MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossicc Structured version   Unicode version

Theorem ioossicc 11369
Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioossicc  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )

Proof of Theorem ioossicc
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 11292 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
2 df-icc 11295 . 2  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
3 xrltle 11114 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <_  w ) )
4 xrltle 11114 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <_  B ) )
51, 2, 3, 4ixxssixx 11302 1  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    C_ wss 3316  (class class class)co 6080    < clt 9406    <_ cle 9407   (,)cioo 11288   [,]cicc 11291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-ioo 11292  df-icc 11295
This theorem is referenced by:  ioodisj  11402  iccntr  20240  ivth2  20781  ivthle  20782  ivthle2  20783  ovolioo  20891  uniiccvol  20902  itgioo  21135  rollelem  21303  rolle  21304  cmvth  21305  dvlip  21307  dvlipcn  21308  dvlip2  21309  c1liplem1  21310  dvle  21321  dvivthlem1  21322  dvne0  21325  lhop1lem  21327  dvcnvrelem1  21331  dvfsumle  21335  dvfsumge  21336  dvfsumabs  21337  dvfsumlem2  21341  ftc1a  21351  ftc1lem4  21353  ftc1lem5  21354  ftc1lem6  21355  ftc1  21356  ftc2  21358  itgparts  21361  itgsubstlem  21362  itgsubst  21363  reeff1olem  21796  efcvx  21799  tanord1  21878  logccv  21993  loglesqr  22081  chordthm  22117  amgmlem  22268  eliccioo  25929  xrge0mulc1cn  26225  lgamgulmlem2  26864  itg2gt0cn  28291  ftc1cnnclem  28309  ftc1cnnc  28310  ftc2nc  28320  areacirc  28333  ivthALT  28374  itgpowd  29435  lhe4.4ex1a  29448  itgsin0pilem1  29636  iblioosinexp  29639  itgsinexplem1  29640  itgsinexp  29641  chordthmALT  31371
  Copyright terms: Public domain W3C validator