Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioossioobi Structured version   Unicode version

Theorem ioossioobi 31762
Description: Biconditional form of ioossioo 11559 (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ioossioobi.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
ioossioobi.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
ioossioobi.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
ioossioobi.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
ioossioobi.cltd  |-  ( ph  ->  C  <  D )
Assertion
Ref Expression
ioossioobi  |-  ( ph  ->  ( ( C (,) D )  C_  ( A (,) B )  <->  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) ) )

Proof of Theorem ioossioobi
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
2 df-ioo 11476 . . . . . 6  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
32ixxssxr 11484 . . . . 5  |-  ( A (,) B )  C_  RR*
4 infmxrss 31697 . . . . 5  |-  ( ( ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B )  /\  ( A (,) B )  C_  RR* )  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  )  <_  sup (
( C (,) D
) ,  RR* ,  `'  <  ) )
51, 3, 4sylancl 660 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  sup ( ( A (,) B ) , 
RR* ,  `'  <  )  <_  sup ( ( C (,) D ) , 
RR* ,  `'  <  ) )
6 ioossioobi.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
76adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  A  e.  RR* )
8 ioossioobi.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
98adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  B  e.  RR* )
10 ioossioobi.cltd . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  <  D )
11 ioossioobi.c . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  RR* )
12 ioossioobi.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  RR* )
13 ioon0 11498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  (
( C (,) D
)  =/=  (/)  <->  C  <  D ) )
1411, 12, 13syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( C (,) D )  =/=  (/)  <->  C  <  D ) )
1510, 14mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C (,) D
)  =/=  (/) )
1615adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  ( C (,) D )  =/=  (/) )
17 ssn0 3762 . . . . . 6  |-  ( ( ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B )  /\  ( C (,) D )  =/=  (/) )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
181, 16, 17syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  ( A (,) B )  =/=  (/) )
19 idd 24 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <  B ) )
20 xrltle 11298 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <_  B ) )
21 idd 24 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <  w ) )
22 xrltle 11298 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <_  w ) )
232, 19, 20, 21, 22ixxlb 11494 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( A (,) B )  =/=  (/) )  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  `'  <  )  =  A )
247, 9, 18, 23syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  sup ( ( A (,) B ) , 
RR* ,  `'  <  )  =  A )
2511adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  C  e.  RR* )
2612adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  D  e.  RR* )
27 idd 24 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  (
w  <  D  ->  w  <  D ) )
28 xrltle 11298 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  D  e.  RR* )  ->  (
w  <  D  ->  w  <_  D ) )
29 idd 24 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( C  <  w  ->  C  <  w ) )
30 xrltle 11298 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( C  <  w  ->  C  <_  w ) )
312, 27, 28, 29, 30ixxlb 11494 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  ( C (,) D )  =/=  (/) )  ->  sup (
( C (,) D
) ,  RR* ,  `'  <  )  =  C )
3225, 26, 16, 31syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  sup ( ( C (,) D ) , 
RR* ,  `'  <  )  =  C )
335, 24, 323brtr3d 4413 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  A  <_  C
)
34 supxrss 11467 . . . . 5  |-  ( ( ( C (,) D
)  C_  ( A (,) B )  /\  ( A (,) B )  C_  RR* )  ->  sup (
( C (,) D
) ,  RR* ,  <  )  <_  sup ( ( A (,) B ) , 
RR* ,  <  ) )
351, 3, 34sylancl 660 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  sup ( ( C (,) D ) , 
RR* ,  <  )  <_  sup ( ( A (,) B ) ,  RR* ,  <  ) )
362, 27, 28, 29, 30ixxub 11493 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  ( C (,) D )  =/=  (/) )  ->  sup (
( C (,) D
) ,  RR* ,  <  )  =  D )
3725, 26, 16, 36syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  sup ( ( C (,) D ) , 
RR* ,  <  )  =  D )
382, 19, 20, 21, 22ixxub 11493 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  ( A (,) B )  =/=  (/) )  ->  sup (
( A (,) B
) ,  RR* ,  <  )  =  B )
397, 9, 18, 38syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  sup ( ( A (,) B ) , 
RR* ,  <  )  =  B )
4035, 37, 393brtr3d 4413 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  D  <_  B
)
4133, 40jca 530 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )  ->  ( A  <_  C  /\  D  <_  B
) )
426adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  A  e.  RR* )
438adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  B  e.  RR* )
44 simprl 754 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  A  <_  C )
45 simprr 755 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  D  <_  B )
46 ioossioo 11559 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
4742, 43, 44, 45, 46syl22anc 1227 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  -> 
( C (,) D
)  C_  ( A (,) B ) )
4841, 47impbida 830 1  |-  ( ph  ->  ( ( C (,) D )  C_  ( A (,) B )  <->  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836    =/= wne 2591    C_ wss 3406   (/)c0 3728   class class class wbr 4384   `'ccnv 4929  (class class class)co 6218   supcsup 7837   RR*cxr 9560    < clt 9561    <_ cle 9562   (,)cioo 11472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-er 7251  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-sup 7838  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-q 11124  df-ioo 11476
This theorem is referenced by:  fourierdlem50  32144
  Copyright terms: Public domain W3C validator