MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ip0r Structured version   Unicode version

Theorem ip0r 18972
Description: Inner product with a zero second argument. (Contributed by NM, 5-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
phllmhm.h  |-  .,  =  ( .i `  W )
phllmhm.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
ip0l.z  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
ip0l.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
Assertion
Ref Expression
ip0r  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  .0.  )  =  Z )

Proof of Theorem ip0r
StepHypRef Expression
1 phlsrng.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
2 phllmhm.h . . . 4  |-  .,  =  ( .i `  W )
3 phllmhm.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
4 ip0l.z . . . 4  |-  Z  =  ( 0g `  F
)
5 ip0l.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
61, 2, 3, 4, 5ip0l 18971 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (  .0.  .,  A )  =  Z )
76fveq2d 5855 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  (  .0.  .,  A ) )  =  ( ( *r `  F ) `
 Z ) )
8 phllmod 18965 . . . . 5  |-  ( W  e.  PreHil  ->  W  e.  LMod )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  W  e.  LMod )
103, 5lmod0vcl 17863 . . . 4  |-  ( W  e.  LMod  ->  .0.  e.  V )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  .0.  e.  V )
12 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( *r `  F )  =  ( *r `  F )
131, 2, 3, 12ipcj 18969 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  .0.  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  (  .0.  .,  A ) )  =  ( A  .,  .0.  ) )
14133expa 1199 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  .0.  e.  V )  /\  A  e.  V
)  ->  ( (
*r `  F
) `  (  .0.  .,  A ) )  =  ( A  .,  .0.  ) )
1514an32s 807 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  /\  .0.  e.  V
)  ->  ( (
*r `  F
) `  (  .0.  .,  A ) )  =  ( A  .,  .0.  ) )
1611, 15mpdan 668 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  (  .0.  .,  A ) )  =  ( A  .,  .0.  ) )
171phlsrng 18966 . . . 4  |-  ( W  e.  PreHil  ->  F  e.  *Ring )
1817adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  F  e.  *Ring )
1912, 4srng0 17831 . . 3  |-  ( F  e.  *Ring  ->  ( (
*r `  F
) `  Z )  =  Z )
2018, 19syl 17 . 2  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  (
( *r `  F ) `  Z
)  =  Z )
217, 16, 203eqtr3d 2453 1  |-  ( ( W  e.  PreHil  /\  A  e.  V )  ->  ( A  .,  .0.  )  =  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Basecbs 14843   *rcstv 14913  Scalarcsca 14914   .icip 14916   0gc0g 15056   *Ringcsr 17815   LModclmod 17834   PreHilcphl 18959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-tpos 6960  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-0g 15058  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247  df-mhm 16292  df-grp 16383  df-ghm 16591  df-mgp 17464  df-ur 17476  df-ring 17522  df-oppr 17594  df-rnghom 17686  df-staf 17816  df-srng 17817  df-lmod 17836  df-lmhm 17990  df-lvec 18071  df-sra 18140  df-rgmod 18141  df-phl 18961
This theorem is referenced by:  cphip0r  21943  ipcau2  21971
  Copyright terms: Public domain W3C validator