Theorem ip0r 9709

Description: Inner product with a zero second argument.

Hypotheses

Ref	Expression
ip0r.1	|- X = (BaseSet` U)
ip0r.5	|- Z = (0v` U)
ip0r.7	|- P = (.i` U)

Assertion

Ref	Expression
ip0r	|- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (APZ) = 0)

Proof of Theorem ip0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip0r.1	. . . . 5 |- X = (BaseSet` U)
2		ip0r.5	. . . . 5 |- Z = (0v` U)
3	1, 2	nvzcl 9587	. . . 4 |- (U e. NrmCVec -> Z e. X)
4	3	adantr 425	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> Z e. X)
5		eqid 1884	. . . 4 |- (+v` U) = (+v` U)
6		eqid 1884	. . . 4 |- (.s` U) = (.s` U)
7		eqid 1884	. . . 4 |- (norm` U) = (norm` U)
8		ip0r.7	. . . 4 |- P = (.i` U)
9	1, 5, 6, 7, 8	ipval2 9696	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ Z e. X) -> (APZ) = ((((((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)))^2)) + (_i x. ((((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)Z)))^2)))) / 4))
10	4, 9	mpd3an3 1192	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (APZ) = ((((((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)))^2)) + (_i x. ((((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)Z)))^2)))) / 4))
11		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
12	11	negcli 6526	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u1 e. CC
13	6, 2	nvsz 9591	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((U e. NrmCVec /\ -u1 e. CC) -> (-u1(.s` U)Z) = Z)
14	12, 13	mpan2 760	. . . . . . . . . . . 12 |- (U e. NrmCVec -> (-u1(.s` U)Z) = Z)
15	14	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (-u1(.s` U)Z) = Z)
16	15	opreq2d 4898	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)) = (A(+v` U)Z))
17	16	fveq2d 4685	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((norm` U)` (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z))) = ((norm` U)` (A(+v` U)Z)))
18	17	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (((norm` U)` (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)))^2) = (((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2))
19	18	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)))^2)) = ((((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2)))
20	1, 5, 6, 7, 8	ipval2lem3 9694	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ Z e. X) -> (((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) e. RR)
21	4, 20	mpd3an3 1192	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) e. RR)
22	21	recnd 6468	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) e. CC)
23		subid 6555	. . . . . . . 8 |- ((((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) e. CC -> ((((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2)) = 0)
24	22, 23	syl 12	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2)) = 0)
25	19, 24	eqtrd 1925	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)))^2)) = 0)
26		axicn 6423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _i e. CC
27	26	negcli 6526	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u_i e. CC
28	6, 2	nvsz 9591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((U e. NrmCVec /\ -u_i e. CC) -> (-u_i(.s` U)Z) = Z)
29	27, 28	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (U e. NrmCVec -> (-u_i(.s` U)Z) = Z)
30	6, 2	nvsz 9591	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((U e. NrmCVec /\ _i e. CC) -> (_i(.s` U)Z) = Z)
31	26, 30	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (U e. NrmCVec -> (_i(.s` U)Z) = Z)
32	29, 31	eqtr4d 1928	. . . . . . . . . . . . 13 |- (U e. NrmCVec -> (-u_i(.s` U)Z) = (_i(.s` U)Z))
33	32	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (-u_i(.s` U)Z) = (_i(.s` U)Z))
34	33	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . 11 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (A(+v` U)(-u_i(.s` U)Z)) = (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))
35	34	fveq2d 4685	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((norm` U)` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)Z))) = ((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z))))
36	35	opreq1d 4897	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (((norm` U)` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)Z)))^2) = (((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2))
37	36	opreq2d 4898	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)Z)))^2)) = ((((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2)))
38	1, 5, 6, 7, 8	ipval2lem4 9695	. . . . . . . . . . 11 |- (((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ Z e. X) /\ _i e. CC) -> (((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) e. CC)
39	26, 38	mpan2 760	. . . . . . . . . 10 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ Z e. X) -> (((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) e. CC)
40	4, 39	mpd3an3 1192	. . . . . . . . 9 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) e. CC)
41		subid 6555	. . . . . . . . 9 |- ((((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) e. CC -> ((((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2)) = 0)
42	40, 41	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2)) = 0)
43	37, 42	eqtrd 1925	. . . . . . 7 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)Z)))^2)) = 0)
44	43	opreq2d 4898	. . . . . 6 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (_i x. ((((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)Z)))^2))) = (_i x. 0))
45	25, 44	opreq12d 4900	. . . . 5 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (((((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)))^2)) + (_i x. ((((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)Z)))^2)))) = (0 + (_i x. 0)))
46	26	mul01i 6594	. . . . . . 7 |- (_i x. 0) = 0
47	46	opreq2i 4893	. . . . . 6 |- (0 + (_i x. 0)) = (0 + 0)
48		0cn 6481	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
49	48	addid1i 6483	. . . . . 6 |- (0 + 0) = 0
50	47, 49	eqtri 1908	. . . . 5 |- (0 + (_i x. 0)) = 0
51	45, 50	syl6eq 1944	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (((((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)))^2)) + (_i x. ((((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)Z)))^2)))) = 0)
52	51	opreq1d 4897	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((((((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)))^2)) + (_i x. ((((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)Z)))^2)))) / 4) = (0 / 4))
53		4re 7166	. . . . 5 |- 4 e. RR
54	53	recni 6467	. . . 4 |- 4 e. CC
55		4pos 7176	. . . . 5 |- 0 < 4
56	53, 55	gt0ne0ii 6799	. . . 4 |- 4 =/= 0
57	54, 56	div0i 6947	. . 3 |- (0 / 4) = 0
58	52, 57	syl6eq 1944	. 2 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> ((((((norm` U)` (A(+v` U)Z))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u1(.s` U)Z)))^2)) + (_i x. ((((norm` U)` (A(+v` U)(_i(.s` U)Z)))^2) - (((norm` U)` (A(+v` U)(-u_i(.s` U)Z)))^2)))) / 4) = 0)
59	10, 58	eqtrd 1925	1 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X) -> (APZ) = 0)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445  -ucneg 6446   / cdiv 6447  2c2 7145  4c4 7147  ^cexp 7811  NrmCVeccnv 9535  +vcpv 9536  BaseSetcba 9537  .scns 9538  0vcn0v 9539  normcnm 9541  .icip 9688

This theorem is referenced by:  ip0l 9710  siii 9854

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sum 8240  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-nm 9551  df-ip 9689

Copyright terms: Public domain