MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioossicc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ioossicc 11748
Description: An open interval is a subset of its closure. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
ioossicc  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )

Proof of Theorem ioossicc
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 11667 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
2 df-icc 11670 . 2  |-  [,]  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <_  z  /\  z  <_  y ) } )
3 xrltle 11476 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  w  e.  RR* )  ->  ( A  <  w  ->  A  <_  w ) )
4 xrltle 11476 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
w  <  B  ->  w  <_  B ) )
51, 2, 3, 4ixxssixx 11677 1  |-  ( A (,) B )  C_  ( A [,] B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    C_ wss 3415  (class class class)co 6314    < clt 9700    <_ cle 9701   (,)cioo 11663   [,]cicc 11666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-ioo 11667  df-icc 11670
This theorem is referenced by:  ioodisj  11790  iccntr  21887  ivth2  22454  ivthle  22455  ivthle2  22456  ovolioo  22569  uniiccvol  22585  itgioo  22821  rollelem  22989  rolle  22990  cmvth  22991  dvlip  22993  dvlipcn  22994  dvlip2  22995  c1liplem1  22996  dvle  23007  dvivthlem1  23008  dvne0  23011  lhop1lem  23013  dvcnvrelem1  23017  dvfsumle  23021  dvfsumge  23022  dvfsumabs  23023  dvfsumlem2  23027  ftc1a  23037  ftc1lem4  23039  ftc1lem5  23040  ftc1lem6  23041  ftc1  23042  ftc2  23044  itgparts  23047  itgsubstlem  23048  itgsubst  23049  reeff1olem  23449  efcvx  23452  tanord1  23534  logccv  23656  loglesqrt  23746  chordthm  23811  amgmlem  23963  lgamgulmlem2  24003  eliccioo  28448  xrge0mulc1cn  28795  omssubadd  29176  omssubaddOLD  29180  ivthALT  31039  itg2gt0cn  32041  ftc1cnnclem  32059  ftc1cnnc  32060  ftc2nc  32070  areacirc  32081  itgpowd  36143  lhe4.4ex1a  36721  chordthmALT  37369  iccnct  37680  limciccioolb  37738  limcicciooub  37754  icccncfext  37802  cncfiooicclem1  37808  cncfioobdlem  37811  cncfioobd  37812  itgsin0pilem1  37863  iblioosinexp  37866  itgsinexplem1  37867  itgsinexp  37868  ditgeqiooicc  37874  itgcoscmulx  37883  ibliooicc  37885  itgsincmulx  37888  itgsubsticclem  37889  itgioocnicc  37891  iblcncfioo  37892  itgsbtaddcnst  37896  dirkeritg  38001  fourierdlem20  38026  fourierdlem38  38045  fourierdlem39  38046  fourierdlem46  38053  fourierdlem62  38069  fourierdlem68  38075  fourierdlem69  38076  fourierdlem70  38077  fourierdlem72  38079  fourierdlem73  38080  fourierdlem74  38081  fourierdlem75  38082  fourierdlem76  38083  fourierdlem80  38087  fourierdlem81  38088  fourierdlem82  38089  fourierdlem83  38090  fourierdlem84  38091  fourierdlem85  38092  fourierdlem88  38095  fourierdlem92  38099  fourierdlem93  38100  fourierdlem100  38107  fourierdlem101  38108  fourierdlem103  38110  fourierdlem104  38111  fourierdlem107  38114  fourierdlem111  38118  fourierdlem112  38119  sqwvfoura  38129  sqwvfourb  38130  etransclem18  38154  etransclem46  38182  hoicvrrex  38415
  Copyright terms: Public domain W3C validator