MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioovolcl Structured version   Unicode version

Theorem ioovolcl 22145
Description: An open real interval has finite volume. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
ioovolcl  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )

Proof of Theorem ioovolcl
StepHypRef Expression
1 ioombl 22141 . . 3  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
2 mblvol 22107 . . 3  |-  ( ( A (,) B )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( vol* `  ( A (,) B
) ) )
31, 2mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  =  ( vol* `  ( A (,) B
) ) )
4 ltle 9662 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
54ancoms 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <  A  ->  B  <_  A )
)
65imdistani 688 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <_  A ) )
7 rexr 9628 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
8 rexr 9628 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  RR* )
9 ioo0 11557 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A (,) B
)  =  (/)  <->  B  <_  A ) )
107, 8, 9syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A (,) B )  =  (/)  <->  B  <_  A ) )
1110biimpar 483 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <_  A
)  ->  ( A (,) B )  =  (/) )
12 fveq2 5848 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  =  ( vol* `  (/) ) )
13 ovol0 22070 . . . . . 6  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
1412, 13syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  =  0 )
15 0re 9585 . . . . 5  |-  0  e.  RR
1614, 15syl6eqel 2550 . . . 4  |-  ( ( A (,) B )  =  (/)  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
176, 11, 163syl 20 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  B  <  A
)  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
18 ovolioo 22144 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A ) )
19183expa 1194 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  =  ( B  -  A
) )
20 resubcl 9874 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
2120ancoms 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  -  A
)  e.  RR )
2221adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( B  -  A )  e.  RR )
2319, 22eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <_  B
)  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
24 simpr 459 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
25 simpl 455 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
2617, 23, 24, 25ltlecasei 9681 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
273, 26eqeltrd 2542 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   (/)c0 3783   class class class wbr 4439   dom cdm 4988   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   0cc0 9481   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   (,)cioo 11532   vol*covol 22040   volcvol 22041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-rest 14912  df-topgen 14933  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-cmp 20054  df-ovol 22042  df-vol 22043
This theorem is referenced by:  cnioobibld  31422  volioc  32010  itgiccshift  32018  itgperiod  32019  wallispilem2  32087  sqwvfoura  32250
  Copyright terms: Public domain W3C validator