MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooss2 Structured version   Unicode version

Theorem iooss2 11451
Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iooss2  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) C ) )

Proof of Theorem iooss2
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 11419 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
2 xrltletr 11246 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( w  <  B  /\  B  <_  C )  ->  w  <  C
) )
31, 1, 2ixxss2 11434 1  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758    C_ wss 3439   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   RR*cxr 9532    < clt 9533    <_ cle 9534   (,)cioo 11415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-ioo 11419
This theorem is referenced by:  tgqioo  20519  ioorcl2  21195  itgsplitioo  21458  ditgcl  21476  ditgswap  21477  ditgsplitlem  21478  dvferm2lem  21601  dvferm  21603  dvlip  21608  dvgt0lem1  21617  dvivthlem1  21623  lhop1lem  21628  lhop1  21629  dvcvx  21635  dvfsumle  21636  dvfsumge  21637  dvfsumabs  21638  ftc1lem1  21650  ftc1lem2  21651  ftc1a  21652  ftc1lem4  21654  ftc2  21659  ftc2ditglem  21660  itgsubstlem  21663  ftc1anc  28646  ftc2nc  28647
  Copyright terms: Public domain W3C validator