MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iooss1 Structured version   Unicode version

Theorem iooss1 11356
Description: Subset relationship for open intervals of extended reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iooss1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( A (,) C ) )

Proof of Theorem iooss1
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ioo 11325 . 2  |-  (,)  =  ( x  e.  RR* ,  y  e.  RR*  |->  { z  e.  RR*  |  (
x  <  z  /\  z  <  y ) } )
2 xrlelttr 11151 . 2  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  w  e. 
RR* )  ->  (
( A  <_  B  /\  B  <  w )  ->  A  <  w
) )
31, 1, 2ixxss1 11339 1  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  A  <_  B )  ->  ( B (,) C )  C_  ( A (,) C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756    C_ wss 3349   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440   (,)cioo 11321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-ioo 11325
This theorem is referenced by:  ioodisj  11436  tgqioo  20399  ioorcl2  21074  itg2gt0  21260  itgsplitioo  21337  ditgcl  21355  ditgswap  21356  ditgsplitlem  21357  dvferm1lem  21478  dvferm  21482  dvlip  21487  dvgt0lem1  21496  dvivthlem1  21502  lhop1lem  21507  lhop2  21509  dvcvx  21514  dvfsumle  21515  dvfsumge  21516  dvfsumabs  21517  ftc1lem1  21529  ftc1a  21531  ftc1lem4  21533  ftc2ditglem  21539  tanregt0  22017  basellem4  22443  pntlemp  22881
  Copyright terms: Public domain W3C validator