MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossioo Structured version   Unicode version

Theorem ioossioo 11605
Description: Condition for an open interval to be a subset of an open interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Sep-2017.)
Assertion
Ref Expression
ioossioo  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )

Proof of Theorem ioossioo
Dummy variables  a 
b  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 11522 . 2  |-  (,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { x  e.  RR*  |  ( a  <  x  /\  x  <  b ) } )
2 xrlelttr 11348 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  C  /\  C  <  w )  ->  A  <  w
) )
3 xrltletr 11349 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  D  e.  RR*  /\  B  e. 
RR* )  ->  (
( w  <  D  /\  D  <_  B )  ->  w  <  B
) )
41, 1, 2, 3ixxss12 11538 1  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  /\  ( A  <_  C  /\  D  <_  B ) )  ->  ( C (,) D )  C_  ( A (,) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1762    C_ wss 3469   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   (,)cioo 11518
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-ioo 11522
This theorem is referenced by:  difioo  27247  tpr2rico  27516  signsply0  28134  ioossioobi  31076  dvbdfbdioolem1  31213  fourierdlem20  31382  fourierdlem72  31434  fourierdlem79  31441  fourierdlem103  31465  fourierdlem104  31466
  Copyright terms: Public domain W3C validator