MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossioo Structured version   Unicode version

Theorem ioossioo 11587
Description: Condition for an open interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
ioossioo  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )

Proof of Theorem ioossioo
Dummy variables  a 
b  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 11504 . 2  |-  (,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { x  e.  RR*  |  ( a  <  x  /\  x  <  b ) } )
2 xrlelttr 11330 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  C  /\  C  <  w )  ->  A  <  w
) )
3 xrltletr 11331 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( w  <  D  /\  D  <_  B )  ->  w  <  B
) )
41, 1, 2, 3ixxss12 11520 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842    C_ wss 3413   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   RR*cxr 9577    < clt 9578    <_ cle 9579   (,)cioo 11500
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-ioo 11504
This theorem is referenced by:  difioo  27921  tpr2rico  28227  signsply0  28894  ftc1cnnclem  31442  ftc1anclem7  31450  ftc1anclem8  31451  ftc1anc  31452  ftc2nc  31453  ioossioobi  36907  dvbdfbdioolem1  37075  fourierdlem20  37259  fourierdlem72  37311  fourierdlem79  37318  fourierdlem103  37342  fourierdlem104  37343
  Copyright terms: Public domain W3C validator