MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioovolcl Structured version   Unicode version

Theorem ioovolcl 21166
Description: An open real interval has finite volume. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
ioovolcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )

Proof of Theorem ioovolcl
StepHypRef Expression
1 ioombl 21162 . . 3  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
2 mblvol 21129 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( vol* `  ( A (,) B
) ) )
31, 2mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( vol* `  ( A (,) B
) ) )
4 ltle 9564 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
54ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
65imdistani 690 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <_  A ) )
7 rexr 9530 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
8 rexr 9530 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
9 ioo0 11426 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,) B
)  =  (/)  <->  B  <_  A ) )
107, 8, 9syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A (,) B )  =  (/)  <->  B  <_  A ) )
1110biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <_  A
)  ->  ( A (,) B )  =  (/) )
12 fveq2 5789 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  =  ( vol* `  (/) ) )
13 ovol0 21092 . . . . . 6  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
1412, 13syl6eq 2508 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  =  0 )
15 0re 9487 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1614, 15syl6eqel 2547 . . . 4  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
176, 11, 163syl 20 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
18 ovolioo 21165 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )
19183expa 1188 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A
) )
20 resubcl 9774 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
2120ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
2221adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
2319, 22eqeltrd 2539 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
24 simpr 461 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
25 simpl 457 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2617, 23, 24, 25ltlecasei 9583 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
273, 26eqeltrd 2539 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   (/)c0 3735   class class class wbr 4390   dom cdm 4938   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   RRcr 9382   0cc0 9383   RR*cxr 9518    < clt 9519    <_ cle 9520    - cmin 9696   (,)cioo 11401   vol*covol 21062   volcvol 21063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-seq 11908  df-exp 11967  df-hash 12205  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-rest 14463  df-topgen 14484  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-cmp 19106  df-ovol 21064  df-vol 21065
This theorem is referenced by:  cnioobibld  29727  wallispilem2  29999
  Copyright terms: Public domain W3C validator