MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooss2 Structured version   Unicode version

Theorem iooss2 11323
Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iooss2  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) C ) )

Proof of Theorem iooss2
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 11291 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
2 xrltletr 11118 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( w  <  B  /\  B  <_  C )  ->  w  <  C
) )
31, 1, 2ixxss2 11306 1  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1755    C_ wss 3316   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   RR*cxr 9404    < clt 9405    <_ cle 9406   (,)cioo 11287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-ioo 11291
This theorem is referenced by:  tgqioo  20218  ioorcl2  20893  itgsplitioo  21156  ditgcl  21174  ditgswap  21175  ditgsplitlem  21176  dvferm2lem  21299  dvferm  21301  dvlip  21306  dvgt0lem1  21315  dvivthlem1  21321  lhop1lem  21326  lhop1  21327  dvcvx  21333  dvfsumle  21334  dvfsumge  21335  dvfsumabs  21336  ftc1lem1  21348  ftc1lem2  21349  ftc1a  21350  ftc1lem4  21352  ftc2  21357  ftc2ditglem  21358  itgsubstlem  21361  ftc1anc  28316  ftc2nc  28317
  Copyright terms: Public domain W3C validator