MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossico Structured version   Unicode version

Theorem ioossico 11638
Description: An open interval is a subset of its closure-below. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
ioossico  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,) B )

Proof of Theorem ioossico
Dummy variables  a 
b  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 11558 . 2  |-  (,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { x  e.  RR*  |  ( a  <  x  /\  x  <  b ) } )
2 df-ico 11560 . 2  |-  [,)  =  ( a  e.  RR* ,  b  e.  RR*  |->  { x  e.  RR*  |  ( a  <_  x  /\  x  <  b ) } )
3 xrltle 11380 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <_  w ) )
4 idd 24 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <  B ) )
51, 2, 3, 4ixxssixx 11568 1  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,) B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    e. wcel 1819    C_ wss 3471   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   (,)cioo 11554   [,)cico 11556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-ioo 11558  df-ico 11560
This theorem is referenced by:  elicoelioo  27749  esumdivc  28255  omssubadd  28444  limcresioolb  31852  icocncflimc  31895  fourierdlem41  32133  fourierdlem46  32138  fouriersw  32217
  Copyright terms: Public domain W3C validator