Theorem ioossre 11582

Description: An open interval is a set of reals. (Contributed by NM, 31-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ioossre	|- ( A (,) B ) C_ RR

Proof of Theorem ioossre

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elioore 11555	. 2 |- ( x e. ( A (,) B ) -> x e. RR )
2	1	ssriv 3508	1 |- ( A (,) B ) C_ RR

Syntax hints:   C_ wss 3476  (class class class)co 6282   RRcr 9487   (,)cioo 11525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-ioo 11529

This theorem is referenced by:  ioof  11618  difreicc  11648  icopnfcld  21010  ioombl1  21707  ioorcl2  21716  uniioombllem2  21727  uniioombllem3a  21728  uniioombllem3  21729  uniioombllem4  21730  uniioombllem6  21732  ismbf3d  21796  itgsplitioo  21979  ditgeq3  21989  dvferm1lem  22120  dvferm2lem  22122  dvferm  22124  dvlip  22129  dvlipcn  22130  dvle  22143  dvivthlem1  22144  dvivth  22146  lhop1lem  22149  lhop1  22150  lhop2  22151  lhop  22152  dvfsumle  22157  dvfsumge  22158  dvfsumlem1  22162  dvfsumlem2  22163  dvfsumlem3  22164  dvfsumlem4  22165  dvfsumrlimge0  22166  dvfsumrlim  22167  dvfsumrlim2  22168  dvfsum2  22170  ftc1a  22173  ftc1cn  22179  ftc2  22180  itgsubstlem  22184  itgsubst  22185  efcvx  22578  pige3  22643  tanord  22658  divlogrlim  22744  logccv  22772  atantan  22982  amgmlem  23047  vmalogdivsum2  23451  2vmadivsumlem  23453  chpdifbndlem1  23466  selberg3lem1  23470  selberg4lem1  23473  selberg4  23474  selberg3r  23482  selberg4r  23483  selberg34r  23484  pntrlog2bndlem2  23491  pntrlog2bndlem3  23492  pntrlog2bndlem4  23493  pntrlog2bndlem5  23494  pntrlog2bndlem6  23496  pntrlog2bnd  23497  pntpbnd1a  23498  pntpbnd1  23499  pntpbnd2  23500  pntibndlem2a  23503  pntibndlem2  23504  pntibndlem3  23505  pntlemd  23507  pnt  23527  padicabv  23543  cnre2csqima  27529  iooscon  28332  iccllyscon  28335  itg2gt0cn  29647  itggt0cn  29664  ftc1cnnclem  29665  ftc1cnnc  29666  ftc1anclem8  29674  ftc2nc  29676  dvreasin  29682  dvreacos  29683  areacirclem1  29684  areacirc  29689  itgpowd  30787  ioosscn  31091  ioontr  31113  iooshift  31126  islptre  31161  lptioo2  31173  lptioo1  31174  limcresiooub  31184  limcresioolb  31185  limcleqr  31186  lptioo2cn  31187  lptioo1cn  31188  limclner  31193  limclr  31197  icccncfext  31226  cncfiooicclem1  31232  dvmptresicc  31249  dvresioo  31251  dvbdfbdioolem1  31258  dvbdfbdioolem2  31259  ioodvbdlimc1lem1  31261  ioodvbdlimc1lem2  31262  ioodvbdlimc2lem  31264  itgsin0pilem1  31267  itgsinexplem1  31271  itgsinexp  31272  itgcoscmulx  31287  itgiccshift  31298  itgperiod  31299  itgsbtaddcnst  31300  wallispilem2  31366  dirkeritg  31402  dirkercncflem2  31404  dirkercncflem3  31405  dirkercncflem4  31406  fourierdlem16  31423  fourierdlem21  31428  fourierdlem22  31429  fourierdlem28  31435  fourierdlem40  31447  fourierdlem45  31452  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem50  31457  fourierdlem56  31463  fourierdlem57  31464  fourierdlem59  31466  fourierdlem60  31467  fourierdlem61  31468  fourierdlem65  31472  fourierdlem72  31479  fourierdlem74  31481  fourierdlem75  31482  fourierdlem76  31483  fourierdlem78  31485  fourierdlem80  31487  fourierdlem81  31488  fourierdlem83  31490  fourierdlem84  31491  fourierdlem85  31492  fourierdlem88  31495  fourierdlem89  31496  fourierdlem90  31497  fourierdlem91  31498  fourierdlem92  31499  fourierdlem93  31500  fourierdlem94  31501  fourierdlem95  31502  fourierdlem97  31504  fourierdlem101  31508  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511  fourierdlem111  31518  fourierdlem112  31519  fourierdlem113  31520  fouriersw  31532  fouriercn  31533