Theorem ioossre 11730

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	|- ( A (,) B ) C_ RR

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 11700	. 2 |- ( x e. ( A (,) B ) -> x e. RR )
2	1	ssriv 3448	1 |- ( A (,) B ) C_ RR

Syntax hints:   C_ wss 3416  (class class class)co 6320   RRcr 9569   (,)cioo 11669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-ioo 11673

This theorem is referenced by:  ioof  11766  difreicc  11799  icopnfcld  21843  ioombl1  22571  ioorcl2  22580  uniioombllem2  22596  uniioombllem2OLD  22597  uniioombllem3a  22598  uniioombllem3  22599  uniioombllem4  22600  uniioombllem6  22602  ismbf3d  22666  itgsplitioo  22851  ditgeq3  22861  dvferm1lem  22992  dvferm2lem  22994  dvferm  22996  dvlip  23001  dvlipcn  23002  dvle  23015  dvivthlem1  23016  dvivth  23018  lhop1lem  23021  lhop1  23022  lhop2  23023  lhop  23024  dvfsumle  23029  dvfsumge  23030  dvfsumlem1  23034  dvfsumlem2  23035  dvfsumlem3  23036  dvfsumlem4  23037  dvfsumrlimge0  23038  dvfsumrlim  23039  dvfsumrlim2  23040  dvfsum2  23042  ftc1a  23045  ftc1cn  23051  ftc2  23052  itgsubstlem  23056  itgsubst  23057  efcvx  23460  pige3  23528  tanord  23543  divlogrlim  23636  logccv  23664  atantan  23905  amgmlem  23971  vmalogdivsum2  24432  2vmadivsumlem  24434  chpdifbndlem1  24447  selberg3lem1  24451  selberg4lem1  24454  selberg4  24455  selberg3r  24463  selberg4r  24464  selberg34r  24465  pntrlog2bndlem2  24472  pntrlog2bndlem3  24473  pntrlog2bndlem4  24474  pntrlog2bndlem5  24475  pntrlog2bndlem6  24477  pntrlog2bnd  24478  pntpbnd1a  24479  pntpbnd1  24480  pntpbnd2  24481  pntibndlem2a  24484  pntibndlem2  24485  pntibndlem3  24486  pntlemd  24488  pnt  24508  padicabv  24524  cnre2csqima  28768  iooscon  30020  iccllyscon  30023  itg2gt0cn  32043  itggt0cn  32060  ftc1cnnclem  32061  ftc1cnnc  32062  ftc1anclem8  32070  ftc2nc  32072  dvreasin  32076  dvreacos  32077  areacirclem1  32078  areacirc  32083  itgpowd  36145  ioosscn  37676  ioontr  37696  iooshift  37708  ioonct  37724  islptre  37785  lptioo2  37797  lptioo1  37798  limcresiooub  37809  limcresioolb  37810  limcleqr  37811  lptioo2cn  37812  lptioo1cn  37813  limclner  37818  limclr  37822  icccncfext  37851  cncfiooicclem1  37857  dvmptresicc  37877  dvresioo  37879  dvbdfbdioolem1  37886  dvbdfbdioolem2  37887  ioodvbdlimc1lem1  37889  ioodvbdlimc1lem2  37890  ioodvbdlimc1lem1OLD  37891  ioodvbdlimc1lem2OLD  37892  ioodvbdlimc2lem  37894  ioodvbdlimc2lemOLD  37895  itgsin0pilem1  37912  itgcoscmulx  37932  itgiccshift  37943  itgperiod  37944  itgsbtaddcnst  37945  dirkercncflem2  38067  dirkercncflem3  38068  dirkercncflem4  38069  fourierdlem16  38086  fourierdlem21  38091  fourierdlem22  38092  fourierdlem28  38098  fourierdlem48  38119  fourierdlem49  38120  fourierdlem50  38121  fourierdlem56  38127  fourierdlem57  38128  fourierdlem59  38130  fourierdlem60  38131  fourierdlem61  38132  fourierdlem65  38136  fourierdlem72  38143  fourierdlem74  38145  fourierdlem75  38146  fourierdlem76  38147  fourierdlem80  38151  fourierdlem81  38152  fourierdlem83  38154  fourierdlem84  38155  fourierdlem85  38156  fourierdlem88  38159  fourierdlem89  38160  fourierdlem90  38161  fourierdlem91  38162  fourierdlem92  38163  fourierdlem94  38165  fourierdlem95  38166  fourierdlem97  38168  fourierdlem101  38172  fourierdlem103  38174  fourierdlem104  38175  fourierdlem111  38182  fourierdlem112  38183  fourierdlem113  38184  fouriersw  38196  fouriercn  38197  qndenserrnbllem  38264  hspdifhsp  38545  hspmbllem2  38556  hspmbl  38558