Theorem iordsmo 16448

Description: The identity relation restricted to the ordinals is a strictly monotone function.

Hypothesis

Ref	Expression
iordsmo.1	|- Ord A

Assertion

Ref	Expression
iordsmo	|- Smo ( _I |` A)

Proof of Theorem iordsmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f 4010	. . 3 |- (( _I |` A):A-->On <-> (( _I |` A) Fn A /\ ran ( _I |` A) C_ On))
2		fnresi 4529	. . 3 |- ( _I |` A) Fn A
3		rnresi 4281	. . . 4 |- ran ( _I |` A) = A
4		iordsmo.1	. . . . 5 |- Ord A
5		ordsson 3867	. . . . 5 |- (Ord A -> A C_ On)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . 4 |- A C_ On
7	3, 6	eqsstri 2647	. . 3 |- ran ( _I |` A) C_ On
8	1, 2, 7	mpbir2an 800	. 2 |- ( _I |` A):A-->On
9		fvresi 4819	. . . . 5 |- (x e. A -> (( _I |` A)` x) = x)
10	9	adantr 425	. . . 4 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (( _I |` A)` x) = x)
11		fvresi 4819	. . . . 5 |- (y e. A -> (( _I |` A)` y) = y)
12	11	adantl 424	. . . 4 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (( _I |` A)` y) = y)
13	10, 12	eleq12d 1965	. . 3 |- ((x e. A /\ y e. A) -> ((( _I |` A)` x) e. (( _I |` A)` y) <-> x e. y))
14	13	biimprd 171	. 2 |- ((x e. A /\ y e. A) -> (x e. y -> (( _I |` A)` x) e. (( _I |` A)` y)))
15		dmresi 4257	. 2 |- dom ( _I |` A) = A
16	8, 4, 14, 15	issmo 16443	1 |- Smo ( _I |` A)

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593   _I cid 3582  Ord word 3656  Oncon0 3657  ran crn 3987   |` cres 3988   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  Smo csmo 16441

This theorem is referenced by:  smo0 16449

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-smo 16442

Copyright terms: Public domain