MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooss2 Structured version   Unicode version

Theorem iooss2 11569
Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
iooss2  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) C ) )

Proof of Theorem iooss2
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 11537 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
2 xrltletr 11364 . 2  |-  ( ( w  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  (
( w  <  B  /\  B  <_  C )  ->  w  <  C
) )
31, 1, 2ixxss2 11552 1  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  B  <_  C )  ->  ( A (,) B )  C_  ( A (,) C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1802    C_ wss 3458   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627   (,)cioo 11533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-ioo 11537
This theorem is referenced by:  tgqioo  21171  ioorcl2  21847  itgsplitioo  22110  ditgcl  22128  ditgswap  22129  ditgsplitlem  22130  dvferm2lem  22253  dvferm  22255  dvlip  22260  dvgt0lem1  22269  dvivthlem1  22275  lhop1lem  22280  lhop1  22281  dvcvx  22287  dvfsumle  22288  dvfsumge  22289  dvfsumabs  22290  ftc1lem1  22302  ftc1lem2  22303  ftc1a  22304  ftc1lem4  22306  ftc2  22311  ftc2ditglem  22312  itgsubstlem  22315  ftc1anc  30066  ftc2nc  30067  limcresioolb  31553  fourierdlem46  31820  fourierdlem48  31822  fourierdlem49  31823  fourierdlem75  31849  fourierdlem103  31877  fourierdlem113  31887  fouriersw  31899
  Copyright terms: Public domain W3C validator