Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorinvOLD Structured version   Unicode version

Theorem ioorinvOLD 22531
 Description: The function is an "inverse" of sorts to the open interval function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) Obsolete version of ioorinv 22526 as of 13-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorfOLD.1
Assertion
Ref Expression
ioorinvOLD
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ioorinvOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioof 11739 . . . 4
2 ffn 5746 . . . 4
3 ovelrn 6459 . . . 4
41, 2, 3mp2b 10 . . 3
5 ioorfOLD.1 . . . . . . . . 9
65ioorinv2OLD 22530 . . . . . . . 8
76fveq2d 5885 . . . . . . 7
8 df-ov 6308 . . . . . . 7
97, 8syl6eqr 2481 . . . . . 6
10 df-ne 2616 . . . . . . . 8
11 neeq1 2701 . . . . . . . 8
1210, 11syl5bbr 262 . . . . . . 7
13 fveq2 5881 . . . . . . . . 9
1413fveq2d 5885 . . . . . . . 8
15 id 22 . . . . . . . 8
1614, 15eqeq12d 2444 . . . . . . 7
1712, 16imbi12d 321 . . . . . 6
189, 17mpbiri 236 . . . . 5
1918a1i 11 . . . 4
2019rexlimivv 2919 . . 3
214, 20sylbi 198 . 2
22 ioorebas 11743 . . . . . . 7
235ioorvalOLD 22529 . . . . . . 7
2422, 23ax-mp 5 . . . . . 6
25 iooid 11671 . . . . . . 7
2625iftruei 3918 . . . . . 6
2724, 26eqtri 2451 . . . . 5
2827fveq2i 5884 . . . 4
29 df-ov 6308 . . . 4
3028, 29eqtr4i 2454 . . 3
3125eqeq2i 2440 . . . . . 6
3231biimpri 209 . . . . 5
3332fveq2d 5885 . . . 4
3433fveq2d 5885 . . 3
3530, 34, 323eqtr4a 2489 . 2
3621, 35pm2.61d2 163 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872   wne 2614  wrex 2772  c0 3761  cif 3911  cpw 3981  cop 4004   cmpt 4482   cxp 4851  ccnv 4852   crn 4854   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  csup 7963  cr 9545  cc0 9546  cxr 9681   clt 9682  cioo 11642 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-q 11272  df-ioo 11646 This theorem is referenced by:  uniioombllem2OLD  22539
 Copyright terms: Public domain W3C validator