	ax-mp 7	. . 3 |- C e. Met
6		ip1cni.1	. . . 4 |- X = (BaseSet` U)
7	6, 3, 2	imsbai 9654	. . 3 |- X = dom dom C
8		ip1cni.d	. . 3 |- D = (abs o. - )
9		ip1cni.j	. . 3 |- J = (Open` C)
10		ip1cni.k	. . 3 |- K = (Open` D)
11		ip1cni.2	. . . 4 |- G = (+v` U)
12		ip1cni.7	. . . 4 |- P = (.i` U)
13		ip1cni.f	. . . 4 |- F = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wPA))}
14		ip1cni.a	. . . 4 |- A e. X
15		ip1cnilem.4	. . . 4 |- S = (.s` U)
16		ip1cnilem.6	. . . 4 |- N = (norm` U)
17		ip1cnilem.16	. . . 4 |- H = {<.u, t>. | (u e. X /\ t = (((_i^k) x. ((N` (uG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)))}
18	6, 11, 12, 3, 8, 9, 10, 13, 2, 14, 15, 16, 17	ip1cnilem5 9716	. . 3 |- (k e. NN -> H e. (J Cn K))
19		nnnn0 7315	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. NN -> k e. NN0)
20		axicn 6423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _i e. CC
21		expcl 7824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((_i e. CC /\ k e. NN0) -> (_i^k) e. CC)
22	20, 21	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (k e. NN0 -> (_i^k) e. CC)
23	19, 22	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (k e. NN -> (_i^k) e. CC)
24	23	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. X /\ k e. NN) -> (_i^k) e. CC)
25	6, 11	nvgcl 9571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((U e. NrmCVec /\ w e. X /\ ((_i^k)SA) e. X) -> (wG((_i^k)SA)) e. X)
26	2, 25	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((w e. X /\ ((_i^k)SA) e. X) -> (wG((_i^k)SA)) e. X)
27	6, 15	nvscl 9579	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((U e. NrmCVec /\ (_i^k) e. CC /\ A e. X) -> ((_i^k)SA) e. X)
28	2, 14, 27	mp3an13 1182	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((_i^k) e. CC -> ((_i^k)SA) e. X)
29	23, 28	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (k e. NN -> ((_i^k)SA) e. X)
30	26, 29	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((w e. X /\ k e. NN) -> (wG((_i^k)SA)) e. X)
31	6, 16	nvcl 9619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((U e. NrmCVec /\ (wG((_i^k)SA)) e. X) -> (N` (wG((_i^k)SA))) e. RR)
32	2, 31	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((wG((_i^k)SA)) e. X -> (N` (wG((_i^k)SA))) e. RR)
33	30, 32	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. X /\ k e. NN) -> (N` (wG((_i^k)SA))) e. RR)
34	33	recnd 6468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. X /\ k e. NN) -> (N` (wG((_i^k)SA))) e. CC)
35		sqcl 7856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((N` (wG((_i^k)SA))) e. CC -> ((N` (wG((_i^k)SA)))^2) e. CC)
36	34, 35	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. X /\ k e. NN) -> ((N` (wG((_i^k)SA)))^2) e. CC)
37		mulcl 6456	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((_i^k) e. CC /\ ((N` (wG((_i^k)SA)))^2) e. CC) -> ((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) e. CC)
38	24, 36, 37	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. X /\ k e. NN) -> ((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) e. CC)
39		elfznn 7666	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. (1...4) -> k e. NN)
40	38, 39	sylan2 500	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. X /\ k e. (1...4)) -> ((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) e. CC)
41	40	r19.21aiva 2176	. . . . . . . . . 10 |- (w e. X -> A.k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) e. CC)
42		elnnuz 7609	. . . . . . . . . . . 12 |- (4 e. NN <-> 4 e. (ZZ>=` 1))
43	1, 42	mpbi 206	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. (ZZ>=` 1)
44		fsumcl 8275	. . . . . . . . . . 11 |- ((4 e. (ZZ>=` 1) /\ A.k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) e. CC) -> sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) e. CC)
45	43, 44	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- (A.k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) e. CC -> sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) e. CC)
46	41, 45	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (w e. X -> sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) e. CC)
47		4re 7166	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. RR
48	47	recni 6467	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. CC
49		4pos 7176	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 4
50	47, 49	gt0ne0ii 6799	. . . . . . . . . 10 |- 4 =/= 0
51		divrec 6922	. . . . . . . . . 10 |- ((sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) e. CC /\ 4 e. CC /\ 4 =/= 0) -> (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) / 4) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)))
52	48, 50, 51	mp3an23 1183	. . . . . . . . 9 |- (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) e. CC -> (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) / 4) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)))
53	46, 52	syl 12	. . . . . . . 8 |- (w e. X -> (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) / 4) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)))
54	6, 11, 15, 16, 12	ipval 9692	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ w e. X /\ A e. X) -> (wPA) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) / 4))
55	2, 14, 54	mp3an13 1182	. . . . . . . 8 |- (w e. X -> (wPA) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) / 4))
56		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (u = w -> (uG((_i^k)SA)) = (wG((_i^k)SA)))
57	56	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = w -> (N` (uG((_i^k)SA))) = (N` (wG((_i^k)SA))))
58	57	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u = w -> ((N` (uG((_i^k)SA)))^2) = ((N` (wG((_i^k)SA)))^2))
59	58	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . 12 |- (u = w -> ((_i^k) x. ((N` (uG((_i^k)SA)))^2)) = ((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)))
60	59	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . 11 |- (u = w -> (((_i^k) x. ((N` (uG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)) = (((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)))
61		oprex 4907	. . . . . . . . . . 11 |- (((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)) e. _V
62	60, 17, 61	fvopab4 4743	. . . . . . . . . 10 |- (w e. X -> (H` w) = (((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)))
63	62	sumeq2sdv 8253	. . . . . . . . 9 |- (w e. X -> sum_k e. (1...4)(H` w) = sum_k e. (1...4)(((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)))
64	48, 50	reccli 6902	. . . . . . . . . . 11 |- (1 / 4) e. CC
65		fsummulc2 8294	. . . . . . . . . . 11 |- ((4 e. (ZZ>=` 1) /\ (1 / 4) e. CC /\ A.k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) e. CC) -> (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)) = sum_k e. (1...4)(((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)))
66	43, 64, 65	mp3an12 1181	. . . . . . . . . 10 |- (A.k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) e. CC -> (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)) = sum_k e. (1...4)(((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)))
67	41, 66	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (w e. X -> (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)) = sum_k e. (1...4)(((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)))
68	63, 67	eqtr4d 1928	. . . . . . . 8 |- (w e. X -> sum_k e. (1...4)(H` w) = (sum_k e. (1...4)((_i^k) x. ((N` (wG((_i^k)SA)))^2)) x. (1 / 4)))
69	53, 55, 68	3eqtr4rd 1939	. . . . . . 7 |- (w e. X -> sum_k e. (1...4)(H` w) = (wPA))
70	69	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- (w e. X -> (v = sum_k e. (1...4)(H` w) <-> v = (wPA)))
71	70	pm5.32i 707	. . . . 5 |- ((w e. X /\ v = sum_k e. (1...4)(H` w)) <-> (w e. X /\ v = (wPA)))
72	71	opabbii 3402	. . . 4 |- {<.w, v>. | (w e. X /\ v = sum_k e. (1...4)(H` w))} = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = (wPA))}
73	13, 72	eqtr4i 1911	. . 3 |- F = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = sum_k e. (1...4)(H` w))}
74	5, 7, 8, 9, 10, 18, 73	fsumcn 9268	. 2 |- (4 e. NN -> F e. (J Cn K))
75	1, 74	ax-mp 7	1 |- F e. (J Cn K)

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  {copab 3395   o. ccom 3990  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387  _ici 6388   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447  NNcn 6449  NN0cn0 6450  2c2 7145  4c4 7147  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637  ^cexp 7811  abscabs 8000  sum_csu 8239   Cn ccn 9028  Metcme 9066  Opencopn 9069  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  normcnm 9541  IndMetcims 9542  .icip 9688

This theorem is referenced by:  ip1cni 9718

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689

Copyright terms: Public domain