Theorem ioossre 11703

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	|- ( A (,) B ) C_ RR

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 11673	. 2 |- ( x e. ( A (,) B ) -> x e. RR )
2	1	ssriv 3468	1 |- ( A (,) B ) C_ RR

Syntax hints:   C_ wss 3436  (class class class)co 6305   RRcr 9545   (,)cioo 11642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-ioo 11646

This theorem is referenced by:  ioof  11739  difreicc  11771  icopnfcld  21786  ioombl1  22513  ioorcl2  22522  uniioombllem2  22538  uniioombllem2OLD  22539  uniioombllem3a  22540  uniioombllem3  22541  uniioombllem4  22542  uniioombllem6  22544  ismbf3d  22608  itgsplitioo  22793  ditgeq3  22803  dvferm1lem  22934  dvferm2lem  22936  dvferm  22938  dvlip  22943  dvlipcn  22944  dvle  22957  dvivthlem1  22958  dvivth  22960  lhop1lem  22963  lhop1  22964  lhop2  22965  lhop  22966  dvfsumle  22971  dvfsumge  22972  dvfsumlem1  22976  dvfsumlem2  22977  dvfsumlem3  22978  dvfsumlem4  22979  dvfsumrlimge0  22980  dvfsumrlim  22981  dvfsumrlim2  22982  dvfsum2  22984  ftc1a  22987  ftc1cn  22993  ftc2  22994  itgsubstlem  22998  itgsubst  22999  efcvx  23402  pige3  23470  tanord  23485  divlogrlim  23578  logccv  23606  atantan  23847  amgmlem  23913  vmalogdivsum2  24374  2vmadivsumlem  24376  chpdifbndlem1  24389  selberg3lem1  24393  selberg4lem1  24396  selberg4  24397  selberg3r  24405  selberg4r  24406  selberg34r  24407  pntrlog2bndlem2  24414  pntrlog2bndlem3  24415  pntrlog2bndlem4  24416  pntrlog2bndlem5  24417  pntrlog2bndlem6  24419  pntrlog2bnd  24420  pntpbnd1a  24421  pntpbnd1  24422  pntpbnd2  24423  pntibndlem2a  24426  pntibndlem2  24427  pntibndlem3  24428  pntlemd  24430  pnt  24450  padicabv  24466  cnre2csqima  28725  iooscon  29978  iccllyscon  29981  itg2gt0cn  31961  itggt0cn  31978  ftc1cnnclem  31979  ftc1cnnc  31980  ftc1anclem8  31988  ftc2nc  31990  dvreasin  31994  dvreacos  31995  areacirclem1  31996  areacirc  32001  itgpowd  36069  ioosscn  37540  ioontr  37560  iooshift  37572  islptre  37639  lptioo2  37651  lptioo1  37652  limcresiooub  37663  limcresioolb  37664  limcleqr  37665  lptioo2cn  37666  lptioo1cn  37667  limclner  37672  limclr  37676  icccncfext  37705  cncfiooicclem1  37711  dvmptresicc  37731  dvresioo  37733  dvbdfbdioolem1  37740  dvbdfbdioolem2  37741  ioodvbdlimc1lem1  37743  ioodvbdlimc1lem2  37744  ioodvbdlimc1lem1OLD  37745  ioodvbdlimc1lem2OLD  37746  ioodvbdlimc2lem  37748  ioodvbdlimc2lemOLD  37749  itgsin0pilem1  37766  itgcoscmulx  37786  itgiccshift  37797  itgperiod  37798  itgsbtaddcnst  37799  dirkercncflem2  37906  dirkercncflem3  37907  dirkercncflem4  37908  fourierdlem16  37925  fourierdlem21  37930  fourierdlem22  37931  fourierdlem28  37937  fourierdlem48  37958  fourierdlem49  37959  fourierdlem50  37960  fourierdlem56  37966  fourierdlem57  37967  fourierdlem59  37969  fourierdlem60  37970  fourierdlem61  37971  fourierdlem65  37975  fourierdlem72  37982  fourierdlem74  37984  fourierdlem75  37985  fourierdlem76  37986  fourierdlem80  37990  fourierdlem81  37991  fourierdlem83  37993  fourierdlem84  37994  fourierdlem85  37995  fourierdlem88  37998  fourierdlem89  37999  fourierdlem90  38000  fourierdlem91  38001  fourierdlem92  38002  fourierdlem94  38004  fourierdlem95  38005  fourierdlem97  38007  fourierdlem101  38011  fourierdlem103  38013  fourierdlem104  38014  fourierdlem111  38021  fourierdlem112  38022  fourierdlem113  38023  fouriersw  38035  fouriercn  38036