MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossicc Structured version   Unicode version

Theorem ioossicc 11621
Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioossicc  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )

Proof of Theorem ioossicc
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 11544 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
2 df-icc 11547 . 2  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
3 xrltle 11366 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <_  w ) )
4 xrltle 11366 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <_  B ) )
51, 2, 3, 4ixxssixx 11554 1  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    C_ wss 3461  (class class class)co 6281    < clt 9631    <_ cle 9632   (,)cioo 11540   [,]cicc 11543
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-ioo 11544  df-icc 11547
This theorem is referenced by:  ioodisj  11661  iccntr  21304  ivth2  21845  ivthle  21846  ivthle2  21847  ovolioo  21956  uniiccvol  21967  itgioo  22200  rollelem  22368  rolle  22369  cmvth  22370  dvlip  22372  dvlipcn  22373  dvlip2  22374  c1liplem1  22375  dvle  22386  dvivthlem1  22387  dvne0  22390  lhop1lem  22392  dvcnvrelem1  22396  dvfsumle  22400  dvfsumge  22401  dvfsumabs  22402  dvfsumlem2  22406  ftc1a  22416  ftc1lem4  22418  ftc1lem5  22419  ftc1lem6  22420  ftc1  22421  ftc2  22423  itgparts  22426  itgsubstlem  22427  itgsubst  22428  reeff1olem  22819  efcvx  22822  tanord1  22902  logccv  23022  loglesqrt  23110  chordthm  23146  amgmlem  23297  eliccioo  27605  xrge0mulc1cn  27901  lgamgulmlem2  28550  itg2gt0cn  30046  ftc1cnnclem  30064  ftc1cnnc  30065  ftc2nc  30075  areacirc  30088  ivthALT  30129  itgpowd  31158  lhe4.4ex1a  31210  limciccioolb  31581  limcicciooub  31597  icccncfext  31644  cncfiooicclem1  31650  cncfioobdlem  31653  cncfioobd  31654  itgsin0pilem1  31702  iblioosinexp  31705  itgsinexplem1  31706  itgsinexp  31707  ditgeqiooicc  31713  itgcoscmulx  31722  ibliooicc  31724  itgsincmulx  31727  itgsubsticclem  31728  itgioocnicc  31730  iblcncfioo  31731  itgsbtaddcnst  31735  dirkeritg  31838  fourierdlem20  31863  fourierdlem38  31881  fourierdlem39  31882  fourierdlem46  31889  fourierdlem62  31905  fourierdlem68  31911  fourierdlem69  31912  fourierdlem70  31913  fourierdlem72  31915  fourierdlem73  31916  fourierdlem74  31917  fourierdlem75  31918  fourierdlem76  31919  fourierdlem80  31923  fourierdlem81  31924  fourierdlem82  31925  fourierdlem83  31926  fourierdlem84  31927  fourierdlem85  31928  fourierdlem88  31931  fourierdlem92  31935  fourierdlem93  31936  fourierdlem100  31943  fourierdlem101  31944  fourierdlem103  31946  fourierdlem104  31947  fourierdlem107  31950  fourierdlem111  31954  fourierdlem112  31955  sqwvfoura  31965  sqwvfourb  31966  etransclem18  31989  etransclem46  32017  chordthmALT  33601
  Copyright terms: Public domain W3C validator